ORTHOHEDRON: FORMLER, AREA, VOLYM, DIAGONAL, EXEMPEL - MATTE - 2026

Den orthohedron är en volymetrisk eller tredimensionell geometrisk figur som kännetecknas av att den har sex rektangulära sidor, så att de motsatta ytorna är i parallella plan och är identiska eller kongruenta rektanglar. Å andra sidan är ansiktena intill en given yta i plan vinkelräta mot den från den initiala ytan.

Ortohedronen kan också betraktas som ett ortogonalt prisma med en rektangulär bas, i vilken de dihedrala vinklarna som bildas av planen på två ytor intill en gemensam kant mäter 90º. Den dihedrala vinkeln mellan två ytor mäts på skärningspunkten mellan ytorna med ett vinkelrätt plan som är gemensamt för dem.

Figur 1. Orthohedron. Källa: F. Zapata med Geogebra.

Likaså är ortohedronen en rektangulär parallellpiped eftersom detta är hur parallellpiped definieras som den volymetriska figuren på sex sidor, som är parallella två för två.

I alla parallellpiped är ansikten parallellogram, men i den rektangulära parallellpiped måste ansikten vara rektangulära.

Delar av ortohedronen

Delarna av en polyhedron, som orthohedronen, är:

-Aristas

-Vertices

-Faces

Vinkeln mellan två kanter på ena sidan av ortohedronen sammanfaller med den dihedrala vinkeln som bildas av dess andra två ytor intill var och en av kanterna och bildar en rät vinkel. Följande bild klargör varje koncept:

Bild 2. Delar av en ortohedron. Källa: F. Zapata med Geogebra.

-Totalt har en ortohedron 6 ansikten, 12 kanter och 8 vertikaler.

-Vinkeln mellan två kanter är en rät vinkel.

-Denhedrala vinkeln mellan två ansikten är också rätt.

-I varje ansikte finns det fyra vertikaler och i varje topp är det tre inbördes ortogonala ansikten.

Orthohedron-formler

Område

Ytan eller ytan på en ortohedron är summan av ytorna på ytorna.

Om de tre kanterna som möts vid ett toppunkt har måtten a, b och c, såsom visas i figur 3, har den främre ytan area c⋅b och bottenytan har också area c⋅b.

Sedan har de två sidoytorna area a⋅b vardera. Och slutligen har golv- och takytorna en vardera område.

Bild 3. Orteder med dimensioner a, b, c. Intern diagonal D och extern diagonal d.

Att lägga till området med alla ansikten ger:

Ta en gemensam faktor och beställa villkoren:

Volym

Om ortohedronen betraktas som ett prisma, beräknas dess volym så här:

I detta fall tas golvet med mått c och a som den rektangulära basen, så basens yta är c⋅a.

Höjden ges av längden b på kanterna vinkelrätt mot sidorna a och c.

Att multiplicera basens area (a⋅c) med höjden b ger volym V för ortohedron:

Inre diagonal

I en ortohedron finns det två slags diagonaler: de yttre diagonalerna och de inre diagonalerna.

De yttre diagonalerna är på de rektangulära ytorna, medan de inre diagonalerna är segmenten som sammanfogar två motsatta vertikaler, förstås av motsatta vertikaler de som inte delar någon kant.

I en ortohedron finns fyra inre diagonaler, alla lika stora. Längden på de inre diagonalerna kan erhållas genom att applicera Pythagorean teorem för högra trianglar

Längden d på den yttre diagonalen på ortohedrons golvyta uppfyller Pythagorean-förhållandet:

d ² = en ² + c ²

På liknande sätt uppfyller den inre diagonalen av mått D den Pythagoreiska relationen:

D ² = d ² + b ² .

Kombinera de två tidigare uttryck som vi har:

D ² = a ² + c ² + b ² .

Slutligen ges längden på någon av de inre diagonalerna i ortohedronen med följande formel:

D = √ (a ² + b ² + c ² ).

exempel

- Exempel 1

En tegelstenare bygger en tank i form av en ortheder som har inre dimensioner: 6 mx 4 m i basen och 2 m i höjden. Den frågar:

a) Bestäm tankens inre yta om den är helt öppen upptill.

b) Beräkna volymen på tankens inre utrymme.

c) Hitta längden på en inre diagonal.

d) Vad är tankens kapacitet i liter?

Lösning till

Vi tar dimensionerna på den rektangulära basen a = 4 m och c = 6 m och höjden som b = 2 m

Området för en ortohedron med de givna måtten ges av följande förhållande:

A = 2⋅ (a⋅b + b⋅c + c⋅a) = 2⋅ (4 m⋅2 m + 2 m⋅6 m + 6 m⋅4 m)

Det vill säga:

A = 2⋅ (8 m ² + 12 m ² + 24 m ² ) = 2⋅ (44 m ² ) = 88 m ²

Det föregående resultatet är området för den stängda ortohedronen med de givna måtten, men eftersom det är en tank som helt är upptäckt i sin övre del, för att få ytan på tankens innerväggar, måste området för det saknade locket subtraheras, vilket är:

caa = 6 m ⋅ 4 m = 24 m ² .

Slutligen kommer tankens inre yta att vara: S = 88 m ² - 24 m ² = 64 m ² .

Lösning b

Den inre volymen av tanken ges av volymen för en ortoeder med tankens inre dimensioner:

V = a⋅b⋅c = 4 m ⋅ 2 m ⋅ 6 m = 48 m ³ .

Lösning c

Den inre diagonalen hos en oktaeder med måtten på tankens inre har en längd D som ges av:

√ (a ² + b ² + c ² ) = √ ((4 m) ² + (2 m) ² + (6 m) ² )

Genomföra de angivna operationerna vi har:

D = √ (16 m ² + 4 m ² + 36 m ² ) = √ (56 m ² ) = 2 √ (14) m = 7,48 m.

Lösning d

För att beräkna tankens kapacitet i liter är det nödvändigt att veta att volymen på en kubikdimeter är lika med en liters kapacitet. Det hade tidigare beräknats i volym i kubikmeter, men det måste omvandlas till kubikdimimeter och sedan till liter:

V = 48 m ³ = 48 (10 dm) ³ = 4.800 dm ³ = 4.800 L

- Övning 2

Ett glasakvarium har en kubisk form med en sida på 25 cm. Bestäm området i m ² , volymen i liter och längden på en inre diagonal i cm.

Bild 4. Kubikformat glasakvarium.

Lösning

Ytan beräknas med samma orthohedronformel, men med hänsyn till att alla dimensioner är identiska:

A = 2⋅ (3 a⋅a) = 6⋅ en ² = 6⋅ (25 cm) ² = 1250 cm ²

Kubens volym anges av:

V = a ³ = (25 cm) ³ = 15,625 cm ³ = 15,625 (0,1 dm) ³ = 15,625 dm ³ = 15,625 L.

Den inre diagonalens längd D är:

D = √ (3a ² ) = 25√ (3) cm = 43,30 cm.

referenser

1. Arias J. GeoGebra: Prisma. Återställd från: youtube.com.
2. Calculation.cc. Övningar och löste problem med områden och volymer. Återställd från: calculo.cc.
3. Salvador R. Pyramid + orthohedron med GEOGEBRA (IHM). Återställd från: youtube.com
4. Weisstein, Eric. "Orthohedron". MathWorld. Wolfram Research.
5. Wikipedia. Orthohedron Återställd från: es.wikipedia.com