EUKLIDISK GEOMETRI: HISTORIA, GRUNDLÄGGANDE BEGREPP OCH EXEMPEL - MATTE - 2026

De euklidiska geometri motsvarar studiet av egenskaperna hos geometriska utrymmen där Euklides axiom är uppfyllda. Även om denna term ibland används för att täcka geometrier som har högre dimensioner med liknande egenskaper, är det i allmänhet synonymt med klassisk geometri eller plangeometri.

Under III-talet a. C. Euklides och hans lärjungar skrev elementen, ett arbete som omfattade den matematiska kunskapen om tid som har en logisk-deduktiv struktur. Sedan dess blev geometri en vetenskap, initialt för att lösa klassiska problem och utvecklades till att vara en formativ vetenskap som hjälper förnuftet.

Historia

För att prata om den euklidiska geometriens historia är det viktigt att börja med Euklid av Alexandria och elementen.

När Egypten lämnades i händerna på Ptolemaios I, efter Alexander den Stors död, började han sitt projekt i en skola i Alexandria.

Bland vismännen som undervisade på skolan var Euclid. Det spekuleras i att hans födelse är från ungefär 325 f.Kr. C. och hans död 265 a. C. Vi kan med säkerhet veta att han gick till Platons skola.

I mer än trettio år undervisade Euclid i Alexandria och byggde dess berömda element: Han började skriva en uttömmande beskrivning av hans tids matematik. Euclids läror gav utmärkta lärjungar, som Archimedes och Apollonius från Perga.

Euclid var ansvarig för att strukturera de olika upptäckterna av de antika grekerna i elementen, men till skillnad från sina föregångare begränsar han sig inte till att bekräfta att ett ställe är sant; Euclid erbjuder en demonstration.

Elementen är ett kompendium av tretton böcker. Efter Bibeln är det den mest publicerade boken, med mer än tusen utgåvor.

Euclids element

Elementen är Euclids mästerverk inom geometriområdet och erbjuder en definitiv behandling av tvådimensionell (plan) och tredimensionell (rymd) geometri, vilket är ursprunget till det vi nu känner som euklidisk geometri. .

Grundläggande koncept

Elementen består av definitioner, vanliga uppfattningar och postulater (eller axiomer) följt av satser, konstruktioner och bevis.

- En poäng är det som inte har några delar.

- En linje är en längd som inte har någon bredd.

- En rak linje är en som ligger lika i förhållande till de punkter som finns i den.

- Om två linjer skärs så att de intilliggande vinklarna är lika kallas vinklarna raka linjer och linjerna kallas vinkelrätt.

- Parallella linjer är de som, i samma plan, aldrig korsar varandra.

Efter dessa och andra definitioner presenterar Euclid oss ​​en lista med fem postulater och fem begrepp.

Vanliga uppfattningar

- Två saker som är lika med en tredjedel är lika med varandra.

- Om samma saker läggs till samma saker är resultaten desamma.

- Om lika saker dras från lika saker är resultaten lika.

- Saker som matchar varandra är lika med varandra.

- Totalt är större än en del.

Postulat eller axiom

- En och endast en linje passerar två olika punkter.

- Raka linjer kan förlängas på obestämd tid.

- Du kan rita en cirkel med valfri mitt och vilken radie som helst.

- Alla rätt vinklar är lika.

- Om en rak linje korsar två raka linjer så att de inre vinklarna på samma sida lägger till mindre än två raka vinklar, kommer de två linjerna att korsa på den sidan.

Detta sista postulat kallas det parallella postulatet och omformulerades på följande sätt: "För en punkt utanför en linje kan en enda parallell med den givna linjen dras."

exempel

Därefter kommer några teoremer från elementen att tjäna till att visa egenskaper hos geometriska utrymmen där de fem postulaten av Euclid uppfylls; Dessutom kommer de att illustrera det logiskt-deduktiva resonemanget som används av denna matematiker.

Första exemplet

Förslag 1.4. (LAL)

Om två trianglar har två sidor och vinkeln mellan dem är lika, är de andra sidorna och de andra vinklarna lika.

Demonstration

Låt ABC och A'B'C 'vara två trianglar med AB = A'B', AC = A'C 'och vinklarna BAC och B'A'C' lika. Låt oss flytta triangel A'B'C 'så att A'B' sammanfaller med AB och att vinkeln B'A'C sammanfaller med vinkel BAC.

Så linje A'C sammanfaller med linje AC, så C 'sammanfaller med C. Sedan, genom postulat 1, måste linje BC sammanfalla med linje B'C'. Därför sammanfaller de två trianglarna och följaktligen är deras vinklar och sidor lika.

Andra exempel

Förslag 1.5. (

Anta att triangeln ABC har lika sidor AB och AC.

Så trianglarna ABD och ACD har två lika sidor och vinklarna mellan dem är lika. Således, enligt Proposition 1.4, är vinklarna ABD och ACD lika.

Tredje exempel

Förslag 1.31

Du kan konstruera en linje parallell med en linje som ges av en given punkt.

Byggnad

Givet en linje L och en punkt P, dras en linje M genom P och korsar L. Sedan dras en linje N genom P som korsar L. Nu dras en linje N genom P, som korsar M, bildar en vinkel lika med den som L bildar med M.

Bekräftelse

N är parallell med L.

Demonstration

Anta att L och N inte är parallella och korsar varandra i en punkt A. Låt B vara en punkt i L bortom A. Låt oss betrakta linjen O som passerar genom B och P. Då korsar O M i vinklar som lägger till mindre än två raka.

Sedan med 1,5 linje O måste korsa linje L på andra sidan av M, så L och O korsar varandra i två punkter, vilket strider mot postulat 1. Därför måste L och N vara parallella.

referenser

1. Geometrielement. National Autonomous University of Mexico
2. Euclid. De första sex böckerna och den elfte och tolfte delen av Euclids element
3. Eugenio Filloy Yague. Euklidisk geometri, didaktik och historia, Grupo Redaktion Iberoamericano
4. K. Ribnikov. Matematikens historia. Mir Redaktion
5. Viloria, N., & Leal, J. (2005) Plane Analytical Geometry. Redaktör Venezolana CA