FERMATGRÄNS: VAD DEN BESTÅR AV OCH LÖSTA ÖVNINGAR - MATTE - 2026

Den Fermat gränsen är en numerisk metod som används för att erhålla värdet av lutningen av en linje, som tangerar en funktion vid en viss punkt i dess domän. Det används också för att få kritiska punkter för en funktion. Dess uttryck definieras som:

Det är uppenbart att Fermat inte kände till grunderna för härledning, men det var hans studier som fick en grupp matematiker att fråga om tangentlinjer och deras tillämpningar i kalkyl.

Vad är Fermat-gränsen?

Den består av en strategi på 2 punkter, som under tidigare förhållanden bildar en sektionslinje till funktionen med korsning i par av värden.

Genom att närma sig variabeln till värdet "a" tvingas poängparet att möta. På detta sätt blir den tidigare säkra linjen tangent till punkten (a; f (a)).

Värdet på kvoten (x - a) ger, vid utvärdering vid punkten ”a”, en obestämd gräns för typen K mellan noll (K / 0). Där dessa olika bestämningsmetoder kan brytas genom olika factoring-tekniker.

De vanligaste användningsmetoderna är:

-Difference av kvadrater (a ² - b ² ) = (a + b) (a - b); Existensen av elementet (a - b) innebär i de flesta fall den faktor som förenklar uttrycket (x - a) i kvoten av Fermat-gränsen.

- Slutförande av rutor (ax ² + bx); Efter färdigställning av rutor erhålls en Newton-binomial, där en av dess två faktorer förenklas med uttrycket (x - a), vilket bryter obestämdheten.

- konjugat (a + b) / (a ​​+ b); Att multiplicera och dela uttrycket med konjugatet av någon faktor kan vara till stor hjälp för att bryta obestämdheten.

- Vanlig faktor; I många fall döljer resultatet av att man använder numeratorn för Fermat-gränsen f (x) - f (a) den faktor (x - a) som behövs för att faktor. För detta observeras noggrant vilka element som upprepas i varje faktor i uttrycket.

Tillämpning av Fermat-gränsen för maximum och minimi

Även om Fermat-gränsen inte skiljer mellan maximum och minimum, eftersom den bara kan identifiera de kritiska punkterna enligt dess definition, används den vanligtvis vid beräkningen av lock eller golv med funktioner i planet.

En grundläggande kunskap om den grafiska teorin om funktioner i samband med detta teorem kan vara tillräckligt för att fastställa maximala och minimivärden mellan funktioner. I själva verket kan böjningspunkterna definieras med hjälp av medelvärdestelsen utöver Fermats teorem.

Den kubiska liknelsen

Den viktigaste paradoxen för Fermat kom från att studera den kubiska parabolen. Eftersom hans uppmärksamhet riktades mot tangentlinjerna för en funktion för en given punkt, stötte han på problemet med att definiera tangentlinjen vid böjningspunkten i funktionen.

Det verkade omöjligt att bestämma tangentlinjen till en punkt. Således börjar undersökningen som skulle ge upphov till differentieringsberäkningen. Definieras senare av viktiga exponenter för matematiken.

Maximus och minimal

Studien av maximeringar och minimikrav för en funktion var en utmaning för klassisk matematik, där en entydig och praktisk metod behövdes för att definiera dem.

Fermat skapade en metod baserad på drift av små differentiella värden, som efter faktureringsprocesser elimineras, vilket ger plats för det maximala och minsta värdet som sökts.

Denna variabel måste utvärderas i det ursprungliga uttrycket för att bestämma koordinaten för nämnda punkt, som tillsammans med analytiska kriterier kommer att definieras som det maximala eller minsta uttrycket.

Metod

I sin metod använder Fermat den bokstavliga symboliken av Vieta, som bestod i exklusiv användning av versaler: vokaler, för okända och konsonanter för kända mängder.

När det gäller radikala värden implementerade Fermat en viss process, som senare skulle användas för att faktorisera gränserna för obegränsad oändlighet mellan oändligheten.

Denna process består av att dela varje uttryck med värdet på den använda differensen. När det gäller Fermat använde han bokstaven E, där efter att ha delat med den högsta kraften i E, blir det sökta värdet för den kritiska punkten klyvbar.

Historia

Fermat-gränsen är i själva verket ett av de minst kända bidrag i matematikerens långa lista. Hans studier gick från primtal till att i princip skapa grunden för beräkning.

I sin tur var Fermat känd för sina excentriciteter med avseende på sina hypoteser. Det var vanligt att honom lämnade en slags utmaning för de andra matematikerna i tiden, då han redan hade lösningen eller beviset.

Han hade ett stort antal olika tvister och allianser med olika tiders matematiker som antingen älskade eller hatade att arbeta med honom.

Hans sista teorem var det huvudansvariga för hans världsomspännande berömmelse, där han uttalade att en generalisering av Pythagoras teorem för någon grad "n" var omöjlig. Han påstod att ha ett giltigt bevis på det, men dog innan han offentliggjorde det.

Denna demonstration måste vänta cirka 350 år. 1995 stoppade matematikerna Andrew Wiles och Richard Taylor slutet på ångesten som Fermat lämnade, vilket bevisade att han hade rätt genom ett giltigt bevis på sin sista sats.

övningar

Övning 1

Definiera lutningen på tangentlinjen till kurvan f (x) = x ² vid punkten (4, 16)

Att ersätta uttrycket Fermat-gränsen har vi:

Faktorerna (x - 4) förenklas

Vid utvärdering har du

M = 4 + 4 = 8

Övning 2

Definiera den kritiska punkten för uttrycket f (x) = x ² + 4x med Fermat-gränsen

En strategisk gruppering av element genomförs i syfte att gruppera par XX ₀

De minsta rutorna utvecklas

Observera den vanliga faktorn XX _{0 och extrahera}

Uttrycket kan nu förenklas och obestämdheten bryts

Vid minsta punkter är det känt att lutningen på tangentlinjen är lika med noll. På detta sätt kan vi utjämna uttrycket som hittas till noll och lösa för värdet X ₀

2 X ₀ + 4 = 0

X ₀ = -4/2 = -2

För att få den saknade koordinaten är det bara nödvändigt att utvärdera punkten i den ursprungliga funktionen

F (-2) = (-2) ² + 4 (-2) = 4 - 8 = - 4

Den kritiska punkten är P (-2, -4).

referenser

1. Verklig analys. En historisk strategi Sauhl Stahl, John Wiley & Sons, 5 aug. 1999.
2. Den matematiska karriären av Pierre de Fermat, 1601-1665: Andra upplagan. Michael Sean Mahoney. Princeton University Press, 5 juni. 2018
3. Från Fermat till Minkowski: Föreläsningar om teorin om siffror och dess historiska utveckling. W. Scharlau, H. Opolka, Springer Science & Business Media, 1985
4. Fermats sista teorem: En genetisk introduktion till algebraisk talteori. Harold M. Edwards. Springer Science & Business Media, 14 jan 2000
5. Fermat dagar 85: Matematik för optimering. J B. Hiriart-Urruty Elsevier, 1 jan. 1986