MOIVRES TEOREM: BEVIS OCH LÖSTA ÖVNINGAR - MATTE - 2026

Den sats av Moivre appliceras algebra grundläggande processer, såsom befogenheter och extraherar rötter i komplexa tal. Satsen uttalades av den berömda franska matematikern Abraham de Moivre (1730), som förknippade komplexa nummer med trigonometri.

Abraham Moivre gjorde denna förening genom uttryck av sinus och kosinus. Denna matematiker genererade en typ av formel genom vilken det är möjligt att höja ett komplext antal z till kraften n, vilket är ett positivt heltal större än eller lika med 1.

Vad är Moivres teorem?

Moivres sats säger följande:

Om vi ​​har ett komplext tal i den polära formen z = r _Ɵ , där r är modulen för det komplexa antalet z, och vinkeln Ɵ kallas amplituden eller argumentet för vilket komplex tal som helst med 0 ≤ Ɵ ≤ 2π, för att beräkna dess n– kraften kommer det inte att behöva multiplicera den med sig själv n-gånger; det är, det är inte nödvändigt att göra följande produkt:

Z ⁿ = z _* z _* z _{*. . . *} z = r _{Ɵ *} r _{Ɵ *} r _{Ɵ *. . . *} r _Ɵ n-gånger.

Tvärtom säger teoremet att när vi skriver z i dess trigonometriska form för att beräkna den n: a kraften fortsätter vi enligt följande:

Om z = r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ), då z ⁿ = r ⁿ (cos n * Ɵ + i _* sin n * Ɵ).

Till exempel, om n = 2, då z ² = r ² . Om n = 3, är z ³ = z ² _* z. Också:

z ³ = r ² _* r = r ³ .

På detta sätt kan de trigonometriska förhållandena mellan sinus och kosinus för multipler av en vinkel erhållas, så länge de trigonometriska förhållandena för vinkeln är kända.

På samma sätt kan det användas för att hitta mer exakta och mindre förvirrande uttryck för n-roten av ett komplext nummer z, så att z ⁿ = 1.

För att bevisa Moivres teorem används principen om matematisk induktion: om ett heltal "a" har en egenskap "P", och om för ett heltal "n" större än "a" som har egenskapen "P" Den uppfyller att n + 1 också har egenskapen "P", då har alla heltal större än eller lika med "a" egenskapen "P".

Demonstration

Således görs beviset på teorem med följande steg:

Induktiv bas

Det kontrolleras först för n = 1.

Eftersom z ¹ = (r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ)) ¹ = r ¹ (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ¹ = r ¹ , gäller satset för n = 1.

Induktiv hypotes

Formeln antas vara sant för något positivt heltal, det vill säga n = k.

z ^k = (r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ)) ^k = r ^k (cos k Ɵ + i _* sin k Ɵ).

Verifiering

Det har visat sig vara sant för n = k + 1.

Eftersom z ^{k + 1} = z ^k _* z, då z ^{k + 1} = (r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ)) ^{k + 1} = r ^k (cos kƟ + i _* sin kƟ) _* r (cos Ɵ + i _* senƟ).

Sedan multipliceras uttrycken:

z ^{k + 1} = r ^{k + 1} ((cos kƟ) _* (cosƟ) + (cos kƟ) _* (i _* sinƟ) + (i _* sin kƟ) _* (cosƟ) + (i _* sin kƟ) _* (i _* senƟ)).

För ett ögonblick ignoreras faktorn r ^{k + 1} och den gemensamma faktorn i tas:

(cos kƟ) _* (cosƟ) + i (cos kƟ) _* (sinƟ) + i (sin kƟ) _* (cosƟ) + i ² (sin kƟ) _* (sinƟ).

Eftersom jag ² = -1, ersätter vi det i uttrycket och vi får:

(cos kƟ) _* (cosƟ) + i (cos kƟ) _* (sinƟ) + i (sin kƟ) _* (cosƟ) - (sin kƟ) _* (sinƟ).

Nu beställs den verkliga delen och den imaginära delen:

(cos kƟ) _* (cosƟ) - (sin kƟ) _* (sinƟ) + i.

För att förenkla uttrycket tillämpas de trigonometriska identiteterna på summan av vinklar för kosinus och sinus, vilka är:

cos (A + B) = cos A _* cos B - sin A _* sin B.

sin (A + B) = sin A _* cos B - cos A _* cos B.

I detta fall är variablerna vinklarna Ɵ och kƟ. Tillämpa de trigonometriska identiteterna har vi:

cos kƟ _* cosƟ - sin kƟ _* sinƟ = cos (kƟ + Ɵ)

sin kƟ _* cosƟ + cos kƟ _* sinƟ = sin (kƟ + Ɵ)

På detta sätt är uttrycket:

z ^{k + 1} = r ^{k + 1} (cos (kƟ + Ɵ) + i _* sin (kƟ + Ɵ))

z ^{k + 1} = r ^{k + 1} (cos + i _* sin).

Således kunde det visas att resultatet är sant för n = k + 1. Med principen om matematisk induktion dras slutsatsen att resultatet är sant för alla positiva heltal; det vill säga n ≥ 1.

Negativt heltal

Moivres teorem tillämpas också när n ≤ 0. Låt oss betrakta ett negativt heltal «n»; då kan "n" skrivas som "-m", det vill säga n = -m, där "m" är ett positivt heltal. Således:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ^-m

För att få exponenten "m" på ett positivt sätt skrivs uttrycket omvänt:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = 1 ÷ (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ^m

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = 1 ÷ (cos mƟ + i _* sin mƟ)

Nu används det att om z = a + b * i är ett komplext tal, så är 1 ÷ z = ab * i. Således:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = cos (mƟ) - i _* sin (mƟ).

Genom att använda den cos (x) = cos (-x) och den -sen (x) = sin (-x), har vi:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ =

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = cos (- mƟ) + i _* sin (-mƟ)

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = cos (nƟ) - i _* sin (nƟ).

Således kan man säga att teoremet gäller alla heltal för "n".

Lösta övningar

Beräkning av positiva krafter

En av operationerna med komplexa siffror i sin polära form är multiplikationen med två av dessa; i så fall multipliceras modulerna och argumenten läggs till.

Om du har två komplexa siffror z _{1 och} z ₂ och du vill beräkna (z ₁ * z ₂ ) ² , fortsätter du enligt följande:

z ₁ z ₂ = *

Distributionsegenskapen gäller:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂ (cos Ɵ _{1 *} cos Ɵ ₂ + i _* cos Ɵ _{1 *} i _* sin Ɵ ₂ + i _* sin Ɵ _{1 *} cos Ɵ ₂ + i ² _* sin Ɵ _{1 *} sin Ɵ ₂ ).

De är grupperade och tar uttrycket "i" som en vanlig faktor för uttryck:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂

Eftersom jag ² = -1, är den substituerad i uttrycket:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂

De verkliga termerna omgrupperas med verkliga och imaginära med imaginära:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂

Slutligen gäller de trigonometriska egenskaperna:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂ .

Sammanfattningsvis:

(z ₁ * z ₂ ) ² = (r ₁ r ₂ ) ²

= r ₁ ² r ₂ ² .

Övning 1

Skriv det komplexa antalet i polär form om z = - 2 -2i. Beräkna sedan med Moivres teorem z ⁴ .

Lösning

Det komplexa antalet z = -2 -2i uttrycks i den rektangulära formen z = a + bi, där:

a = -2.

b = -2.

Genom att veta att den polära formen är z = r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ), måste vi bestämma värdet på modulen "r" och värdet på argumentet "Ɵ". Eftersom r = √ (a² + b²) ersätts de givna värdena:

r = √ (a² + b²) = √ ((- 2) ² + (- 2) ²)

= √ (4 + 4)

= √ (8)

= √ (4 * 2)

= 2√2.

För att bestämma värdet på «Ɵ» appliceras sedan den rektangulära formen, vilket ges av formeln:

solbränna Ɵ = b ÷ a

solbränna Ɵ = (-2) ÷ (-2) = 1.

Eftersom solbränna (Ɵ) = 1 och vi har en <0, så har vi:

Ɵ = arctan (1) + Π.

= Π / 4 + Π

= 5Π / 4.

Eftersom värdet på «r» och «Ɵ» redan har erhållits, kan det komplexa antalet z = -2 -2i uttryckas i polär form genom att ersätta värdena:

z = 2√2 (cos (5Π / 4) + i _* sin (5Π / 4)).

Nu använder vi Moivres sats för att beräkna z ⁴ :

z ⁴ = 2√2 (cos (5Π / 4) + i _* sin (5Π / 4)) ⁴

= 32 (cos (5Π) + i _* sin (5Π)).

Övning 2

Hitta produkten av komplexa siffror genom att uttrycka den i polär form:

z1 = 4 (cos 50 ^o + i _* sin 50 ^o )

z2 = 7 (cos 100 ^o + i _* sin 100 ^o ).

Beräkna sedan (z1 * z2) ².

Lösning

Först bildas produkten med de givna siffrorna:

z ₁ z ₂ = *

Sedan multipliceras modulerna med varandra och argumenten läggs till:

z ₁ z ₂ = (4 _* 7) _*

Uttrycket är förenklat:

z ₁ z ₂ = 28 _* (cos 150 ^o + (i _* sin 150 ^o ).

Slutligen gäller Moivres teorem:

(z1 * z2) ² = (28 _* (cos 150 ^o + (i _* sin 150 ^o )) ² = 784 (cos 300 ^o + (i _* sin 300 ^o )).

Beräkning av negativa krafter

För att dela upp två komplexa siffror z _{1 och} z ₂ i deras polära form, delas modulen och argumenten subtraheras. Således är kvoten z ₁ ÷ z ₂ och uttrycks på följande sätt:

z ₁ ÷ z ₂ = r1 / r2 ().

Liksom i föregående fall, om vi vill beräkna (z1 ÷ z2) ³, utförs uppdelningen först och sedan används Moivre-teoremet.

Övning 3

tärningar:

z1 = 12 (cos (3π / 4) + i * sin (3π / 4)),

z2 = 4 (cos (π / 4) + i * sin (π / 4)),

beräkna (z1 ÷ z2) ³.

Lösning

Genom att följa stegen som beskrivs ovan kan man dra slutsatsen att:

(z1 ÷ z2) ³ = ((12/4) (cos (3π / 4 - π / 4) + i * sin (3π / 4 - π / 4))) ³

= (3 (cos (π / 2) + i * sin (π / 2))) ³

= 27 (cos (3π / 2) + i * sin (3π / 2)).

referenser

1. Arthur Goodman, LH (1996). Algebra och trigonometri med analytisk geometri. Pearson Education.
2. Croucher, M. (nd). Från Moivres teorem för trigidentiteter. Wolfram demonstrationsprojekt.
3. Hazewinkel, M. (2001). Encyclopaedia of Mathematics.
4. Max Peters, WL (1972). Algebra och trigonometri.
5. Pérez, CD (2010). Pearson Education.
6. Stanley, G. (nd). Linjär algebra. Graw-Hill.
7. , M. (1997). Förberäkning. Pearson Education.