GAUSS-SEIDEL-METOD: FÖRKLARING, APPLIKATIONER, EXEMPEL - MATTE - 2026

Den Gauss-Seidel metoden är en iterativ procedur för att finna approximativa lösningar till ett system av linjära algebraiska ekvationer med godtyckligt vald precision. Metoden tillämpas på kvadratiska matriser med icke-nollelement i deras diagonaler och konvergens garanteras om matrisen är diagonalt dominerande.

Den skapades av Carl Friedrich Gauss (1777-1855), som gav en privat demonstration till en av sina studenter 1823. Den publicerades senare formellt av Philipp Ludwig von Seidel (1821-1896) 1874, därav namnet av båda matematikerna.

Figur 1. Gauss-Seidel-metoden konvergerar snabbt för att erhålla lösningen av ett ekvationssystem. Källa: F. Zapata.

För en fullständig förståelse av metoden är det nödvändigt att veta att en matris är diagonalt dominerande när det absoluta värdet för diagonalelementet i varje rad är större än eller lika med summan av de absoluta värdena för de andra elementen i samma rad.

Matematiskt uttrycks det så här:

Förklaring med ett enkelt fall

För att illustrera vad Gauss-Seidel-metoden består av kommer vi att ta ett enkelt fall, där värdena för X och Y kan hittas i 2 × 2-systemet med linjära ekvationer som visas nedan:

5X + 2Y = 1

X - 4Y = 0

Steg att följa

1- För det första är det nödvändigt att avgöra om konvergensen är säker. Det observeras omedelbart att det i själva verket är ett diagonalt dominerande system, eftersom den första koefficienten i den första raden har ett högre absolutvärde än de andra i den första raden:

-5 -> - 2-

Likaså är den andra koefficienten i den andra raden också diagonalt dominerande:

--4 -> - 1-

2- Variablerna X och Y rensas:

X = (1 - 2Y) / 5

Y = X / 4

3- Ett godtyckligt initialvärde placeras, kallat "frö": Xo = 1, I = 2.

4-iterationen börjar: att erhålla den första approximationen X1, Y1, fröet ersätts i den första ekvationen i steg 2 och resultatet i den andra ekvationen i steg 2:

X1 = (1 - 2 I) / 5 = (1 - 2 × 2) / 5 = -3/5

Y1 = X1 / 4 = (-3/5) / 4 = -3/20

5- Vi fortsätter på liknande sätt för att få den andra tillnärmningen av lösningen av ekvationssystemet:

X2 = (1 - 2 Y1) / 5 = (1 - 2x (-3/20)) / 5 = 13/50

Y2 = X2 / 4 = (13/50) / 4 = 13/200

6- tredje iteration:

X3 = (1 - 2 Y2) / 5 = (1 - 2 (13/200)) / 5 = 87/500

Y3 = X3 / 4 = (87/500) / 4 = 87/2000

7- Fjärde iterationen, som den sista iterationen av detta illustrativa fall:

X4 = (1 - 2 Y3) / 5 = (1 - 2 (87/2000)) / 5 = 913/5000

Y4 = X4 / 4 = (913/5000) / 4 = 913/20000

Dessa värden överensstämmer ganska bra med lösningen som finns med andra upplösningsmetoder. Läsaren kan snabbt kontrollera det med hjälp av ett online-matematikprogram.

Analys av metoden

Som man kan se, i Gauss-Seidel-metoden måste de ungefärliga värdena erhållna för den föregående variabeln i samma steg ersättas med följande variabel. Detta skiljer det från andra iterativa metoder som Jacobis, där varje steg kräver tillnärmningar från föregående steg.

Gauss-Seidel-metoden är inte ett parallellt förfarande, medan Gauss-Jordan-metoden är det. Det är också anledningen till att Gauss-Seidel-metoden har en snabbare konvergens - i färre steg - än Jordan-metoden.

När det gäller det diagonalt dominerande matristillståndet är detta inte alltid tillfredsställande. Men i de flesta fall är det helt enkelt att byta raderna från det ursprungliga systemet för att villkoret ska kunna uppfyllas. Vidare konvergerar metoden nästan alltid, även om villkoret för diagonal dominans inte uppfylls.

Det föregående resultatet, erhållet genom fyra iterationer av Gauss-Seidel-metoden, kan skrivas i decimalform:

X4 = 0,1826

Y4 = 0,04565

Den exakta lösningen på det föreslagna ekvationssystemet är:

X = 2/11 = 0,1818

Y = 1/22 = 0,04545.

Så med bara fyra iterationer får du ett resultat med en tusendels precision (0,001).

Figur 1 illustrerar hur successiva iterationer snabbt konvergerar till den exakta lösningen.

tillämpningar

Gauss-Seidel-metoden är inte begränsad till endast 2 × 2-system med linjära ekvationer. Den föregående proceduren kan generaliseras för att lösa ett linjärt system med n-ekvationer med n okända, som representeras i en matris som denna:

A X = b

Där A är en nxn-matris, medan X är vektorn n-komponenterna i n-variablerna som ska beräknas; och b är en vektor som innehåller värdena för de oberoende termerna.

För att generalisera sekvensen av iterationer som används i det illustrativa fallet på ett nxn-system, från vilket variabeln Xi vill beräknas, kommer följande formel att tillämpas:

I denna ekvation:

- k är indexet för värdet erhållet i iteration k.

-k + 1 anger det nya värdet i följande.

Det slutliga antalet iterationer bestäms när värdet erhållet i iteration k + 1 skiljer sig från det som erhölls omedelbart före, med en mängd e som är exakt den önskade precisionen.

Exempel på Gauss-Seidel-metoden

- Exempel 1

Skriv en allmän algoritm som gör det möjligt att beräkna vektorn för ungefärliga lösningar X för ett linjärt ekvationssystem nxn, med tanke på matrisen för koefficienter A, vektorn med oberoende termer b , antalet iterationer (i ter) och initialvärdet eller "frö "av vektorn X .

Lösning

Algoritmen består av två "till" -cykler, en för antalet iterationer och den andra för antalet variabler. Det skulle vara följande:

För k ∊

För jag ∊

X: = (1 / A) * (b - ∑ _{j = 1} ⁿ (A * X) + A * X)

- Exempel 2

Kontrollera hur den tidigare algoritmen fungerar genom dess applikation i den matematiska mjukvaran SMath Studio som är gratis att använda, tillgänglig för Windows och Android. Ta som exempel fallet med 2 × 2-matrisen som hjälpte oss att illustrera Gauss-Seidel-metoden.

Lösning

Bild 2. Lösning av systemet med ekvationer i exemplet 2 x 2 med SMath Studio-programvaran. Källa: F. Zapata.

- Exempel 3

Använd Gauss-Seidel-algoritmen för följande 3 × 3-system med ekvationer, som tidigare har beställts på ett sådant sätt att koefficienterna för diagonalen är dominerande (det vill säga av ett större absolutvärde än de absoluta värdena för koefficienterna för samma rad):

9 X1 + 2 X2 - X3 = -2

7 X1 + 8 X2 + 5 X3 = 3

3 X1 + 4 X2 - 10 X3 = 6

Använd nollvektorn som ett frö och överväg fem iterationer. Kommentera resultatet.

Lösning

Bild 3. Lösning av systemet med ekvationer i löst exempel 3 med SMath Studio. Källa: F. Zapata.

För samma system med 10 iterationer istället för 5 erhålls följande resultat: X1 = -0.485; X2 = 1,0123; X3 = -0,3406

Detta säger oss att fem iterationer är tillräckliga för att få tre decimalers precision och att metoden snabbt konvergerar till lösningen.

- Exempel 4

Med hjälp av Gauss-Seidel-algoritmen ovan, hitta lösningen på 4 × 4-system med ekvationer som anges nedan:

10 x1 - x2 + 2 x3 + 0 x4 = 6

-1 x 1 + 11 x 2 - 1 x 3 + 3 x 4 = 25

2 x1 - 1 x2 + 10 x3 - 1 x4 = -11

0 x1 + 3 x2 - 1 x3 + 8 x4 = 15

För att starta metoden, använd detta frö:

x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0 och x4 = 0

Tänk på 10 iterationer och uppskatta felets resultat, jämför med iteration nummer 11.

Lösning

Bild 4. Lösning av systemet med ekvationer i löst exempel 4 med SMath Studio. Källa: F. Zapata.

Vid jämförelse med nästa iteration (nummer 11) är resultatet identiskt. De största skillnaderna mellan de två iterationerna är i storleksordningen 2 × 10 ^-8 , vilket innebär att den visade lösningen har en precision på minst sju decimaler.

referenser

1. Iterativa lösningsmetoder. Gauss-Seidel. Återställd från: cimat.mx
2. Numeriska metoder. Gauss-Seidel. Återställd från: test.cua.uam.mx
3. Numerisk: Gauss-Seidel-metoden. Återställd från: aprendeenlinea.udea.edu.co
4. Wikipedia. Gauss-Seidel-metoden. Återställd från: en. wikipedia.com
5. Wikipedia. Gauss-Seidel-metoden. Återställd från: es.wikipedia.com