PARALLELIPIPED: EGENSKAPER, TYPER, AREA, VOLYM - MATTE - 2026

En parallellpiped är en geometrisk kropp som består av sex ansikten, vars huvudkarakteristik är att alla dess ansikten är parallellogram och också att dess motsatta ytor är parallella med varandra. Det är en vanlig polyhedron i vårt dagliga liv, eftersom vi kan hitta det i skodon, formen på en tegel, formen på en mikrovågsugn etc.

Eftersom det är en polyhedron, sluter parallellpipet en begränsad volym och alla dess ytor är plana. Det är en del av gruppen prismor, som är de polyeder som alla dess toppar är i två parallella plan.

Parallelepipedelement

Faces

De är var och en av regionerna som bildas av parallellogram som begränsar parallellpiped. En parallellpiped har sex ansikten, där varje ansikte har fyra angränsande ytor och en motsatt sida. Dessutom är varje ansikte parallellt med det motsatta.

Kanter

De är den vanliga sidan av två ansikten. Totalt har en parallellpiped tolv kanter.

Vertex

Det är den gemensamma punkten för tre ansikten som ligger intill varandra två för två. En parallellpiped har åtta hörn.

Diagonal

Med tanke på två sidor med en parallellpiped mittemot varandra kan vi rita ett linjesegment som går från toppens topp till den motsatta toppen på den andra.

Detta segment är känt som diagonalen av parallellpiped. Varje parallellpiped har fyra diagonaler.

Centrum

Det är den punkt där alla diagonalerna korsar varandra.

Egenskaper för Parallelipiped

Som vi redan nämnt har denna geometriska kropp tolv kanter, sex ansikten och åtta vertikaler.

I en parallellpiped kan tre uppsättningar bildade av fyra kanter identifieras, som är parallella med varandra. Dessutom har kanterna på nämnda uppsättningar också egenskapen att ha samma längd.

En annan egenskap som parallellpipeds har, är att de är konvexa, det vill säga om vi tar några par av punkter som tillhör det inre av parallellpiped, kommer segmentet bestämt av nämnda parpar också att vara inom parallellpiped.

Dessutom överensstämmer parallellpipeds som är konvexa polyedra Eulers sats för polyhedra, vilket ger oss en relation mellan antalet ansikten, antalet kanter och antalet toppar. Detta förhållande ges i form av följande ekvation:

C + V = A + 2

Denna egenskap är känd som Euler-karakteristiken.

Där C är antalet ansikten, V antalet vertikaler och A antalet kanter.

typer

Vi kan klassificera parallelepipeds baserat på deras ansikten, i följande typer:

Orthohedron

Det är de parallellpiped där deras ansikten bildas av sex rektanglar. Varje rektangel är vinkelrätt mot de som delar en kant. De är de vanligaste i våra dagliga liv, detta är den vanliga formen av skodåser och tegelstenar.

Vanlig kub eller hexahedron

Detta är ett särskilt fall av det föregående, där varje ansikte är en kvadrat.

Kuben är också en del av de geometriska kropparna som kallas platoniska fasta ämnen. Ett platoniskt fast ämne är en konvex polyeder, så att både dess ansikten och dess inre vinklar är lika med varandra.

rhombohedron

Det är en parallellpiped med romb för ansiktet. Dessa rhombuses är alla lika med varandra, eftersom de delar kanter.

rhombohedron

Dess sex ansikten är romboider. Kom ihåg att en romboid är en polygon med fyra sidor och fyra vinklar som är lika två till två. Rhomboids är parallellogram som varken är kvadrater eller rektanglar eller romb.

Å andra sidan är de snedställda parallella ledarna de där åtminstone en höjd inte överensstämmer med deras kant. I denna klassificering kan vi inkludera rhombohedra och rhombohedra.

Diagonaler beräkning

För att beräkna diagonalen i en ortohedron kan vi använda Pythagoras teorem för R ³ .

Kom ihåg att en ortohedron har den egenskapen att varje sida är vinkelrätt mot de sidor som delar en kant. Från detta faktum kan vi dra slutsatsen att varje kant är vinkelrätt mot de som delar en toppunkt.

För att beräkna längden på en diagonal av en ortohedron fortsätter vi enligt följande:

1. Vi beräknar diagonalen på ett av ansiktena, som vi kommer att lägga som bas. För detta använder vi Pythagorean teorem. Låt oss namnge denna diagonal d _b .

2. Sedan med d _b vi kan bilda en ny rätvinklig triangel, så att hypotenusan hos nämnda triangel är diagonalen D vi söker.

3. Vi använder Pythagorean teorem igen och vi har att längden på denna diagonal är:

Ett annat sätt att beräkna diagonaler på ett mer grafiskt sätt är med tillägg av fria vektorer.

Kom ihåg att två fria vektorer A och B läggs till genom att placera svansen i vektor B med spetsen på vektor A.

Vektorn (A + B) är den som börjar vid svansen på A och slutar vid spetsen av B.

Låt oss överväga en parallellpiped som vi vill beräkna en diagonal för.

Vi identifierar kanterna med bekvämt orienterade vektorer.

Sedan lägger vi till dessa vektorer och den resulterande vektorn kommer att vara diagonalen för parallellpiped.

Område

Området för en parallellpiped anges av summan av var och en av ytorna på ytorna.

Om vi ​​bestämmer en av sidorna som bas,

A _L + 2A _B = Total area

Där A _L är lika med summan av områdena på alla sidor intill basen, kallad lateralområdet, och A _B är basens area.

Beroende på vilken typ av parallellpiped som vi arbetar med kan vi skriva om denna formel.

Område av en ortohedron

Det ges av formeln

A = 2 (ab + bc + ca).

Exempel 1

Med tanke på följande orthoeder, med sidorna a = 6 cm, b = 8 cm och c = 10 cm, beräkna arean för parallellpiped och längden på dess diagonal.

Med formeln för området för en ortohedron har vi det

A = 2 = 2 = 2 = 376 cm ² .

Lägg märke till att eftersom det är en ortohedron är längden på någon av dess fyra diagonaler densamma.

Med hjälp av Pythagorean teorem för rymden har vi det

D = (6 ² + 8 ² + 10 ² ) ^1/2 = (36 + 64 + 100) ^1/2 = (200) ^1/2

Area av en kub

Eftersom varje kant har samma längd har vi att a = b och a = c. Att ersätta den tidigare formeln vi har

A = 2 (aa + aa + aa) = 2 (3a ² ) = 6a ²

A = 6a ²

Exempel 2

Lådan på en spelkonsol är formad som en kub. Om vi ​​vill linda in denna låda med presentförpackning, hur mycket papper skulle vi spendera med att veta att kubens kanter är 45 cm?

Med formeln för kubens area får vi det

A = 6 (45 cm) ² = 6 (2025 cm ² ) = 12150 cm ²

Område av en rhombohedron

Eftersom alla deras ansikten är desamma, beräkna bara ytan för en av dem och multiplicera den med sex.

Vi har att området för en romb kan beräknas genom dess diagonaler med följande formel

A _R = (Dd) / 2

Med hjälp av denna formel följer det att den totala arean av rhombohedron är

A _T = 6 (Dd) / 2 = 3Dd.

Exempel 3

Fasterna på följande rhombohedron bildas av en romb vars diagonaler är D = 7 cm och d = 4 cm. Ditt område kommer att vara

A = 3 (7 cm) (4 cm) = 84 cm ² .

Område av en rhombohedron

För att beräkna arean för en rhombohedron måste vi beräkna arean av rhomboids som komponerar den. Eftersom parallellpipeds uppfyller egenskapen att motsatta sidor har samma område kan vi associera sidorna i tre par.

På detta sätt har vi att ditt område kommer att vara

A _T = 2b ₁ h ₁ + 2b ₂ h ₂ + 2b ₃ h ₃

Där b _jag är baserna som är förknippade med sidorna och h _i deras relativa höjd motsvarande dessa baser.

Exempel 4

Tänk på följande parallellpiped,

där sida A och sida A '(dess motsatta sida) har en bas b = 10 och en höjd h = 6. Det markerade området har ett värde av

A ₁ = 2 (10) (6) = 120

B och B 'har b = 4 och h = 6, så

A ₂ = 2 (4) (6) = 48

YC och C 'har således b = 10 och h = 5

A ₃ = 2 (10) (5) = 100

Slutligen är området för rhombohedron

A = 120 + 48 + 100 = 268.

Volym av en parallellpiped

Formeln som ger oss volymen för en parallellpiped är produkten av ytan på en av dess ytor med den höjd som motsvarar den ytan.

V = A _C h _C

Beroende på typen av parallellpiped kan denna formel förenklas.

Således har vi till exempel att volymen för en ortohedron skulle ges av

V = abc.

Där a, b och c representerar längden på kanter på ortohedronen.

Och i det speciella fallet med kuben är det

V = a ³

Exempel 1

Det finns tre olika modeller för kaklådor och du vill veta i vilken av dessa modeller du kan lagra fler kakor, det vill säga vilken av lådorna har den största volymen.

Den första är en kub vars kant har en längd av = 10 cm

Volymen kommer att vara V = 1000 cm ³

Den andra har kanter b = 17 cm, c = 5 cm, d = 9 cm

Och därför är dess volym V = 765 cm ³

Och den tredje har e = 9 cm, f = 9 cm och g = 13 cm

Och dess volym är V = 1053 cm ³

Därför är rutan med den största volymen den tredje.

En annan metod för att erhålla volymen för en parallellpiped är att använda vektoralgebra. I synnerhet triple dot-produkten.

En av de geometriska tolkningarna som den tredubbla skalära produkten har är volymen för parallellpiped, vars kanter är tre vektorer som delar samma toppunkt som en utgångspunkt.

På detta sätt, om vi har en parallellpiped och vi vill veta vad dess volym är, räcker det att representera det i ett koordinatsystem i R3 ^{genom att} göra en av dess toppar sammanfaller med ursprunget.

Sedan representerar vi kanterna som sammanfaller vid ursprunget med vektorer som visas i figuren.

Och på detta sätt har vi att volymen för nämnda parallellpiped ges av

V = - AxB ∙ C-

Eller, likvärdigt, är volymen determinanten för 3 × 3-matrisen, bildad av komponenterna i kantvektorerna.

Exempel 2

När representerar följande parallellepiped i R ³ kan vi se att de vektorer som bestämmer det är följande

u = (-1, -3,0), v = (5, 0, 0) och w = (-0,25, -4, 4)

Med hjälp av den tredubbla skalära produkten vi har

V = - (uxv) ∙ w-

uxv = (-1, -3,0) x (5, 0, 0) = (0,0, - 15)

(uxv) ∙ w = (0,0, - 15) ∙ (-0,25, -4, 4) = 0 + 0 + 4 (- 15) = - 60

Av detta drar vi slutsatsen att V = 60

Låt oss nu överväga följande parallellpiped i R3 vars kanter bestäms av vektorerna

A = (2, 5, 0), B = (6, 1, 0) och C = (3, 4, 4)

Att använda determinanter ger oss det

Således har vi att volymen för nämnda parallellpiped är 112.

Båda är likvärdiga sätt att beräkna volym.

Perfekt parallellpiped

En orthohedron är känd som en Euler tegel (eller Eulers block) som uppfyller egenskapen att både längden på dess kanter och längden på diagonalerna på var och en av dess ytor är hela siffror.

Även om Euler inte var den första forskaren som studerade ortoedraen som uppfyller denna egenskap, fann han intressanta resultat om dem.

Den minsta Euler tegel upptäcktes av Paul Halcke och längderna på dess kanter är a = 44, b = 117 och c = 240.

Ett öppet problem i talteori är följande

Finns det perfekt ortoedra?

För närvarande har denna fråga inte besvarats, eftersom det inte har varit möjligt att bevisa att sådana organ inte finns, men ingen har hittats.

Det som hittills har visats är att perfekta parallellpipeds finns. Den första som upptäcktes har längden på sina kanter värdena 103, 106 och 271.

Bibliografi

1. Guy, R. (1981). Olösta problem i talteorin. Springer.
2. Landaverde, F. d. (1997). Geometri. Framsteg.
3. Leithold, L. (1992). Beräkningen med analytisk geometri. HARLA, SA
4. Rendon, A. (2004). Teknisk ritning: Aktivitetsbok 3 2: a Bachillerato. Tebar.
5. Resnick, R., Halliday, D., & Krane, K. (2001). Fysik Vol. 1. Mexiko: Kontinentalt.