MULTIPLIKATIONSPRINCIP: RÄKNATEKNIKER OCH EXEMPEL - MATTE - 2026

Den multiplikativa princip är en teknik som används för att lösa räkna problem att hitta en lösning utan att behöva räkna dess element. Det är också känt som den grundläggande principen för kombinatorisk analys; det är baserat på successiv multiplikation för att bestämma hur en händelse kan inträffa.

Denna princip säger att om ett beslut (d ₁ ) kan fattas på n sätt och ett annat beslut (d ₂ ) kan fattas på m sätt är det totala antalet sätt på vilka beslut d ₁ och d ₂ kan fattas lika att multiplicera från n _* m. Enligt principen fattas varje beslut efter varandra: antal vägar = N _{1 *} N ₂ … _* N _x vägar.

exempel

Exempel 1

Paula planerar att gå på film med sina vänner, och att välja kläderna hon ska ha, jag separerar 3 blusar och 2 kjolar. Hur många sätt kan Paula klä sig på?

Lösning

I detta fall måste Paula fatta två beslut:

d ₁ = Välj mellan 3 blusar = n

d ₂ = Välj mellan 2 kjolar = m

På så sätt har Paula n _* m beslut att fatta eller olika sätt att klä sig på.

n _* m = 3 _* 2 = 6 beslut.

Multiplikationsprincipen kommer från träddiagrammets teknik, som är ett diagram som hänför sig till alla möjliga resultat, så att var och en kan uppstå ett ändligt antal gånger.

Exempel 2

Mario var väldigt törstig, så han gick till bageriet för att köpa juice. Luis tar hand om honom och berättar för honom att den finns i två storlekar: stora och små; och fyra smaker: äpple, apelsin, citron och druva. Hur många sätt kan Mario välja juice?

Lösning

I diagrammet kan man se att Mario har 8 olika sätt att välja juice och att detta resultat, som i multiplikationsprincipen, erhålls genom att multiplicera n _* m. Den enda skillnaden är att genom detta diagram kan du se hur Mario väljer juicen på sättet.

Å andra sidan, när antalet möjliga resultat är mycket stort, är det mer praktiskt att använda multiplikationsprincipen.

Räkningstekniker

Räkningstekniker är metoder som används för att göra en direkt räkning och känner således till antalet möjliga arrangemang som elementen i en given uppsättning kan ha. Dessa tekniker bygger på flera principer:

Tilläggsprincipen

Denna princip säger att, om två händelser m och n inte kan inträffa samtidigt, antalet sätt på vilka den första eller andra händelsen kan inträffa är summan av m + n:

Antal former = m + n… + x olika former.

Exempel

Antonio vill ta en resa men bestämmer sig inte till vilken destination; på Southern Tourism Agency erbjuder de dig en kampanj för att resa till New York eller Las Vegas, medan Eastern Tourism Agency rekommenderar att du reser till Frankrike, Italien eller Spanien. Hur många olika resealternativ erbjuder Antonio dig?

Lösning

Med den södra turistbyrån har Antonio två alternativ (New York eller Las Vegas), medan han med Eastern Tourism Agency har tre alternativ (Frankrike, Italien eller Spanien). Antalet olika alternativ är:

Antal alternativ = m + n = 2 + 3 = 5 alternativ.

Permutationsprincipen

Det handlar specifikt om att beställa alla eller några av de element som utgör en uppsättning för att underlätta räkningen av alla möjliga arrangemang som kan göras med elementen.

Antalet permutationer av n olika element, tagna samtidigt, representeras som:

_n P _n = n!

Exempel

Fyra vänner vill ta en bild och vill veta hur många olika sätt de kan ordnas på.

Lösning

Du vill veta uppsättningen med alla möjliga sätt på vilka de 4 personerna kan placeras för att ta bilden. Därför måste du:

₄ P ₄ = 4! = 4 _* 3 _* 2 _* 1 = 24 olika former.

Om antalet permutationer av n tillgängliga element tas av delar av en uppsättning som består av r-element, representeras det som:

_n P _{r =} n! ÷ (n - r)!

Exempel

I ett klassrum finns det 10 platser. Om fyra elever deltar i lektionen, på hur många olika sätt kan elever fylla tjänsterna?

Lösning

Vi har att det totala antalet stolar är 10 och endast dessa 4 kommer att användas. Den angivna formeln tillämpas för att bestämma antalet permutationer:

_n P _r = n! ÷ (n - r)!

₁₀ P ₄ = 10! ÷ (10 - 4)!

₁₀ P ₄ = 10! ÷ 6!

₁₀ P ₄ = 10 _* 9 _* 8 _* 7 _* 6 _* 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 ÷ 6 _* 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 = 5040 sätt att fylla positionerna.

Det finns fall där några av de tillgängliga elementen i en uppsättning upprepas (de är desamma). För att beräkna antalet matriser som tar alla element samtidigt används följande formel:

_n P _r = n! ÷ n ₁ ! _* n ₂ ! … n _r !

Exempel

Hur många olika fyra bokstavsord kan bildas från ordet "varg"?

Lösning

I det här fallet finns det fyra element (bokstäver) varav två av dem är exakt desamma. Genom att använda den givna formeln är det känt hur många olika ord som resulterar:

_n P _r = n! ÷ n ₁ ! _* n ₂ ! … n _r !

₄ P _{2, 1,1} = 4! ÷ 2! _* 1! _* 1!

₄ P _{2, 1, 1} = (4 _* 3 _* 2 _* 1) ÷ (2 _* 1) _* 1 _* 1

₄ P _{2, 1, 1} = 24 ÷ 2 = 12 olika ord.

Kombinationsprincip

Det handlar om att ordna alla eller några av de element som utgör en uppsättning utan en specifik ordning. Om du till exempel har ett XYZ-arrangemang kommer det att vara identiskt med ZXY, YZX, ZYX-arrangemangen, bland andra; detta beror på att elementen i varje arrangemang är desamma trots att de inte är i samma ordning.

När vissa element (r) tas från uppsättningen (n) ges principen om kombination med följande formel:

_n C _{r =} n! ÷ (n - r)! R!

Exempel

I en butik säljer de 5 olika typer av choklad. Hur många olika sätt kan fyra choklad väljas?

Lösning

I det här fallet måste fyra choklad väljas bland de 5 typerna som de säljer i butiken. I vilken ordning de väljs spelar ingen roll och dessutom kan en typ av choklad väljas mer än två gånger. Genom att använda formeln måste du:

_n C _r = n! ÷ (n - r)! R!

₅ C ₄ = 5! ÷ (5 - 4)! 4!

₅ C ₄ = 5! ÷ (1)! 4!

₅ C ₄ = 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 ÷ 4 _* 3 _* 2 _* 1

₅ C ₄ = 120 ÷ 24 = 5 olika sätt att välja 4 choklad.

När alla element (r) i uppsättningen (n) tas, ges kombinationsprincipen med följande formel:

_n C _{n =} n!

Lösta övningar

Övning 1

Det finns ett basebolllag med 14 medlemmar. På hur många sätt kan 5 positioner tilldelas för ett spel?

Lösning

Uppsättningen består av 14 element och du vill tilldela 5 specifika positioner; det vill säga ordningsfrågor. Permutationsformeln tillämpas där n tillgängliga element tas av delar av en uppsättning som bildas av r.

_n P _{r =} n! ÷ (n - r)!

Där n = 14 och r = 5. Det är substituerat med formeln:

₁₄ P ₅ = 14! ÷ (14 - 5)!

₁₄ P ₅ = 14! ÷ (9)!

₁₄ P ₅ = 240 240 sätt att tilldela de 9 spelpositionerna.

Övning 2

Om en familj på 9 åker på en resa och köper sina biljetter med platser i följd, hur många olika sätt kan de sedan sitta ner?

Lösning

Det handlar om nio delar som kommer att innehålla 9 platser i följd.

P ₉ = 9!

P ₉ = 9 _* 8 _* 7 _* 6 _* 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 = 362 880 olika sätt att sitta på.

referenser

1. Hopkins, B. (2009). Resurser för undervisning i diskret matematik: klassprojekt, historikmoduler och artiklar.
2. Johnsonbaugh, R. (2005). Diskret matematik. Pearson Education,.
3. Lutfiyya, LA (2012). Definitiv och diskret matematikproblemlösare. Forsknings- och utbildningsföreningens redaktörer.
4. Padró, FC (2001). Diskret matematik. Politec. av Catalunya.
5. Steiner, E. (2005). Matematik för tillämpad vetenskap. Reverte.