BOOLESKA ALGEBRA: HISTORIA, SATSER OCH POSTULATER, EXEMPEL - MATTE - 2026

Den Boolean algebra eller Boolean algebra är algebraisk notation som används för behandling av binära variabler. Det omfattar studier av alla variabler som endast har två möjliga resultat, komplementära och ömsesidigt exklusiva. Till exempel är variabler vars enda möjlighet är sant eller falskt, korrekt eller felaktigt, av eller på grundval av studien av den booleska algebra.

Booleska algebra utgör grunden för digital elektronik, vilket gör den ganska närvarande idag. Det styrs av begreppet logiska grindar, där kända operationer i traditionell algebra särskilt påverkas.

Källa: pexels.com

Historia

Booleska algebra infördes 1854 av den engelska matematikern George Boole (1815 - 1864), som var en självlärd lärare i tiden. Hans oro uppstod från en befintlig tvist mellan Augustus De Morgan och William Hamilton, om parametrarna som definierar detta logiska system.

George Boole hävdade att definitionen av de numeriska värdena 0 och 1 motsvarar logikfältet respektive tolkningen Nothing respektive Universe.

George Booles avsikt var att definiera, genom egenskaperna hos algebra, de uttryck för propositionslogik som behövs för att hantera variabler av binär typ.

1854 publicerades de viktigaste avsnitten av den booleska algebra i boken "En undersökning av tankelagen som de matematiska teorierna om logik och sannolikhet bygger på."

Denna nyfikna titel skulle sammanfattas senare som "Tankeens lagar" ("Tankeens lagar"). Titeln steg till berömmelse på grund av den omedelbara uppmärksamhet den fick från tidens matematiska gemenskap.

1948 tillämpade Claude Shannon den på utformningen av bistabila elektriska kopplingskretsar. Detta fungerade som en introduktion till tillämpningen av Booles algebra inom hela det elektroniska-digitala schemat.

Strukturera

Elementarvärdena i denna typ av algebra är 0 och 1, vilket motsvarar FALSE respektive SANT. De grundläggande operationerna i den booleska algebra är 3:

- OCH drift eller konjunktion. Representeras av en period (.). Produktens synonym.

- ELLER drift eller disjunktion. Representeras av ett kors (+).

- INTE drift eller negation. Representeras av prefixet INTE (INTE A). Det är också känt som ett komplement.

Om i en uppsättning A 2 lagar med intern sammansättning definieras betecknas som produkt och summa (. +), Sägs trippeln (A. +) vara en boolesisk algebra om och bara om nämnda trippel uppfyller villkoret att vara ett gitter distributiv.

För att definiera ett distribuerande galler måste distributionsvillkoren vara uppfyllda mellan de givna operationerna:

. är fördelande med avseende på summan + a. (b + c) = (a. b) + (a. c)

+ är distribuerande med avseende på produkten. a + (b. c) = (a + b). (a + c)

Elementen som utgör uppsättning A måste vara binära och därmed ha universum eller ogiltiga värden.

tillämpningar

Dess huvudsakliga applikationsscenario är den digitala grenen, där den tjänar till att strukturera de kretsar som utgör de logiska operationerna. Konsten för enkelhet i kretsen till förmån för optimering av processer är resultatet av korrekt tillämpning och praktik av booleska algebra.

Från utarbetandet av elektriska paneler, genom överföring av data, till att komma till programmering på olika språk, kan vi ofta hitta booleska algebra i alla typer av digitala applikationer.

Booleska variabler är mycket vanliga i strukturen för programmering. Beroende på vilket programmeringsspråk som används kommer det att finnas strukturella operationer i koden som använder dessa variabler. Villkoren och argumenten för varje språk medger booleska variabler för att definiera processerna.

postulat

Det finns teorem som styr de strukturella logiska lagarna i Booles algebra. På samma sätt finns det postulater för att känna till de möjliga resultaten i olika kombinationer av binära variabler, beroende på den utförda operationen.

Summa (+)

OR- operatören vars logiska element är unionen (U) definieras för binära variabler enligt följande:

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 1

Produkt (.)

OCH- operatören vars logiska element är korsningen (∩) definieras för binära variabler enligt följande:

0. 0 = 0

0. 1 = 0

ett . 0 = 0

ett . 1 = 1

Motsatt (INTE)

Den INTE operatör vars logiska element är komplementet (X) 'definieras för binära variabler enligt följande:

INTE 0 = 1

INTE 1 = 0

Många av postulaten skiljer sig från sina motsvarigheter i konventionell algebra. Detta beror på variabelns domän. Till exempel kan tillägget av universumelement i Boolean algebra (1 + 1) inte ge det konventionella resultatet av 2, eftersom det inte tillhör elementen i den binära uppsättningen.

satser

Regel för noll och enhet

Varje enkel operation som involverar ett element med de binära variablerna definieras:

0 + A = A

1 + A = 1

0. A = 0

ett . A = A

Lika makter eller idempotens

Funktioner mellan lika variabler definieras som:

A + A = A

TILL. A = A

komplettering

Varje operation mellan en variabel och dess komplement definieras som:

A + INTE A = 1

TILL. INTE A = 0

Involution eller dubbel negation

Varje dubbel negation kommer att betraktas som den naturliga variabeln.

INTE (INTE A) = A

kommutativ

A + B = B + A; Summans kommutativitet.

TILL. B = B. TILL; Produktens kommutativitet.

Associativ

A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C; Summanas associativitet.

TILL. (B.C) = (A. B). C = A. B. C; Produktassociativitet.

Distributiv

A + (B.C) = (A + B). (A + C); Fördelning av summan med avseende på produkten.

TILL. (B + C) = (A. B) + (A + C); Produktens distribution med avseende på summan.

Absorptionslagar

Det finns många absorptionslagar bland flera referenser, några av de mest kända är:

TILL. (A + B) = A

TILL. (INTE A + B) = A. B

INTE A (A + B) = INTE A. B

(A + B). (A + INTE B) = A

A + A. B = A

A + INTE A. B = A + B

INTE A + A. B = INTE A + B

TILL. B + A. INTE B = A

Morgan's sats

Det är transformationslagar, som hanterar par av variabler som interagerar mellan de definierade operationerna i Boolean algebra (+.).

INTE (A. B) = INTE A + INTE B

INTE (A + B) = INTE A. INTE B

A + B = INTE (INTE A + INTE B)

TILL. B = INTE (INTE A. INTE B)

Duality

Alla postulater och teorem har fakulteten för dualitet. Detta innebär att genom att utbyta variabler och operationer blir det resulterande förslaget verifierat. Det vill säga när man byter 0 mot 1 och AND för OR eller vice versa; ett uttryck skapas som också kommer att vara fullständigt giltigt.

Till exempel om postulatet tas

ett . 0 = 0

Och dualitet tillämpas

0 + 1 = 1

En annan perfekt giltig postulat erhålls.

Karnaugh karta

Karnaugh-kartan är ett diagram som används i Booleska algebra för att förenkla logiska funktioner. Det består av ett tvådimensionellt arrangemang som liknar sanningenstabellerna i propositionens logik. Uppgifterna från sanningstabellerna kan fångas direkt på Karnaugh-kartan.

Karnaugh-kartan har plats för upp till 6 variabler. För funktioner med ett högre antal variabler rekommenderas användning av programvara för att förenkla processen.

Det föreslogs 1953 av Maurice Karnaugh och det etablerades som ett fast verktyg inom området booleska algebra, eftersom dess implementering synkroniserar mänsklig potential med behovet av att förenkla booleska uttryck, en viktig aspekt i digitala processers flytande.

exempel

Booleska algebra används för att reducera logiska grindar i en krets, där prioriteringen är att föra kretsens komplexitet eller nivå till dess lägsta möjliga uttryck. Detta beror på beräkningsfördröjningen som varje grind antar.

I följande exempel kommer vi att observera förenklingen av ett logiskt uttryck till det minsta uttrycket, med hjälp av teorem och postulat för den booleska algebra.

INTE (AB + A + B). INTE (A + INTE B)

INTE. INTE (A + INTE B); Factoring A med en gemensam faktor.

INTE. INTE (A + INTE B); Genom sats A + 1 = 1.

INTE (A + B). INTE (A + INTE B); av sats A. 1 = A

(INTE A. INTE B). ;

Enligt Morgan's sats INTE (A + B) = INTE A. INTE B

(INTE A. INTE B). (INTE A. B); Genom dubbel negationsteorem INTE (INTE A) = A

INTE A. INTE B. INTE A. B; Algebraisk gruppering.

INTE A. INTE A. INTE B. B; Produkt A: s kommutativitet B = B. TILL

INTE A. INTE B. B; Av sats A. A = A

INTE A. 0; Av sats A. INTE A = 0

0; Av sats A. 0 = 0

TILL. B. C + INTE A + A. INTE B. C

TILL. C. (B + INTE B) + INTE A; Factoring (A. C) med en gemensam faktor.

TILL. C. (1) + INTE A; Genom sats A + NOT A = 1

TILL. C + INTE A; Genom regel om nollsats och enhet 1. A = A

INTE A + C ; Enligt Morgan A + NOT A. B = A + B

För denna lösning måste Morgans lag utvidgas för att definiera:

INTE (INTE A). C + INTE A = INTE A + C

Eftersom INTE (INTE A) = A genom involvering.

Förenkla logikfunktionen

INTE A. INTE B. INTE C + INTE A. INTE B. C + INTE A. INTE C ner till sitt minsta uttryck

INTE A. INTE B. (INTE C + C) + INTE A. INTE C; Factoring (INTE A. INTE B) med vanlig faktor

INTE A. INTE B. (1) + INTE A. INTE C; Genom sats A + NOT A = 1

(INTE A. INTE B) + (INTE A. INTE C); Genom regel om nollsats och enhet 1. A = A

INTE A (INTE B + INTE C); Factoring INTE A med en vanlig faktor

INTE A. INTE (B. C); Enligt Morgan lagar INTE (A. B) = INTE A + INTE B

INTE Enligt Morgans lagar INTE (A. B) = INTE A + INTE B

Några av de fyra alternativen med fetstil representerar en möjlig lösning för att minska kretsnivån

Förenkla den logiska funktionen till dess enklaste form

(A. INTE B. C + A. INTE B. B. D + INTE A. INTE B). C

(A. INTE B. C + A. 0. D + INTE A. INTE B). C; Av sats A. INTE A = 0

(A. INTE B. C + 0 + INTE A. INTE B). C; Av sats A. 0 = 0

(A. INTE B. C + INTE A. INTE B). C; Genom sats A + 0 = A

TILL. INTE B. C. C + INTE A. INTE B. C; Genom distribution av produkten med avseende på summan

TILL. INTE B. C + INTE A. INTE B. C; Av sats A. A = A

INTE B. C (A + INTE A) ; Factoring (INTE B. C) med vanlig faktor

INTE B. C (1); Genom sats A + NOT A = 1

INTE B. C; Genom regel om nollsats och enhet 1. A = A

referenser

1. Booleska algebra och dess tillämpningar J. Eldon Whitesitt. Continental Publishing Company, 1980.
2. Matematik och teknik i datavetenskap. Christopher J. Van Wyk. Institutet för datavetenskap och teknik. National Bureau of Standards. Washington DC 20234
3. Matematik för datavetenskap. Eric Lehman. Google Inc.
   F Thomson Leighton Institutionen för matematik och datavetenskap och AI-laboratorium, Massachussetts Institute of Technology; Akamai Technologies.
4. Element av abstrakt analys. Mícheál O'Searcoid PhD. Institutionen för matematik. University college Dublin, Beldfield, Dublind.
5. Introduktion till logik och metodiken för deduktiva vetenskaper. Alfred Tarski, New York Oxford. Oxford University press.