PYTHAGOREISKA IDENTITETER: DEMONSTRATION, EXEMPEL, ÖVNINGAR - MATTE - 2026

Pythagoreiska identiteter är alla trigonometriska ekvationer som gäller för vinkelvärde och baseras på Pythagoras teorem. Den mest berömda av de Pythagoreiska identiteterna är den grundläggande trigonometriska identiteten:

Sin ² (a) + Cos ² (a) = 1

Figur 1. Pythagoreiska trigonometriska identiteter.

Nästa i vikt och jag använder den Pythagoreiska identiteten på tangenten och sekanten:

Tan ² (a) + 1 = Sek ² (a)

Och den Pythagoreiska trigonometriska identiteten som involverar cotangenten och kosekanten:

1 + Ctg ² (a) = Csc ² (a)

Demonstration

De trigonometriska förhållandena sinus och kosinus representeras i en cirkel med radie en (1) känd som en trigonometrisk cirkel. Nämnda cirkel har sitt centrum vid ursprunget till koordinaterna O.

Vinklar mäts från Xs positiva halvaxel, till exempel vinkel α i figur 2 (se nedan). Moturs om vinkeln är positiv och medurs om den är en negativ vinkel.

Strålen med ursprung O och vinkeln a dras, som skär upp enhetscirkeln vid punkten P. Punkt P projiceras ortogonalt på den horisontella axeln X som ger upphov till punkt C. På samma sätt projiceras P vinkelrätt på den vertikala axeln Y som ger plats till punkt S.

Vi har rätt triangel OCP vid C.

Sinus och kosinus

Det bör komma ihåg att den trigonometriska förhållandet sinus definieras i en rätt triangel enligt följande:

Sinus för en vinkel i triangeln är förhållandet eller kvoten mellan benet mittemot vinkeln och triangelns hypotenus.

Tillämpat på triangeln OCP i figur 2 ser det ut så här:

Sen (a) = CP / OP

men CP = OS och OP = 1, så att:

Sen (a) = OS

Vilket innebär att projektions OS på Y-axeln har ett värde lika med sinus för den visade vinkeln. Det bör noteras att det maximala värdet på sinus för en vinkel (+1) inträffar när α = 90º och minimum (-1) när α = -90º eller α = 270º.

Bild 2. Trigonometrisk cirkel som visar förhållandet mellan den Pythagorese teorem och den grundläggande trigonometriska identiteten. (Egen utarbetande)

På liknande sätt är kosinus i en vinkel kvoten mellan benet intill vinkeln och triangelns hypotenus.

Tillämpat på triangeln OCP i figur 2 ser det ut så här:

Cos (a) = OC / OP

men OP = 1, så att:

Cos (a) = OC

Detta innebär att projektionen OC på X-axeln har ett värde lika med sinus för den visade vinkeln. Det bör noteras att det maximala värdet för kosinus (+1) inträffar när α = 0º eller α = 360º, medan minimivärdet för kosinus är (-1) när α = 180º.

Den grundläggande identiteten

För den högra triangeln OCP i C tillämpas Pythagorean teorem, som anger att summan av kvadratet på benen är lika med kvadratet på hypotenusen:

CP ² + OC ² = OP ²

Men det har redan sagts att CP = OS = Sen (α), att OC = Cos (α) och att OP = 1, så att det tidigare uttrycket kan skrivas om som en funktion av sinus och kosinus i vinkeln:

Sin ² (a) + Cos ² (a) = 1

Tangens axel

Precis som X-axeln i den trigonometriska cirkeln är kosinusaxeln och Y-axeln sinusaxeln, på samma sätt finns det tangentaxeln (se figur 3) som är exakt tangentlinjen till enhetscirkeln vid punkten B av koordinater (1, 0).

Om du vill veta värdet på tangenten på en vinkel dras vinkeln från den positiva halvaxeln på X, skärningspunkten mellan vinkeln och tangenten definierar en punkt Q, längden på segmentet OQ är tangenten vinkel.

Detta beror på att definitionen av vinkeln a är motsatt ben QB mellan det intilliggande benet OB. Det vill säga Tan (α) = QB / OB = QB / 1 = QB.

Bild 3. Den trigonometriska cirkeln som visar tangenten och tangentens Pythagoreiska identitet. (Egen utarbetande)

Pythagoreas identitet på tangenten

Tångens Pythagoreiska identitet kan bevisas genom att beakta den rätta triangeln OBQ vid B (figur 3). Tillämpa Pythagorean teorem på denna triangel har vi att BQ ² + OB ² = OQ ² . Men det har redan sagts att BQ = Tan (α), att OB = 1 och att OQ = Sec (α), så att vi i den Pythagoreiska jämställdheten ersätter rätt triangel OBQ:

Tan ² (a) + 1 = Sek ² (a).

Exempel

Kontrollera om Pythagoreas identiteter uppfylls i den högra triangeln för benen AB = 4 och BC = 3.

Lösning: Benen är kända, hypotenusen måste bestämmas, vilket är:

AC = √ (AB ^ 2 + BC ^ 2) = √ (4 ^ 2 + 3 ^ 2) = √ (16 + 9) = √ (25) = 5.

Vinkeln ∡BAC kommer att kallas α, ∡BAC = α. Nu bestäms de trigonometriska förhållandena:

Sen a = BC / AC = 3/5

Cosa = AB / AC = 4/5

Så α = BC / AB = 3/4

Cotan a = AB / BC = 4/3

Sek a = AC / AB = 5/4

Csc a = AC / BC = 5/3

Det börjar med den grundläggande trigonometriska identiteten:

Sin ² (a) + Cos ² (a) = 1

(3/5) ^ 2 + (4/5) ^ 2 = 9/25 + 16/25 = (9 +16) / 25 = 25/25 = 1

Det dras slutsatsen att det uppfylls.

- Nästa Pythagoreiska identitet är tangenten:

Tan ² (a) + 1 = Sek ² (a)

(3/4) ^ 2 + 1 = 9/16 + 16/16 = (9 + 16) / 16 = 25/16 = (5/4) ^ 2

Och det dras slutsatsen att tangentens identitet verifieras.

- På liknande sätt som för cotangenten:

1 + Ctg ² (a) = Csc ² (a)

1+ (4/3) ^ 2 = 1 + 16/9 = 25/9 = (5/3) ^ 2

Det dras slutsatsen att den också är uppfylld, med vilken uppgiften att verifiera de Pythagoreiska identiteterna för den givna triangeln har slutförts.

Lösta övningar

Bevisa följande identiteter, baserat på definitionerna av de trigonometriska förhållandena och de Pythagoreiska identiteterna.

Övning 1

Bevisa att Cos ² x = (1 + Sin x) (1 - Sin x).

Lösning: På höger sida känner vi igen den anmärkningsvärda produkten av multiplikationen av en binomial med dess konjugat som, som vi vet, är en skillnad i kvadrater:

Cos ² x = 1 ² - Sin ² x

Sedan går termen med sinus på höger sida till vänster med skylten ändrad:

Cos ² x + Sen ² x = 1

Att notera att den grundläggande trigonometriska identiteten har uppnåtts, så det dras slutsatsen att det givna uttrycket är en identitet, det vill säga det är sant för alla värden på x.

Övning 2

Börja från den grundläggande trigonometriska identiteten och använda definitionerna av de trigonometriska förhållandena, visa den pythagoreiska identiteten hos kosekanten.

Lösning: Den grundläggande identiteten är:

Sin ² (x) + Cos ² (x) = 1

Båda medlemmarna är indelade av Sen ² (x) och nämnaren fördelas i den första medlemmen:

Sin ² (x) / Sin ² (x) + Cos ² (x) / Sin ² (x) = 1 / Sin ² (x)

Det förenklas:

1 + (Cos (x) / Sen (x)) ^ 2 = (1 / Sen (x)) ^ 2

Cos (x) / Sen (x) = Cotan (x) är en (icke-pytagoreisk) identitet som verifieras genom själva definitionen av de trigonometriska förhållandena. Samma sak händer med följande identitet: 1 / Sen (x) = Csc (x).

Slutligen måste du:

1 + Ctg ² (x) = Csc ² (x)

referenser

1. Baldor J. (1973). Plan- och rymdgeometri med en introduktion till trigonometri. Centralamerikanska kulturella. AC
2. CEA (2003). Geometrielement: med övningar och kompassgeometri. University of Medellin.
3. Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). Matematik 2. Grupo Redaktionella patria.
4. IGER. (Sf). Matematik Första termin Tacaná. IGER.
5. Jr. geometri. (2014). Polygoner. Lulu Press, Inc.
6. Miller, Heerenveen och Hornsby. (2006). Matematik: resonemang och tillämpningar (tionde upplagan). Pearson Education.
7. Patiño, M. (2006). Matematik 5. Redaktionell progreso.
8. Wikipedia. Trigonometri-identiteter och formler. Återställd från: es.wikipedia.com