PRIMTAL: EGENSKAPER, EXEMPEL, ÖVNINGAR - MATTE - 2026

De primtal , även kallad prime absoluta, är de naturliga tal som endast delbara med sig själva och 1. Denna kategori nummer som 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 och många plus.

Istället kan ett sammansatt nummer delas av sig själv, med 1 och minst ett annat nummer. Vi har till exempel 12, som kan delas med 1, 2, 4, 6 och 12. Enligt konvention ingår inte 1 i listan över primtal eller i listan över föreningar.

Bild 1. Vissa primtal. Källa: Wikimedia Commons.

Kunskap om primtal är från antiken; de gamla egyptierna använde dem redan och de var säkert kända länge innan.

Dessa nummer är mycket viktiga, eftersom alla naturliga nummer kan representeras av produkten av primtal, varvid denna representation är unik, förutom i faktorns ordning.

Detta faktum är fullt etablerat i ett teorem som kallas Fundamental Theorem of Arithmetic, som säger att siffror som inte är primära nödvändigtvis består av produkter med siffror som är.

Egenskaper för primtal

Här är de viktigaste kännetecknen för primtal:

-De är oändliga, eftersom oavsett hur stort ett primtal är, kan du alltid hitta ett större.

-Om ett primtal p inte delar upp ett annat nummer a, sägs det att p och a är primära till varandra. När detta händer är den enda gemensamma delaren som båda har 1.

Det är inte nödvändigt att a är ett absolut huvud. Till exempel är 5 prim, och även om 12 inte är det, är båda siffrorna primära för varandra, eftersom båda har 1 som en gemensam divisor.

-När ett primtal p delar en effekt av siffran n, delar det också n. Låt oss överväga 100, vilket är en kraft på 10, specifikt 10 ² . Det händer att 2 delar både 100 och 10.

-Alla primtal är udda förutom 2, därför är dess sista siffran 1, 3, 7 eller 9. 5 ingår inte, för även om det är udda och prim är det aldrig den sista siffran för ett annat primtal. I själva verket är alla siffror som slutar på 5 multiplar av detta och därför är de inte främsta.

-Om p är en primär och delare av produkten med två siffror ab, delar p sedan en av dem. Exempelvis delar primtalet 3 produkten 9 x 11 = 99, eftersom 3 är en delare på 9.

Hur man vet om ett nummer är primt

Primality är det namn som ges till kvaliteten på att vara prime. Den franska matematikern Pierre de Fermat (1601-1665) hittade ett sätt att verifiera primaliteten hos ett nummer, i det så kallade lilla teoremet om Fermat, som säger:

"Med tanke på ett primärt naturligt tal p och vilket naturligt tal som är större än 0 är det sant att en ^p - a är en multipel av p, så länge som p är prim".

Vi kan bekräfta detta med små siffror, till exempel antar att p = 4, som vi redan vet inte är primärt och redan = 6:

6 ⁴ - 6 = 1296 - 6 = 1290

Siffran 1290 är inte exakt delbar med 4, därför är 4 inte ett primtal.

Låt oss göra testet nu med p = 5, som är prime och ya = 6:

6 ⁵ - 6 = 7766 - 6 = 7760

7760 kan delas med 5, eftersom valfritt antal som slutar på 0 eller 5 är. I själva verket 7760/5 = 1554. Eftersom Fermats lilla teorem gäller kan vi säkerställa att 5 är ett primtal.

Beviset genom teoremet är effektivt och direkt med små siffror, där operationen är enkel att utföra, men vad ska man göra om vi blir ombedda att ta reda på hur stort ett stort antal är?

I så fall är antalet successivt delat mellan alla mindre primtal, tills en exakt uppdelning hittas eller kvoten är mindre än delaren.

Om någon delning är exakt betyder det att antalet är sammansatt och om kvoten är mindre än delaren betyder det att antalet är primt. Vi kommer att implementera det i löst övning 2.

Sätt att hitta ett primtal

Det finns oändligt många primtal och det finns ingen enda formel för att bestämma dem. Men titta på några primtal som dessa:

3, 7, 31, 127 …

Det observeras att de är av formen 2 ⁿ - 1, med n = 2, 3, 5, 7, 9 … Vi ser till detta:

2 ² - 1 = 4 - 1 = 3 ; 2 ³ - 1 = 8 - 1 = 7 ; 2 ⁵ - 1 = 32 - 1 = 31 ; 2 ⁷ - 1 = 128 - 1 = 127

Men vi kan inte säkerställa att 2 ⁿ - 1 i allmänhet är primär, eftersom det finns några värden på n som det inte fungerar, till exempel 4:

2 ⁴ - 1 = 16 - 1 = 15

Och numret 15 är inte primärt, eftersom det slutar på 5. Men ett av de största kända primorna, som finns genom datorberäkningar, är av formen 2 ⁿ - 1 med:

n = 57,885,161

Mersennes formel försäkrar oss att 2 ^p - 1 alltid är prime, så länge p också är prime. Exempelvis är 31 prim, så det är säkert att 2 ³¹ - 1 också är prim :

2 ³¹ - 1 = 2,147,483,647

Men med formeln kan du bara bestämma vissa primtal, inte alla.

Eulers formel

Följande polynom tillåter att hitta primtal förutsatt att n är mellan 0 och 39:

P (n) = n ² + n + 41

Senare i avsnittet lösta övningar finns det ett exempel på dess användning.

Silen av Eratosthenes

Eratosthenes var en fysiker och matematiker från det antika Grekland som levde under 3: e århundradet f.Kr. Han tänkte en grafisk metod för att hitta de primtal som vi kan använda i praktiken med små siffror, det kallas Eratosthenes-siktet (en sikt är som en sikt).

-Siffrorna placeras i en tabell som den som visas i animationen.

-Jämna siffror korsas sedan ut, med undantag för 2 som vi vet är främsta. Alla de andra är multiplar av detta och är därför inte främsta.

-Multiplarna på 3, 5, 7 och 11 är också markerade, exklusive alla av dem eftersom vi vet att de är främsta.

-Multiplarna på 4, 6, 8, 9 och 10 är redan markerade, eftersom de är sammansatta och därför multiplar av några av de angivna primorna.

-Slutligen är siffrorna som förblir omärkta primära.

Bild 2. Animering av Eratosthenes-siktet. Källa: Wikimedia Commons.

övningar

- Övning 1

Använd Euler-polynomet för primtal, hitta 3 nummer större än 100.

Lösning

Detta är det polynom som Euler föreslog att hitta primtal, som fungerar för värden på n mellan 0 och 39.

P (n) = n ² + n + 41

Med test och fel väljer vi ett värde på n, till exempel n = 8:

P (8) = 8 ² + 8 + 41 = 113

Eftersom n = 8 ger ett primtal större än 100, utvärderar vi polynomet för n = 9 och n = 10:

P (9) = 9 ² + 9 + 41 = 131

P (10) = 10 ² + 10 + 41 = 151

- Övning 2

Ta reda på om följande siffror är primära:

a) 13

b) 191

Lösning till

Den 13 är tillräckligt liten för att använda Fermats lilla teorem och hjälp av miniräknaren.

Vi använder a = 2 så att siffrorna inte är för stora, även om a = 3, 4 eller 5 också kan användas:

2 ¹³ - 2 = 8190

8190 kan delas med 2, eftersom det är jämnt, därför är 13 främsta. Läsaren kan bekräfta detta genom att göra samma test med a = 3.

Lösning b

191 är för stort för att bevisa med teorem och en gemensam kalkylator, men vi kan hitta fördelningen mellan varje primtal. Vi utelämnar att dividera med 2 eftersom 191 inte är jämnt och uppdelningen kommer inte att vara exakt eller kvoten mindre än 2.

Vi försöker dela med 3:

191/3 = 63 666 …

Och det ger inte exakt, och inte är kvoten mindre än delaren (63 666 … är större än 3)

Vi fortsätter därmed att försöka dela 191 mellan primaten 5, 7, 11, 13 och den exakta uppdelningen uppnås inte, och inte heller kvoten mindre än delaren. Tills det är dividerat med 17:

191/17 = 11, 2352 …

Eftersom det inte är exakt och 11.2352 … är mindre än 17 är antalet 191 en prim.

referenser

1. Baldor, A. 1986. Aritmetic. Editions and Distribution Codex.
2. Prieto, C. De primära siffrorna. Återställd från: paginas.matem.unam.mx.
3. Egenskaper för primtal. Återställd från: mae.ufl.edu.
4. Smartick. Primtal: hur man hittar dem med Eratosthenes-siktet. Återställd från: smartick.es.
5. Wikipedia. Primtal. Återställd från: es.wikipedia.org.