HYPERBOLISK PARABOLOID: DEFINITION, EGENSKAPER OCH EXEMPEL - MATTE - 2026

En hyperbolisk paraboloid är en yta vars allmänna ekvation i kartesiska koordinater (x, y, z) uppfyller följande ekvation:

(x / a) ² - (y / b) ² - z = 0.

Namnet "paraboloid" kommer från det faktum att variabeln z beror på rutorna för variablerna x och y. Även om adjektivet "hyperbolisk" beror på det faktum att vi vid fasta värden på z har ekvationen för en hyperbola. Formen på denna yta liknar en hästsadel.

Bild 1. Hyperbolisk paraboloid z = x ² - y ² . Källa: F. Zapata med Wolfram Mathematica.

Beskrivning av den hyperboliska paraboloid

För att förstå arten av den hyperboliska paraboloiden kommer följande analys att göras:

1.- Vi kommer att ta det specifika fallet a = 1, b = 1, det vill säga att den kartesiska ekvationen för paraboloiden kvarstår som z = x ² - y ² .

2.- Plan anses vara parallella med ZX-planet, det vill säga y = ctte.

3.- Med y = ctte förblir det z = x ² - C, som representerar parabolas med grenarna uppåt och toppvidden under XY-planet.

Figur 2. Kurvfamilj z = x ² - C. Källa: F. Zapata med Geogebra.

4.- Med x = ctte förblir det z = C - y ² , som representerar parabolor med grenarna nedåt och toppvidden ovanför XY-planet.

Figur 3. Kurvfamilj z = C - y ² . Källa: F. Zapata genom Geogebra.

5.- Med z = ctte förblir det C = x ² - y ² , som representerar hyperbolor i plan parallellt med XY-planet. När C = 0 finns det två linjer (vid + 45º och -45º med avseende på X-axeln) som korsar varandra vid XY-planet.

Figur 4. Kurvfamilj x ² - y ² = C. Källa: F. Zapata med Geogebra ..

Egenskaper hos den hyperboliska paraboloid

1.- Fyra olika punkter i tredimensionellt rymd definierar en och endast en hyperbolisk paraboloid.

2.- Den hyperboliska paraboloiden är en dubbelt styrd yta. Detta betyder att trots att det är en krökt yta, passerar två olika linjer genom varje punkt i en hyperbolisk paraboloid som helt tillhör den hyperboliska paraboloiden. Den andra ytan som inte är ett plan och som dubbelt styrs är revolutionens hyperboloid.

Det är just den andra egenskapen hos den hyperboliska paraboloid som har tillåtit dess breda användning i arkitektur eftersom ytan kan genereras från balkar eller raka strängar.

Den andra egenskapen hos den hyperboliska paraboloiden tillåter en alternativ definition av den: det är ytan som kan genereras av en rörlig rak linje parallellt med ett fast plan och skär två fasta linjer som fungerar som vägledning. Följande figur klargör denna alternativa definition av den hyperboliska paraboloid:

Figur 5. Den hyperboliska paraboloiden är en dubbelt styrd yta. Källa: F. Zapata.

Utarbetade exempel

- Exempel 1

Visa att ekvationen: z = xy, motsvarar en hyperbolisk paraboloid.

Lösning

En transformation kommer att tillämpas på x- och y-variablerna som motsvarar en rotation av de kartesiska axlarna med avseende på Z-axeln på + 45º. De gamla x- och y-koordinaterna omvandlas till de nya x 'och y' enligt följande relationer:

x = x '- y'

y = x '+ y'

medan z-koordinaten förblir densamma, det vill säga z = z '.

Genom att ersätta ekvationen z = xy har vi:

z '= (x' - y ') (x' + y ')

Genom att tillämpa den anmärkningsvärda produkten av skillnaden med summan lika med kvadratdifferensen har vi:

z '= x' ² - y ' ²

vilket helt klart motsvarar den ursprungligen angivna definitionen av hyperbolisk paraboloid.

Avlyssnandet av planen parallellt med XY-axeln med den hyperboliska paraboloiden z = xy bestämmer liksidiga hyperbolor som har asymptotema planet x = 0 och y = 0.

- Exempel 2

Bestäm parametrarna a och b för den hyperboliska paraboloid som passerar genom punkterna A (0, 0, 0); B (1, 1, 5/9); C (-2, 1, 32/9) och D (2, -1, 32/9).

Lösning

Enligt dess egenskaper bestämmer fyra punkter i tredimensionellt rymd en enda hyperbolisk paraboloid. Den allmänna ekvationen är:

z = (x / a) ² - (y / b) ²

Vi ersätter de givna värdena:

För punkt A har vi 0 = (0 / a) ² - (0 / b) ² , en ekvation som är nöjd oavsett värdena på parametrarna a och b är.

Genom att ersätta punkt B får vi:

5/9 = 1 / a ² - 1 / b ²

För punkt C kvarstår det:

32/9 = 4 / a ² - 1 / b ²

Slutligen för punkt D erhåller vi:

32/9 = 4 / a ² - 1 / b ²

Vilket är identiskt med den tidigare ekvationen. I slutändan måste ekvationssystemet lösas:

5/9 = 1 / a ² - 1 / b ²

32/9 = 4 / a ² - 1 / b ²

Att dra den andra ekvationen från den första ger:

27/9 = 3 / a ² vilket innebär att a ² = 1.

På liknande sätt subtraheras den andra ekvationen från fyrdubbeln till den första, varvid man erhåller:

(32-20) / 9 = 4 / a ² - 4 / en ² -1 / b ² + 4 / b ²

Vilket förenklas som:

12/9 = 3 / b ² ⇒ b ² = 9/4.

Kort sagt, den hyperboliska paraboloid som passerar genom de givna punkterna A, B, C och D har en kartesisk ekvation som ges av:

z = x ² - (4/9) y ²

- Exempel 3

Enligt egenskaperna hos den hyperboliska paraboloiden passerar två rader genom varje punkt som är helt inne i den. För fallet z = x ^ 2 - y ^ 2 hitta ekvationen för de två linjerna som passerar genom punkten P (0, 1, -1) som tydligt tillhör den hyperboliska paraboloiden, så att alla punkter på dessa linjer också tillhör samma.

Lösning

Med hjälp av den anmärkningsvärda produkten av skillnaden i kvadrater kan ekvationen för den hyperboliska paraboloiden skrivas så här:

(x + y) (x - y) = cz (1 / c)

Där c är en konstant som inte är noll.

Ekvationen x + y = cz, och ekvationen x - y = 1 / c motsvarar två plan med normala vektorer n = <1,1, -c> och m = <1, -1,0>. Vektorprodukten mxn = <- c, -c, -2> ger oss riktningen för skärningslinjen mellan de två planen. Sedan har en av linjerna som passerar genom punkten P och tillhör den hyperboliska paraboloiden en parametrisk ekvation:

= <0, 1, -1> + t <-c, -c, -2>

För att bestämma c ersätter vi punkten P i ekvationen x + y = cz, och erhåller:

c = -1

På liknande sätt, men med tanke på ekvationerna (x - y = kz) och (x + y = 1 / k) har vi den parametriska ekvationen för linjen:

= <0, 1, -1> + s med k = 1.

Sammanfattningsvis de två raderna:

= <0, 1, -1> + t <1, 1, -2> och = <0, 1, -1> + s <1, -1, 2>

De ingår helt i den hyperboliska paraboloiden z = x ² - y ^{2 som} passerar genom punkten (0, 1, -1).

Anta som tecken att t = 1 som ger oss poängen (1,2, -3) på den första raden. Du måste kontrollera om det också finns på paraboloiden z = x ² - y ² :

-3 = 1 ² - 2 ² = 1 - 4 = -3

Vilket bekräftar att det verkligen tillhör ytan på den hyperboliska paraboloiden.

Den hyperboliska paraboloid i arkitekturen

Bild 6. Oceanographic of Valencia (Spain) Källa: Wikimedia Commons.

Den hyperboliska paraboloidan har använts i arkitektur av de stora avantgardearkitterna, bland vilka den spanska arkitekten Antoni Gaudí (1852-1926) och särskilt den spanska Félix Candela (1910-1997) sticker ut.

Nedan finns några verk baserade på den hyperboliska paraboloid:

-Kapellet i staden Cuernavaca (Mexiko) av arkitekten Félix Candela.

- Oceanografin i Valencia (Spanien), också av Félix Candela.

referenser

1. Encyclopedia of matematik. Reglerad yta. Återställd från: encyclopediaofmath.org
2. Llera Rubén. Hyperbolisk paraboloid. Återställd från: rubenllera.wordpress.com
3. Weisstein, Eric W. "Hyperbolic Paraboloid." Från MathWorld - En Wolfram webbresurs. Återställd från: mathworld.wolfram.com
4. Wikipedia. Paraboloid. Återställd från: en.wikipedia.com
5. Wikipedia. Paraboloid. Återställd från: es.wikipedia.com
6. Wikipedia. Reglerad yta. Återställd från: en.wikipedia.com