INVERS MATRIX: BERÄKNING OCH LÖST TRÄNING - MATTE

Den omvända matrisen för en given matris är den matris som multipliceras med originalet ger identitetsmatrisen. Den omvända matrisen är användbar för att lösa system med linjära ekvationer, därmed vikten av att veta hur man beräknar den.

Matriser är mycket användbara inom fysik, teknik och matematik, eftersom de är ett kompakt verktyg för att lösa komplexa problem. Matrisens användbarhet förbättras när de är inverterbara och deras omvända är också känd.

Figur 1. En generisk 2 × 2-matris och dess omvända matris visas. (Utarbetad av Ricardo Pérez)

Inom områdena grafisk bearbetning, Big Data, Data Mining, Machine Learning och andra, används effektiva och snabba algoritmer för att utvärdera den omvända matrisen för nxn-matriser med mycket stora n, i storleksordningen tusentals eller miljoner.

För att illustrera användningen av den omvända matrisen för att hantera ett system med linjära ekvationer, kommer vi att börja med det enklaste fallet av alla: 1 × 1 matriser.

Det enklaste fallet: en linjär ekvation av en enda variabel beaktas: 2 x = 10.

Tanken är att hitta värdet på x, men det kommer att göras "matris".

Matrisen M = (2) som multiplicerar vektorn (x) är en 1 × 1 matris som resulterar i vektorn (10):

M (x) = (10)

Inversen av matrisen M betecknas med M ^-1 .

Det allmänna sättet att skriva detta "linjära system" är:

MX = B, där X är vektorn (x) och B är vektorn (10).

Per definition är den omvända matrisen den som multipliceras med den ursprungliga matrisen resulterar i identitetsmatrisen I:

M ^-1 M = I

I det fall som beaktas är matrisen M ^-1 matrisen (½), det vill säga M ^-1 = (½) eftersom M ^-1 M = (½) (2) = (1) = I

För att hitta den okända vektorn X = (x) multipliceras båda medlemmarna i den föreslagna ekvationen med den omvända matrisen:

M ^-1 M (x) = M ^-1 (10)

(½) (2) (x) = (½) (10)

(½ 2) (x) = (½ 10)

(1) (x) = (5)

(x) = (5)

En jämlikhet mellan två vektorer har uppnåtts, vilka är lika endast när deras motsvarande element är lika, det vill säga x = 5.

Beräkning av inverteringen av en matris

Det som motiverar beräkningen av den omvända matrisen är att hitta en universell metod för lösning av linjära system, såsom följande 2 × 2-system:

x - 2 y = 3

-x + y = -2

Genom att följa stegen i fallet 1 × 1, studerat i föregående avsnitt, skriver vi systemet med ekvationer i matrisform:

Bild 2. Linjärt system i matrisform.

Observera att detta system är skrivet i kompakt vektornotation enligt följande:

MX = B

var

Nästa steg är att hitta det omvända av M.

Metod 1: Använda Gauss eliminering

Den Gaussiska eliminationsmetoden kommer att tillämpas. Som består av att utföra elementära operationer på matrisraderna, dessa operationer är:

- Multiplicera en rad med ett nummer som inte är noll.

- Lägg till eller subtrahera en annan rad från en rad eller multipeln från en annan rad.

- Byt raderna.

Målet är genom dessa operationer att konvertera den ursprungliga matrisen till identitetsmatrisen.

Eftersom detta görs, i matris M tillämpas exakt samma operationer på identitetsmatrisen. När efter flera operationer på raderna M omvandlas till den enhetliga matrisen, kommer den som ursprungligen var enheten att bli den omvända matrisen för M, det vill säga M ^-1 .

1- Vi börjar processen med att skriva matrisen M och bredvid enheten matrisen:

2- Vi lägger till de två raderna och lägger resultatet i den andra raden, på detta sätt får vi en noll i det första elementet i den andra raden:

3- Vi multiplicerar den andra raden med -1 för att få 0 och 1 i den andra raden:

4- Den första raden multipliceras med ½:

5- Den andra och den första läggs till och resultatet placeras i den första raden:

6- Nu för att avsluta processen multipliceras den första raden med 2 för att erhålla identitetsmatrisen i den första raden och den inversa matrisen för den ursprungliga matrisen M i den andra:

Det vill säga:

Systemlösning

När väl den inversa matrisen har erhållits löses ekvationssystemet genom att applicera den inversa matrisen på båda medlemmarna i den kompakta vektorkvationen:

M ^-1 M X = M ^-1 B

X = M ^-1 B

Som uttryckligen ser ut så här:

Sedan utförs matrismultiplikation för att erhålla vektor X:

Metod 2: med hjälp av bifogad matris

I denna andra metod den inversa matrisen beräknas från adjungerade matrisen av den ursprungliga matrisen A .

Anta en matris A som ges av:

där _{i, j} är elementet i rad i och kolumn j av matrisen A .

Angränsningen till matris A kommer att kallas Adj (A) och dess element är:

ad _{i, j} = (-1) ^{(i + j)} ¦Ai, j¦

där Ai, j är den komplementära undre matrisen erhålles genom att eliminera rad i och kolumn j hos den ursprungliga matrisen A . Stängerna ¦ ¦ indikerar att determinanten beräknas, det vill säga ¦Ai, j¦ är determinanten för den mindre komplementära matrisen.

Invers Matrix-formel

Formeln för att hitta den omvända matrisen med utgångspunkt från den angränsande matrisen för den ursprungliga matrisen är följande:

Är, den inversa matrisen av A , A ^-1 , är transponeringen av adjoint av A dividerat med determinanten av A .

Transponeringen A ^T för en matris A erhålls genom utbyte av rader för kolumner, det vill säga den första raden blir den första kolumnen och den andra raden blir den andra kolumnen och så vidare tills n raderna i den ursprungliga matrisen är klar.

Träningen löst

Låt matrisen A vara följande:

Varje element i den angränsande matrisen för A beräknas: Adj (A)

Resultatet är att den angränsande matrisen för A, Adj (A) är följande:

Därefter beräknas determinanten för matris A, det (A):

Slutligen erhålles den omvända matrisen för A:

referenser

Anthony Nicolaides (1994) Determinants & Matrices. Godkänd publikation.
Awol Assen (2013) En studie om beräkning av determinanter för en 3 × 3
Casteleiro Villalba M. (2004) Introduktion till linjär algebra. ESIC-redaktion.
Dave Kirkby (2004) Maths Connect. Heinemann.
Jenny Olive (1998) Maths: A Student's Survival Guide. Cambridge University Press.
Richard J. Brown (2012) 30-sekunders matematik: De 50 mest sinnesutvecklande teorierna i matematik. Ivy Press Limited.
Matris. Lap Lambert Academic Publishing.

INVERS MATRIX: BERÄKNING OCH LÖST TRÄNING - MATTE - 2026