PARABOLSKYTTE: EGENSKAPER, FORMLER OCH EKVATIONER, EXEMPEL - FYSISK - 2025

Den Parabolisk av att kasta ett objekt eller en projektil vinkel och låta den komma under inverkan av tyngdkraften. Om luftmotstånd inte beaktas, kommer objektet, oavsett dess natur, att följa en parabolbågsväg.

Det är en daglig rörelse, eftersom bland de populäraste sporterna finns de där bollar eller bollar kastas, antingen med handen, med foten eller med ett instrument som en racket eller en fladdermus.

Bild 1. Vattenstrålen från dekorativa fontänen följer en parabolisk väg. Källa: Wikimedia Commons. Zátonyi Sándor (ifj.), Fizped / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0)

För sin studie delas det paraboliska skottet upp i två överlagrade rörelser: en horisontell utan acceleration, och den andra vertikal med konstant acceleration nedåt, vilket är tyngdkraften. Båda rörelserna har initial hastighet.

Låt oss säga att den horisontella rörelsen löper längs x-axeln och den vertikala rörelsen längs y-axeln. Var och en av dessa rörelser är oberoende av den andra.

Eftersom bestämning av projektilens position är huvudmålet är det nödvändigt att välja ett lämpligt referenssystem. Detaljerna följer.

Paraboliska formler och ekvationer

Anta att objektet kastas med vinkeln a med avseende på horisontell och initial hastighet v _eller som visas i figuren nedan till vänster. Parabolskottet är en rörelse som äger rum på xy-planet och i så fall sönderdelas den initiala hastigheten enligt följande:

Bild 2. Till vänster projektilens initiala hastighet och till höger positionen vid varje ögonblick av lanseringen. Källa: Wikimedia Commons. Zátonyi Sándor, (ifj.) Fizped / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0).

Positionen för projektilen, som är den röda pricken i figur 2, höger bild, har också två tidsberoende komponenter, en vid x och den andra på y. Position är en vektor betecknad r och dess enheter är längd.

I figuren sammanfaller projektilens initiala position med koordinatsystemets ursprung, därför är x _o = 0 och _o = 0. Detta är inte alltid fallet, du kan välja ursprung var som helst, men detta val förenklar mycket beräkningar.

När det gäller de två rörelserna i x och i y är dessa:

-x (t): det är en enhetlig rätlinjig rörelse.

-y (t): motsvarar en jämn accelererad rätlinjig rörelse med g = 9,8 m / s ² och pekar vertikalt nedåt.

I matematisk form:

Positionsvektorn är:

r (t) = i + j

I dessa ekvationer kommer den uppmärksamma läsaren att märka att minustecknet beror på att tyngdkraften pekar mot marken, riktningen valdes som negativ, medan uppåt tas som positiv.

Eftersom hastighet är det första derivatet av position, differentiera helt enkelt r (t) med avseende på tid och erhålla:

v (t) = v _o cos α i + (v _o. sin a - gt) j

Slutligen uttrycks accelerationen vektoriellt som:

a (t) = -g j

- Bana, maximal höjd, maximal tid och horisontell räckvidd

Bana

För att hitta den explicita ekvationen för banan, som är kurvan y (x), måste vi eliminera tidsparametern, lösa i ekvationen för x (t) och ersätta i y (t). Förenklingen är lite ansträngande, men äntligen får du:

Maxhöjd

Maximal höjd inträffar när v _y = 0. Att veta att det finns följande förhållande mellan position och hastighetens kvadrat:

Bild 3. Hastigheten i parabolskottet. Källa: Giambattista, A. Physics.

Att göra v _y = 0 precis när du når maximal höjd:

Med:

Maximal tid

Den maximala tiden är den tid det tar objektet att nå och _max . För att beräkna det används:

Genom att veta att v _y blir 0 när t = t _max , resulterar det i:

Maximal horisontell räckvidd och flygtid

Området är väldigt viktigt eftersom det signalerar var objektet kommer att falla. På detta sätt kommer vi att veta om det når målet eller inte. För att hitta det behöver vi flygtid, total tid eller _v .

Från ovanstående illustration är det lätt att dra slutsatsen att t _v = 2.t _max . Men var försiktig! Detta är bara sant om lanseringen är i nivå, det vill säga, startpunktens höjd är densamma som ankomsthöjden. Annars hittas tiden genom att lösa den kvadratiska ekvationen som är resultatet av att ersätta den slutliga och _slutliga positionen :

I vilket fall som helst är den maximala horisontella räckvidden:

Exempel på parabolskytte

Parabolskottet är en del av människors och djurens rörelse. Också av nästan alla sporter och spel där gravitationen griper in. Till exempel:

Parabolskytte i mänskliga aktiviteter

-Stenen kastas av en katapult.

-Målvakarens målspark.

-Kulan kastas av kannan.

-Pilen som kommer ut ur pilbågen.

-Alla typer av hopp

-Kasta en sten med en sele.

-Alla kastvapen.

Bild 4. Stenen som kastats av katapult och bollen som sparkats i målspark är exempel på parabolskott. Källa: Wikimedia Commons.

Det paraboliska skottet i naturen

-Vattnet som rinner från naturliga eller konstgjorda strålar som de från en fontän.

-Stoner och lava som växer ut ur en vulkan.

-En boll som studsar från trottoaren eller en sten som studsar på vatten.

-Alla typer av djur som hoppar: känguruer, delfiner, gaseller, katter, grodor, kaniner eller insekter, för att nämna några.

Bild 5. Impalaen kan hoppa upp till 3 m. Källa: Wikimedia Commons. Arturo de Frias Marques / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0).

Träning

En gräshoppa hoppar i en vinkel på 55º med horisontalen och landar 0,80 meter framåt. Hitta:

a) Maximal höjd uppnådd.

b) Om han hoppade med samma initiala hastighet, men bildade en vinkel på 45º, skulle han gå högre?

c) Vad kan sägas om den maximala horisontella räckvidden för denna vinkel?

Lösning till

När data som tillhandahålls av problemet inte innehåller den ursprungliga hastigheten v _eller beräkningarna är något mer mödosamma, men från de kända ekvationerna kan ett nytt uttryck härledas. Med början från:

När den landar senare återgår höjden till 0, så:

Eftersom t _v är en vanlig faktor, förenklar det:

Vi kan lösa för t _v från den första ekvationen:

Och ersätt i den andra:

När man multiplicerar alla termer med v _eller .cos α förändras inte uttrycket och nämnaren försvinner:

Nu kan du rensa v _eller o också ersätta följande identitet:

sin 2α = 2 sin α. cos α → v _eller ² sin 2α = _{max max}

Beräkna v _eller ² :

Hummer lyckas upprätthålla samma horisontella hastighet, men genom att minska vinkeln:

Når en lägre höjd.

Lösning c

Den maximala horisontella räckvidden är:

Att ändra vinkeln ändrar också horisontell räckvidd:

x _max = 8,34 sin 90 / 9,8 m = 0,851 m = 85,1 cm

Hoppet är längre nu. Läsaren kan kontrollera att den är maximalt för 45 ° vinkeln eftersom:

sin 2a = sin 90 = 1.

referenser

1. Figueroa, D. 2005. Serie: Physics for Sciences and Engineering. Volym 1. Kinematik. Redigerad av Douglas Figueroa (USB).
2. Giambattista, A. 2010. Fysik. Andra upplagan. McGraw Hill.
3. Giancoli, D. 2006. Physics: Principles with Applications. 6:e. Ed Prentice Hall.
4. Resnick, R. 1999. Physics. Vol. 1. 3: e upplagan på spanska. Compañía Editorial Continental SA de CV
5. Sears, Zemansky. 2016. Universitetsfysik med modern fysik. 14:e. Utg. Volym 1.