EULER NUMMER ELLER E NUMMER: HUR MYCKET ÄR DET VÄRT, EGENSKAPER, APPLIKATIONER - MATTE - 2026

Den Euler nummer eller nummer e är ett välkänt matematisk konstant som visas ofta i ett stort antal vetenskapliga och ekonomiska program, tillsammans med antalet π och andra viktiga siffror i matematik.

En vetenskaplig kalkylator returnerar följande värde för siffran e:

Bild 1. Eulers nummer visas ofta i Science. Källa: F. Zapata.

e = 2,718281828 …

Men många fler decimaler är kända, till exempel:

e = 2,71828182845904523536 …

Och moderna datorer har hittat biljoner decimaler för antalet e.

Det är ett irrationellt antal, vilket innebär att det har ett oändligt antal decimaler utan att upprepa ett mönster (sekvensen 1828 visas två gånger i början och upprepas inte längre).

Och det betyder också att numret e inte kan erhållas som kvoten på två heltal.

Historia

Nummeret e identifierades av forskaren Jacques Bernoulli 1683 när han studerade problemet med sammansatt intresse, men tidigare hade det visat sig indirekt i den skotska matematikern John Napiers verk, som uppfann logaritmer runt 1618.

Det var emellertid Leonhard Euler 1727 som gav det namnet e och studerade intensivt dess egenskaper. Det är därför det också kallas Euler-numret och också som en naturlig bas för de naturliga logaritmerna (en exponent) som för närvarande används.

Hur mycket är antalet e värt?

Numret e är värt:

e = 2,71828182845904523536 …

Ellipsis innebär att det finns ett oändligt antal decimaler och faktiskt med dagens datorer är miljoner av dem kända.

Representationer av numret e

Det finns flera sätt att definiera e som vi beskriver nedan:

Antalet e som en gräns

Ett av de olika sätten på vilket talet e uttrycks är det som vetenskapsmannen Bernoulli fann i sina verk med sammansatt intresse:

Där måste du göra värdet n till ett mycket stort antal.

Det är lätt att kontrollera med hjälp av en kalkylator att när n är mycket stort tenderar det föregående uttrycket till värdet på e som anges ovan.

Naturligtvis kan vi fråga oss hur stort n kan göras, så låt oss prova runda siffror, som dessa till exempel:

n = 1000; 10.000 eller 100.000

I det första fallet får vi e = 2.7169239…. I det andra e = 2.7181459 … och i det tredje är det mycket närmare värdet på e: 2.7182682. Vi kan redan föreställa oss att med n = 1 000 000 eller större, kommer tillnärmningen att bli ännu bättre.

På matematiskt språk kallas proceduren för att få n att närma sig och närma sig ett mycket stort värde gränsen till oändlighet och benämns så här:

För att beteckna oändlighet används symbolen "∞".

Siffran e som summa

Det är också möjligt att definiera numret e genom denna operation:

Siffrorna som visas i nämnaren: 1, 2, 6, 24, 120 … motsvarar operationen n!, Där:

Och per definition 0! = 1.

Det är lätt att kontrollera att ju fler tillägg som läggs till, desto mer exakt når numret e.

Låt oss göra några tester med miniräknaren och lägga till fler och fler tillägg:

1 +1+ (1/2) + (1/6) = 2,71667

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) = 2.75833

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) + (1/120) = 2.76667

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) + (1/120) + (1/720) = 2.71806

Ju fler termer som läggs till summan, desto mer liknar resultatet e.

Matematiker utvecklade en kompakt notation för dessa summor med många termer, med hjälp av summeringssymbolen Σ:

Detta uttryck läses så här "summan från n = 0 till oändligheten på 1 mellan n factorial".

Siffran e från den geometriska synvinkeln

Siffran e har en grafisk representation relaterad till området under kurvan graf:

y = 1 / x

När värdena på x är mellan 1 och e är detta område lika med 1, såsom illustreras i följande figur:

Figur 2. Grafisk representation av siffran e: området under 1 / x-kurvan, mellan x = 1 och x = e är värt 1. Källa: F. Zapata.

Egenskaper för numret e

Några av egenskaperna för numret e är:

-Det är irrationellt, med andra ord, det kan inte erhållas helt enkelt genom att dela två hela siffror.

-Talet e är också ett transcendentt tal, vilket betyder att e inte är en lösning på någon polynomekvation.

-Det är relaterat till fyra andra kända siffror inom matematikområdet, nämligen: π, i, 1 och 0, genom Euler-identiteten:

-De så kallade komplexa siffrorna kan uttryckas via e.

-Det utgör basen för dagens naturliga eller naturliga logaritmer (den ursprungliga definitionen av John Napier skiljer sig lite)

-Det är det enda numret så att dess naturliga logaritm är lika med 1, det vill säga:

tillämpningar

Statistik

Numret e förekommer mycket ofta inom området för sannolikhet och statistik, och förekommer i olika distributioner, såsom normal eller Gaussian, Poisson och andra.

Teknik

Inom teknik är det ofta eftersom den exponentiella funktionen y = ^ex finns i exempelvis mekanik och elektromagnetism. Bland de många applikationer vi kan nämna:

-En kabel eller kedja som hålls fast i ändarna, antar formen på kurvan som ges av:

y = (e ^x + e ^-x ) / 2

-En initialt urladdad kondensator C, som seriekopplas till ett motstånd R och en spänningskälla V för att ladda, erhåller en viss laddning Q som en funktion av tiden t som ges av:

Q (t) = CV (1-e-t ^{/ RC} )

biologi

Den exponentiella funktionen y = Ae ^Bx , med A och B konstant, används för att modellera celltillväxt och bakterietillväxt.

Fysisk

Inom kärnfysik modelleras radioaktivt sönderfall och åldersbestämning genom radiokolldatering.

Ekonomi

Vid beräkningen av sammansatt ränta uppstår antalet e naturligt.

Anta att du har en viss summa pengar P _o att investera på en ränta på i% per år.

Om du lämnar pengarna i ett år kommer du efter den tiden ha:

Efter ytterligare ett år utan att röra det kommer du att ha:

Och fortsätter på detta sätt i n år:

Låt oss nu komma ihåg en av definitionerna av e:

Det ser ut som uttrycket för P, så det måste finnas en relation.

Vi kommer att fördela den nominella räntan i i n perioder, på detta sätt kommer den sammansatta räntan att vara i / n:

Detta uttryck ser lite mer ut som vår gräns, men det är fortfarande inte exakt samma.

Men efter några algebraiska manipulationer kan det visas att genom att göra denna förändring av variabel:

Våra pengar P blir:

Och vad som finns mellan hängslen, även om det är skrivet med bokstaven h, är lika med argumentet för gränsen som definierar siffran e, bara saknas gränsen.

Låt oss göra h → ∞, och vad som finns mellan hängslen blir numret e. Detta betyder inte att vi måste vänta en oändligt lång tid för att ta ut våra pengar.

Om vi ​​tittar noga, genom att göra h = n / i och tenderar att ∞, är vad vi faktiskt har gjort att sprida räntan över mycket, mycket små tidsperioder:

i = n / h

Detta kallas kontinuerlig sammansättning. I ett sådant fall beräknas mängden pengar lätt så här:

Där jag är den årliga räntan. Till exempel, när du sätter in 12 € till 9% per år, genom kontinuerlig aktivering, efter ett år har du:

Med en vinst på 1,13 euro.

referenser

1. Njut av matte. Sammansatt intresse: Periodisk sammansättning. Återställd från: enjoylasmatematicas.com.
2. Figuera, J. 2000. Matematik 1: a. Diversifierad. CO-BO-utgåvor.
3. García, M. Antalet e i elementär kalkyl. Återställs från: matematica.ciens.ucv.ve.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
5. Larson, R. 2010. Beräkning av en variabel. 9:e. Utgåva. McGraw Hill.