Den inskrivna vinkeln på en cirkel är en som har dess topp på cirkeln och dess strålar är anslutna till eller tangent. Som en konsekvens kommer den inskrivna vinkeln alltid att vara konvex eller platt.
I figur 1 är flera vinklar inskrivna i deras respektive omkrets representerade. Vinkeln ∠EDF är inskriven genom att ha sitt toppunkt D på omkretsen och dess två strålar =.
I en likbenad triangel är vinklarna intill basen lika, därför är COBCO = ∠ABC = α. Å andra sidan ∠COB = 180º - β.
Med tanke på summan av de inre vinklarna i triangeln COB har vi:
α + α + (180º - ß) = 180º
Från vilken följer att 2 a = β, eller vad som är ekvivalent: α = β / 2. Detta överensstämmer med vad teorem 1 säger: måttet på den inskrivna vinkeln är halva den centrala vinkeln, om båda vinklarna subventionerar samma ackord.
Demonstration 1b
Figur 6. Hjälpkonstruktion för att visa att α = β / 2. Källa: F. Zapata med Geogebra.
I det här fallet har vi en inskriven vinkel ∠ABC, i vilken cirkelns centrum O är inom vinkeln.
För att bevisa sats 1 i detta fall, rita hjälpstrålen). Tryck ({});
På liknande sätt, de centrala vinklarna p 1 och β 2 är intill nämnda stråle. Således har vi samma situation som show 1a, så kan man säga att α 2 = β 2 /2 och a 1 = β 1 /2. Som α = α 1 + α 2 och β = β 1 + β 2 har således att α = α 1 + α 2 = β 1 /2 + β 2 /2 = (β 1 + β 2 ) / 2 = β / två.
Sammanfattningsvis är a = p / 2, som uppfyller sats 1.
- Sats 2
Figur 7. Inskriven vinklar med lika storleken α, eftersom de subenderar samma båge A⌒C. Källa: F. Zapata med Geogebra.
- Sats 3
De inskrivna vinklarna som subventionerar ackord med samma mått är lika.
Figur 8. Inskriven vinklar som subventionerar ackord med lika stor mått har lika storleken β Källa: F. Zapata med Geogebra.
exempel
- Exempel 1
Visa att den inskrivna vinkeln som sänker diametern är en rät vinkel.
Lösning
Den centrala vinkeln ∠AOB förknippad med diametern är en plan vinkel vars mått är 180º.
Enligt sats 1 har varje vinkel som är inskriven i omkretsen som subventionerar samma ackord (i detta fall diametern), som ett mått hälften av den centrala vinkeln som subjuterar samma ackord, som för vårt exempel är 180º / 2 = 90º.
Bild 9. Varje inskriven vinkel som försämras till diameter är en rätt vinkel. Källa: F. Zapata med Geogebra.
- Exempel 2
Linjen (BC) tangent vid A till omkretsen C bestämmer den inskrivna vinkeln ∠BAC (se figur 10).
Kontrollera att sats 1 för de inskriven vinklarna är uppfyllda.
Bild 10. Inskriven vinkel BAC och dess centrala konvexa vinkel AOA. Källa: F. Zapata med Geogebra.
Lösning
Vinkeln ∠BAC är inskriven eftersom dess topp är på omkretsen, och dess sidor [AB) och [AC) är tangent till omkretsen, så definitionen av inskriven vinkel uppfylls.
Å andra sidan subventionerar den inskrivna vinkeln ∠BAC bågen A⌒A, som är hela omkretsen. Den centrala vinkeln som subjuerar bågen A⌒A är en konvex vinkel vars mått är hela vinkeln (360º).
Den inskriven vinkeln som subventionerar hela bågen mäter halva den tillhörande centrala vinkeln, det vill säga ∠BAC = 360º / 2 = 180º.
Med alla ovanstående bekräftas det att detta fall uppfyller sats 1.
referenser
- Baldor. (1973). Geometri och trigonometri. Centralamerikanska kulturförlag.
- EA (2003). Geometrielement: med övningar och kompassgeometri. University of Medellin.
- Geometri 1: a ESO. Vinklar på omkretsen. Återställd från: edu.xunta.es/
- All vetenskap. Föreslagna övningar av vinklar i omkretsen. Återställd från: francesphysics.blogspot.com
- Wikipedia. Inskriven vinkel. Återställd från: es.wikipedia.com