SAMMANSATTA SIFFROR: EGENSKAPER, EXEMPEL, ÖVNINGAR - MATTE - 2026

De föreningar siffrorna är de tal som har mer än två avdelare. Om vi ​​tittar noga, är alla siffror åtminstone delbara exakt av sig själva och med 1. De som bara har dessa två delare kallas primor, och de som har mer är sammansatta.

Låt oss titta på siffran 2, som bara kan delas mellan 1 och 2. Antalet 3 har också två delare: 1 och 3. Därför är de båda primära. Låt oss nu titta på siffran 12, som vi kan dela exakt med 2, 3, 4, 6 och 12. Genom att ha 5 delare är 12 ett sammansatt nummer.

Figur 1. Primtal i blått kan endast representeras av en enda rad med prickar, inte sammansatta siffror i rött. Källa: Wikimedia Commons.

Och vad händer med nummer 1, den som delar upp alla andra? Tja, det är inte främst, eftersom det inte har två delare, och det är inte sammansatt, därför faller inte 1 i någon av dessa två kategorier. Men det finns många, många fler nummer som gör det.

Sammansatta siffror kan uttryckas som produkten av primtal, och denna produkt, förutom faktorns ordning, är unik för varje nummer. Detta säkerställs av den grundläggande teorem om aritmetik som bevisats av den grekiska matematikern Euclid (325-365 f.Kr.).

Låt oss gå tillbaka till nummer 12, som vi kan uttrycka på olika sätt. Låt oss prova några:

12 = 4 x 3 = 2 x 6 = 12 x 1 = 2 ² x 3 = 3 x 2 ² = 3 x 2 x 2 = 2 x 2 x 3 = 2 x 3 x 2

De former som markeras med fet stil är produkter med primtal och det enda som ändras är ordning på faktorerna, som vi vet inte förändrar produkten. De andra formerna, även om de är giltiga för att uttrycka 12, består inte enbart av primetter.

Exempel på sammansatta siffror

Om vi ​​vill sönderdela ett sammansatt antal i dess primära faktorer, måste vi dela det mellan primtal på ett sådant sätt att uppdelningen är exakt, det vill säga resten är 0.

Denna procedur kallas primfaktorisering eller kanonisk sönderdelning. De främsta faktorerna kan höjas till positiva exponenter.

Vi kommer att sönderdela numret 570 och notera att det är jämnt och därför delbart med 2, vilket är ett primtal.

Vi kommer att använda en stapel för att skilja numret till vänster från delarna till höger. De respektive kvotenterna placeras under numret när de erhålls. Nedbrytningen är klar när den sista siffran i den vänstra kolumnen är 1:

570 │2
285 │

När man delar med 2 är kvoten 285, som kan delas med 5, ett annat primtal, som slutar på 5.

570 │2
285 │5
57 │

57 kan delas med 3, också en prim, eftersom summan av siffrorna 5 + 7 = 12 är en multipel av 3.

570 │2
285 │5
57 │3
19 │

Slutligen får vi 19, som är ett primtal, vars delare är 19 och 1:

570 │2
285 │5
57 │3
19 │19
1 │

Genom att få 1 kan vi uttrycka 570 på detta sätt:

570 = 2 x 5 x 3 x 19

Och vi ser att det i själva verket är produkten av fyra primtal.

I detta exempel börjar vi dela med 2, men samma faktorer (i en annan ordning) skulle ha erhållits om vi började med att dela med 5 till exempel.

Figur 2. Kompositnumret 42 kan också sönderdelas med hjälp av ett trädformat diagram. Källa: Wikimedia Commons.

Delningskriterier

För att sönderdela ett sammansatt nummer i sina huvudfaktorer är det nödvändigt att dela upp det exakt. Kriterierna för delning mellan primtal är regler som gör det möjligt att veta när ett nummer är delbart exakt, utan att behöva försöka eller bevisa.

- Delbarhet med 2

Alla jämna siffror, de som slutar på 0 eller ett jämnt antal är delbara med 2.

- Delbarhet med 3

Om summan av siffrorna i ett nummer är en multipel av 3, är numret också och därför delbart med 3.

- Delbarhet med 5

Siffror som slutar på 0 eller 5 kan delas med 5.

-Delbarhet med 7

Ett nummer kan delas med 7 om, när den sista siffran separeras, multipliceras med 2 och subtraherar det återstående talet, är det resulterande värdet en multipel av 7.

Denna regel verkar lite mer komplicerad än de tidigare, men i verkligheten är den inte så mycket, så låt oss titta på ett exempel: kommer 98 att delas med 7?

Låt oss följa instruktionerna: vi separerar den sista siffran som är 8, vi multiplicerar den med 2 som ger 16. Siffran som återstår när du separerar 8 är 9. Vi subtraherar 16 - 9 = 7. Och eftersom 7 är en multipel av sig själv, är 98 delbar mellan 7.

-Delbarhet med 11

Om summan av siffrorna i jämnt läge (2, 4, 6 …) dras från summan av siffrorna i udda position (1, 3, 5, 7 …) och 0 eller ett multipel av 11 erhålls delbar med 11.

De första multiplarna av 11 kan lätt identifieras: de är 11, 22, 33, 44 … 99. Men var försiktig, 111 är inte, istället 110 är det.

Låt oss som exempel se om 143 är ett multipel av 11.

Detta nummer har 3 siffror, den enda jämna siffran är 4 (den andra), de två udda siffrorna är 1 och 3 (första och tredje) och summan är 4.

Båda summorna subtraheras: 4 - 4 = 0 och eftersom 0 erhålls visar det sig att 143 är en multipel av 11.

-Delbarhet med 13

Numret utan siffran måste dras från 9 gånger den siffran. Om räkningen returnerar 0 eller en multipel av 13, är antalet ett multipel av 13.

Som ett exempel kommer vi att verifiera att 156 är en multipel av 13. Siffran är 6 och antalet som förblir utan den är 15. Vi multiplicerar 6 x 9 = 54 och nu drar vi från 54 - 15 = 39.

Men 39 är 3 x 13, så 56 är en multipel av 13.

Primtal till varandra

Två eller flera prim- eller sammansatta siffror kan vara prim- eller co-prim. Detta innebär att den enda gemensamma delaren de har är 1.

Det finns två viktiga egenskaper att komma ihåg när det gäller brott:

-To, tre och flera på varandra följande nummer är alltid främsta för varandra.

-Det samma kan sägas om två, tre eller flera udda nummer i följd.

Exempelvis 15, 16 och 17 är primtal för varandra och 15, 17 och 19.

Hur man vet hur många delare ett sammansatt nummer har

Ett primtal har två divisorer, samma nummer och 1. Och hur många divisors har ett sammansatt nummer? Dessa kan vara kusiner eller föreningar.

Låt N vara ett sammansatt antal uttryckt i form av dess kanoniska sönderdelning enligt följande:

N = a ⁿ . b ^m . c ^p … r ^k

Där a, b, c … r är de främsta faktorerna och n, m, p … k respektive exponenter. Nåväl, antalet delare C som N har givits av:

C = (n +1) (m + 1) (p +1) … (k + 1)

Med C = prime divisors + sammansatta divisors + 1

Exempel 570, som uttrycks så här:

570 = 2 x 5 x 3 x 19

Alla huvudfaktorer höjs till 1, därför har 570:

C = (1 + 1) (1 + 1) (1+ 1) (1 +1) = 16 delare

Av dessa 10 divisorer känner vi redan: 1, 2, 3, 5, 19 och 570. Det saknas ytterligare 10 divisorer, som är sammansatta siffror: 6, 10, 15, 30, 38, 57, 95, 114, 190 och 285. De hittas genom att observera nedbrytningen till primära faktorer och också multiplicera kombinationer av dessa faktorer tillsammans.

Lösta övningar

- Övning 1

Sönderdela följande siffror i primära faktorer:

a) 98

b) 143

c) 540

d) 3705

Lösning till

98 │2
49 │7
7 │7
1 │

98 = 2 x 7 x 7

Lösning b

143 │11
13 │13
1 │

143 = 11 x 13

Lösning c

540 │5
108 │2
54 │2
27 │3
9 │3
3 │3
1 │

540 = 5 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 5 x 2 ² x 3 ³

Lösning d

3705 │5
741 │3
247 │13
19 │19
1 │

3705 = 5 x 3 x 13 x 19

- Övning 2

Ta reda på om följande siffror är främsta för varandra:

6, 14, 9

Lösning

-Delarna i 6 är: 1, 2, 3, 6

-Som för 14 är det delbart med: 1, 2, 7, 14

-Slutligen 9 har som delare: 1, 3, 9

Den enda delaren de har gemensamt är 1, därför är de främsta för varandra.

referenser

1. Baldor, A. 1986. Aritmetic. Editions and Distribution Codex.
2. Byju talet. Prime och sammansatta siffror. Återställd från: byjus.com.
3. Prime och sammansatta siffror. Återställd från: profeyennyvivaslapresentacion.files.wordpress.com
4. Smartick. Delningskriterier. Återställd från: smartick.es.
5. Wikipedia. Sammansatta siffror. Återställd från: en.wikipedia.org.