HEPTADECAGON: EGENSKAPER, DIAGONALER, OMKRETS, OMRÅDE - MATTE - 2026

Den heptadecagon är en regelbunden polygon med 17 sidor och 17 hörn. Dess konstruktion kan göras i euklidisk stil, det vill säga endast med linjalen och kompassen. Det var det stora matematiska geniet Carl Friedrich Gauss (1777-1855), knappt 18 år gammal, som fann förfarandet för dess konstruktion 1796.

Tydligen var Gauss alltid mycket benägen till denna geometriska figur, i en sådan utsträckning att från den dag han upptäckte dess konstruktion bestämde han sig för att bli matematiker. Det sägs också att han ville att heptadekagon skulle graveras på hans gravsten.

Figur 1. Heptadecagon är en vanlig polygon med 17 sidor och 17 vertikaler. Källa: F. Zapata.

Gauss fann också formeln för att bestämma vilka vanliga polygoner som har möjlighet att konstrueras med linjal och kompass, eftersom vissa inte har exakt euklidisk konstruktion.

Egenskaper av heptadecagon

När det gäller dess egenskaper, som alla polygoner, är summan av dess inre vinklar viktig. I en vanlig polygon med n-sidor ges summan av:

Denna summa, uttryckt i radianer, ser så här ut:

Från ovanstående formler kan man lätt dra slutsatsen att varje inre vinkel i en heptadekagon har ett exakt mått α som ges av:

Av detta följer att den inre vinkeln ungefär är:

Diagonaler och omkrets

Diagonaler och omkrets är andra viktiga aspekter. I vilken polygon som helst är antalet diagonaler:

D = n (n - 3) / 2 och när det gäller heptadecagon, som n = 17, har vi då att D = 119 diagonaler.

Å andra sidan, om längden på varje sida av heptadecagon är känd, hittas omkretsen av den vanliga heptadecagon helt enkelt genom att lägga till 17 gånger den längden, eller vad som motsvarar 17 gånger längden d på varje sida:

P = 17 d

Heptadekagonens omkrets

Ibland är bara radien r för heptadecagon känd, så det är nödvändigt att utveckla en formel för detta fall.

För detta ändamål introduceras begreppet apotem. Apotemet är det segment som går från mitten av den vanliga polygonen till mittpunkten på en sida. Apotemet i förhållande till en sida är vinkelrätt mot den sidan (se figur 2).

Bild 2. Delarna av en vanlig polygon med radie r och dess apotem visas. (Egen utarbetande)

Dessutom är apotemets halvdel av vinkeln med central topp och sidor på två på varandra följande vertikaler i polygonen, vilket gör det möjligt att hitta ett förhållande mellan radien r och sidan d.

Om den centrala vinkeln DOE kallas β och med beaktande av att apotem OJ är en bisector, har vi EJ = d / 2 = r Sen (β / 2), från vilken vi har ett förhållande för att hitta längden d på sidan av en polygon känd sin radie r och dess centrala vinkel ß:

d = 2 r Sen (p / 2)

När det gäller heptadekagon β = 360º / 17 har vi:

d = 2 r Sen (180 ° / 17) ≈ 0,3675 r

Slutligen erhålles formeln för heptadekagonens omkrets, känd dess radie:

P = 34 r Sen (180º / 17) ≈ 6,2475 r

Omkretsen av en heptadekagon ligger nära periferin av omkretsen som omger den, men dess värde är mindre, det vill säga, omkretsen av den omskrivna cirkeln är Pcir = 2π r ≈ 6.2832 r.

Område

För att bestämma heptadekagonens område kommer vi att hänvisa till figur 2, som visar sidorna och apotemet för en vanlig polygon med n sidor. I den här figuren har triangeln EOD ett område som är lika med basen d (sidan av polygonen) gånger höjden a (polygonen) delat med 2:

EOD-område = (dxa) / 2

Så, att känna apotem a till heptadecagon och sidan d av samma, är dess område:

Heptadecagon-området = (17/2) (dxa)

Område som ges sidan

För att få en formel för området med heptadekagon som känner till längden på de sjutton sidorna, är det nödvändigt att få en relation mellan längden på apotem a och sidan d.

Med hänvisning till figur 2 erhålls följande trigonometriska samband:

Brun (β / 2) = EJ / OJ = (d / 2) / a, där ß är den centrala vinkeln DOE. Så apotemet kan beräknas om längden d på sidan av polygonen och den centrala vinkeln ß är känd:

a = (d / 2) Cotan (p / 2)

Om detta uttryck nu ersätter apoten, i formeln för området för heptadekagon som erhållits i föregående avsnitt, har vi:

Heptadecagon-area = (17/4) (d ² ) Cotan (ß / 2)

Att vara β = 360º / 17 för heptadecagon, så vi har äntligen önskad formel:

Heptadecagon area = (17/4) (d ² ) Cotan (180º / 17)

Område som ges radien

I de föregående avsnitten hade ett förhållande hittats mellan sidan d av en vanlig polygon och dess radie r, varvid detta förhållande var följande:

d = 2 r Sen (p / 2)

Detta uttryck för d införs i uttrycket erhållet i det föregående avsnittet för området. Om de relevanta substitutionerna och förenklingarna görs erhålls formeln som möjliggör beräkningen av heptadekagonens area:

Heptadecagon-området = (17/2) (r ² ) Sen (ß) = (17/2) (r ² ) Sen (360º / 17)

Ett ungefärligt uttryck för området är:

Heptadecagon-område = 3.0706 (r ² )

Som väntat är detta område något mindre än området för cirkeln som omger heptadekagon A _circ = π r ² ≈ 3.1416 r ² . För att vara exakt är det 2% mindre än för dess omskrivna cirkel.

exempel

Exempel 1

För att besvara frågan är det nödvändigt att komma ihåg förhållandet mellan sidan och radien för en vanlig n-sidig polygon:

d = 2 r Sen (180 ° / n)

För heptadecagon n = 17, så att d = 0,3675 r, dvs heptadecagonens radie är r = 2 cm / 0,3675 = 5.4423 cm eller

10,8844 cm i diameter.

Omkretsen av en 2 cm sidheptadekagon är P = 17 * 2 cm = 34 cm.

Exempel 2

Vi måste hänvisa till formeln som visas i föregående avsnitt, som gör det möjligt för oss att hitta området för en heptadekagon när den har längden d på sin sida:

Heptadecagon-området = (17/4) (d ² ) / Tan (180º / 17)

Genom att ersätta d = 2 cm i den föregående formeln, får vi:

Yta = 90,94 cm

referenser

1. CEA (2003). Geometrielement: med övningar och kompassgeometri. University of Medellin.
2. Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). Matematik 2. Grupo Redaktionella patria.
3. Freed, K. (2007). Upptäck polygoner. Benchmark Education Company.
4. Hendrik, V. (2013). Generaliserade polygoner. Birkhäuser.
5. IGER. (Sf). Matematik Första termin Tacaná. IGER.
6. Jr. geometri. (2014). Polygoner. Lulu Press, Inc.
7. Miller, Heerenveen och Hornsby. (2006). Matematik: resonemang och tillämpningar (tionde upplagan). Pearson Education.
8. Patiño, M. (2006). Matematik 5. Redaktionell progreso.
9. Sada, M. 17-sidig vanlig polygon med linjal och kompass. Återställd från: geogebra.org
10. Wikipedia. Heptadecagon. Återställd från: es.wikipedia.com