EULERS METOD: VAD DEN ÄR TILL FÖR, PROCEDUR OCH ÖVNINGAR - MATTE - 2026

Den Eulers metod är den mest grundläggande och enkla förfaranden som används för att hitta numeriska lösningar approximativa till en ordinär differentialekvation av den första ordningen, förutsatt att den initiala tillstånd är känt.

En vanlig differentiell ekvation (ODE) är ekvationen som relaterar en okänd funktion av en enda oberoende variabel med dess derivat.

På varandra följande approximationer med Eulers metod. Källa: Oleg Alexandrov

Om det största derivatet som visas i ekvationen är av grad 1, är det en vanlig differensekvation för den första graden.

Det mest allmänna sättet att skriva en ekvation för den första graden är:

x = x ₀

y = y ₀

Vad är Eulers metod?

Tanken med Eulers metod är att hitta en numerisk lösning på den differentiella ekvationen i intervallet mellan X ₀ och X _f .

Först diskretiseras intervallet i n + 1 poäng:

x ₀ , x ₁ , x ₂ , x ₃ …, x _n

Som erhålls på detta sätt:
x _i = x ₀ + ih

Där h är bredden eller steget för delintervallen:

Med det initiala villkoret är det också möjligt att känna till derivatet i början:

y '(x _o ) = f (x _o , y _o )

Detta derivat representerar lutningen på tangentlinjen till kurvan för funktionen y (x) exakt vid punkten:

Ao = (x _o , y _o )

Sedan görs en ungefärlig förutsägelse av värdet på funktionen y (x) vid följande punkt:

y (x ₁ ) ≈ y ₁

y _{1 =} y _o + (x ₁ - x _o ) f (x _o , y _o ) = y _{o +} hf (x _o , y _o )

Nästa ungefärliga punkt för lösningen har sedan erhållits, vilket skulle motsvara:

A ₁ = (x ₁ , y ₁ )

Proceduren upprepas för att erhålla de på varandra följande poäng

A ₂ , A ₃ …, x _n

I figuren som visas i början representerar den blå kurvan den exakta lösningen av den differentiella ekvationen, och den röda representerar de på varandra följande ungefärliga punkterna erhållna genom Euler-proceduren.

Lösta övningar

Övning 1

I ) Låt differentiella ekvationen vara:

Med det initiala villkoret x = a = 0; och _a = 1

Med Eulers metod får du en ungefärlig lösning av y vid koordinaten X = b = 0,5, genom att dela intervallet i n = 5 delar.

Lösning

De numeriska resultaten sammanfattas enligt följande:

Därifrån dras slutsatsen att lösningen Y för värdet 0,5 är 1,4851.

Obs: Smath Studio, ett gratis program för fri användning, har använts för att utföra beräkningarna.

Övning 2

II ) Fortsätt med differentialekvationen från övning I), hitta den exakta lösningen och jämföra den med resultatet erhållet med Eulers metod. Hitta felet eller skillnaden mellan exakt och ungefärligt resultat.

Lösning

Den exakta lösningen är inte så svår att hitta. Derivatet av funktionen sin (x) är känt för att vara funktionen cos (x). Därför kommer lösningen y (x) att vara:

y (x) = sin x + C

För att det initiala villkoret ska uppfyllas och (0) = 1 måste konstanten C vara lika med 1. Det exakta resultatet jämförs sedan med det ungefärliga:

Det dras slutsatsen att tillnärmningen i det beräknade intervallet har tre betydande precisionstal.

Övning 3

III ) Överväg den differentiella ekvationen och dess initiala förhållanden nedan

y '(x) = - y ²

Med det initiala villkoret x ₀ = 0; och ₀ = 1

Använd Eulers metod för att hitta ungefärliga värden på lösningen y (x) på intervallet x =. Använd steg h = 0,1.

Lösning

Eulers metod är mycket lämplig för användning med ett kalkylblad. I det här fallet kommer vi att använda geogebra-kalkylbladet, ett gratis och öppet källkodsprogram.

Kalkylarket i figuren visar tre kolumner (A, B, C). Den första är variabeln x, den andra kolumnen representerar variabeln y, och den tredje kolumnen är derivatan y '.

Rad 2 innehåller de initiala värdena för X, Y, Y '.

Värdesteget 0.1 har placerats i den absoluta positionscellen ($ D $ 4).

Det initiala värdet för yO är i cell B2, och y1 är i cell B3. För att beräkna y _{1 används} formeln:

y _{1 =} y _o + (x ₁ - x _o ) f (x _o , y _o ) = y _{o +} hf (x _o , y _o )

Denna kalkylbladformel skulle vara nummer B3: = B2 + $ D $ 4 * C3.

På liknande sätt skulle y2 vara i cell B4 och dess formel visas i följande figur:

Figuren visar också diagrammet för den exakta lösningen och punkterna A, B, …, P för den ungefärliga lösningen med Eulers metod.

Newtons dynamik och Eulers metod

Klassisk dynamik utvecklades av Isaac Newton (1643 - 1727). Leonard Eulers (1707 - 1783) ursprungliga motivation att utveckla sin metod var just att lösa ekvationen av Newtons andra lag i olika fysiska situationer.

Newtons andra lag uttrycks vanligtvis som en differentiell ekvation för den andra graden:

Där x representerar ett objekts position vid tidpunkten t. Nämnda objekt har en massa m och utsätts för en kraft F. Funktionen f är relaterad till kraft och massa enligt följande:

För att tillämpa Eulers metod krävs de initiala värdena för tid t, hastighet v och position x.

Följande tabell förklarar hur man börjar från initialvärden t1, v1, x1, en approximation av hastigheten v2 och positionen x2 kan erhållas, vid ögonblicket t2 = t1 + Δt, där representst representerar en liten ökning och motsvarar steget i metoden för Euler.

Övning 4

IV ) Ett av de grundläggande problemen i mekaniken är det av ett block av massa M bundet till en fjäder (eller fjäder) med elastisk konstant K.

Newtons andra lag för detta problem skulle se ut så här:

I detta exempel tar vi M = 1 och K = 1 för enkelhetens skull. Hitta ungefärliga lösningar på positionen x och hastigheten v med Eulers metod på tidsintervallet genom att dela intervallet i 12 delar.

Ta 0 som det initiala ögonblicket, initialhastigheten 0 och startposition 1.

Lösning

De numeriska resultaten visas i följande tabell:

Graferna för position och hastighet mellan tid 0 och 1,44 visas också.

Föreslagna övningar för hemmet

Övning 1

Använd ett kalkylblad för att bestämma en ungefärlig lösning med hjälp av Eulers metod för differentialekvationen:

y '= - Exp (-y) med de initiala villkoren x = 0, y = -1 i intervallet x =

Börja med ett 0,1 steg. Plotta resultatet.

Övning 2

Använd ett kalkylblad för att hitta numeriska lösningar på följande kvadratiska ekvation, där y är en funktion av den oberoende variabeln t.

y '' = - 1 / y² med det initiala villkoret t = 0; och (0) = 0,5; y '(0) = 0

Hitta lösningen i intervallet med ett steg på 0,05.

Plotta resultatet: y vs t; y 'vs t

referenser

1. Eurler-metoden Hämtad från wikipedia.org
2. Euler-lösare. Hämtad från en.smath.com