- Vilka är dimensionerna?
- Tredimensionellt utrymme
- Den fjärde dimensionen och tiden
- Koordinaterna för en hyperkub
- Åtgärd av en hyperkub
- referenser
En hyperkub är en kub med dimension n. Det speciella fallet med den fyrdimensionella hyperkuben kallas en tesserakt. En hyperkub eller n-kub består av raka segment, alla med samma längd som är ortogonala vid deras toppar.
Människor uppfattar tredimensionellt rymd: bredd, höjd och djup, men det är inte möjligt för oss att visualisera en hyperkub med en dimension större än 3.
Figur 1. En 0-kub är en punkt, om den punkten sträcker sig i en riktning ett avstånd a bildar en 1-kub, om den 1-kuben sträcker sig ett avstånd a i den ortogonala riktningen har vi en 2-kub (från sidorna x till a), om 2-kuben sträcker sig ett avstånd a i den ortogonala riktningen har vi en 3-kub. Källa: F. Zapata.
Som mest kan vi göra projektioner av det i tredimensionellt utrymme för att representera det, på samma sätt som hur vi projicerar en kub på ett plan för att representera det.
I dimension 0 är den enda figuren punkten, så en 0-kub är en punkt. En 1-kub är ett rakt segment, som bildas genom att flytta en punkt i en riktning ett avstånd a.
En 2-kub är för sin del en kvadrat. Det är konstruerat genom att flytta 1-kuben (segmentet längd a) i y-riktningen, som är vinkelrätt mot x-riktningen, ett avstånd a.
3-kuben är den vanliga kuben. Den byggs från torget genom att flytta den i den tredje riktningen (z), som är vinkelrätt mot x- och y-riktningen, ett avstånd a.
Figur 2. En 4-kub (tesseract) är en förlängning av en 3-kub i den ortogonala riktningen till de tre konventionella rumsliga riktningarna. Källa: F. Zapata.
4-kuben är tesserakten, som är byggd från en 3-kub som rör den ortogonalt, ett avstånd a, mot en fjärde dimension (eller fjärde riktningen), som vi inte kan förstå.
En tesserakt har alla sina rätvinklar, den har 16 vertikaler och alla kanter (18 totalt) har samma längd a.
Om längden på kanterna på en n-kub eller en hypercube med dimension n är 1, är det en enhetshyperkub, i vilken den längsta diagonalen mäter √n.
Figur 3. En n-kub erhålls från en (n-1) -kub som sträcker sig ortogonalt i nästa dimension. Källa: wikimedia commons.
Vilka är dimensionerna?
Dimensioner är frihetsgraderna eller möjliga riktningar som ett objekt kan röra sig på.
I dimension 0 finns det ingen möjlighet att översätta och det enda möjliga geometriska objektet är poängen.
En dimension i det euklidiska rymden representeras av en orienterad linje eller axel som definierar den dimensionen, kallad X-axeln. Skillnaden mellan två punkter A och B är det euklidiska avståndet:
d = √.
I två dimensioner representeras rymden av två linjer orienterade vinkelrätt mot varandra, kallad X-axeln och Y-axeln.
Positionen för vilken punkt som helst i detta tvådimensionella utrymme ges av dess par kartesiska koordinater (x, y) och avståndet mellan två punkter A och B kommer att vara:
d = √
Eftersom det är ett utrymme där Euclids geometri uppfylls.
Tredimensionellt utrymme
Tredimensionellt rymd är det utrymme som vi rör oss i. Den har tre riktningar: bredd, höjd och djup.
I ett tomt rum ger de vinkelräta hörnen dessa tre riktningar och till var och en kan vi associera en axel: X, Y, Z.
Detta utrymme är också euklidiskt och avståndet mellan två punkter A och B beräknas enligt följande:
d = √
Människor kan inte uppfatta mer än tre rumsliga (eller euklidiska) dimensioner.
Från en strikt matematisk synvinkel är det emellertid möjligt att definiera ett n-dimensionellt euklidiskt utrymme.
I detta utrymme har en punkt koordinater: (x1, x2, x3,… .., xn) och avståndet mellan två punkter är:
d = √.
Den fjärde dimensionen och tiden
I relativitetsteorin behandlas tiden faktiskt som en ytterligare dimension och en koordinat är associerad med den.
Men det måste klargöras att denna koordinat associerad med tiden är ett imaginärt nummer. Därför är separationen av två punkter eller händelser i rymden inte euklidisk, utan följer snarare Lorentz-metriken.
En fyrdimensionell hypercube (tesserakten) lever inte i rymdtid, den tillhör en fyra-dimensionell euklidisk hyper-rymd.
Bild 4. 3D-projektion av en fyrdimensionell hypercube i enkel rotation runt ett plan som delar figuren från fram till vänster, bakåt till höger och från topp till botten. Källa: Wikimedia Commons.
Koordinaterna för en hyperkub
Koordinaterna för topparna på en n-kub centrerad vid ursprunget erhålls genom att göra alla möjliga permutationer för följande uttryck:
(a / 2) (± 1, ± 1, ± 1, …., ± 1)
Där a är längden på kanten.
-Den volym av en n-kub på kanten a är: (a / 2) n (2 n ) = a n .
-Den längsta diagonalen är avståndet mellan motsatta vertikaler.
-Följande är motsatta vertikaler i en kvadrat : (-1, -1) och (+1, +1).
-Och i en kub : (-1, -1, -1) och (+1, +1, +1).
-Den längsta diagonalen i en n-kub mäter:
d = √ = √ = 2√n
I detta fall antogs sidan vara a = 2. För en n-kub på endera sidan kommer följande att vara
d = a√n.
-En tesseract har var och en av sina 16 toppar anslutna till fyra kanter. Följande bild visar hur vertikaler är anslutna i en tesserakt.
Bild 5. De 16 vertikalerna på en fyrdimensionell hypercube och hur de är anslutna visas. Källa: Wikimedia Commons.
Åtgärd av en hyperkub
En vanlig geometrisk figur, till exempel en polyhedron, kan veckas ut i flera figurer med mindre dimension.
När det gäller en 2-kub (en kvadrat) kan den delas upp i fyra segment, det vill säga fyra 1-kub.
På liknande sätt kan en 3-kub veckas ut i sex 2-kuber.
Figur 6. En n-kub kan veckas ut i flera (n-1) -kub. Källa: Wikimedia Commons.
En 4-kub (tesseract) kan veckas ut i åtta 3-kuber.
Följande animering visar utvecklingen av en tesserakt.
Figur 7. En 4-dimensionell hypercube kan veckas ut i åtta tredimensionella kuber. Källa: Wikimedia Commons.
Figur 8. Tredimensionell projicering av en fyrdimensionell hypercube som utför en dubbel rotation runt två ortogonala plan. Källa: Wikimedia Commons.
referenser
- Vetenskaplig kultur. Hypercube, visualiserar den fjärde dimensionen. Återställd från: culturacientifica.com
- Epsilons. Fyra-dimensionell hypercube eller tesseract. Återställd från: epsilones.com
- Perez R, Aguilera A. En metod för att erhålla en tesserakt från utvecklingen av en hypercube (4D). Återställd från: researchgate.net
- Books. Matematik, Polyhedra, Hypercubes. Återställd från: es.wikibooks.org
- Wikipedia. Hypercube. Återställd från: en.wikipedia.com
- Wikipedia. Tesseract. Återställd från: en.wikipedia.com