KORSPRODUKT: EGENSKAPER, APPLIKATIONER OCH ÖVNINGAR - MATTE - 2026

Den vektoriella produkten eller vektorprodukt är ett sätt att multiplicera två eller flera vektorer. Det finns tre sätt att multiplicera vektorer, men ingen av dessa är multiplikation i ordets vanliga mening. En av dessa former är känd som en vektorprodukt, vilket resulterar i en tredje vektor.

Korsprodukten, som också kallas korsprodukten eller ytterprodukten, har olika algebraiska och geometriska egenskaper. Dessa egenskaper är mycket användbara, särskilt när det gäller studier av fysik.

Definition

En formell definition av vektorprodukten är följande: om A = (a1, a2, a3) och B = (b1, b2, b3) är vektorer, är vektorprodukten av A och B, som vi kommer att beteckna AxB,:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

På grund av AxB-notationen läses den som "A cross B".

Ett exempel på hur man använder den yttre produkten är att om A = (1, 2, 3) och B = (3, -2, 4) är vektorer, då använder vi definitionen av en vektorprodukt vi har:

AxB = (1, 2, 3) x (3, -2, 4) = (2 * 4 - 3 * (- 2), 3 * 3 - 1 * 4, 1 * (- 2) - 2 * 3)

AxB = (8 + 6, 9 - 4, - 2 - 6) = (14, 5, - 8).

Ett annat sätt att uttrycka vektorprodukten ges genom noteringen av determinanter.

Beräkningen av en andra ordningsdeterminant ges av:

Därför kan formeln för korsprodukten som ges i definitionen skrivas om på följande sätt:

Detta förenklas vanligtvis till en tredje ordningsdeterminant enligt följande:

Där i, j, k representerar de vektorer som ligger till grund för R ³ .

På detta sätt att uttrycka korsprodukten måste vi att det föregående exemplet kan skrivas om som:

Egenskaper

Vissa egenskaper som vektorprodukten har är följande:

Fastighet 1

Om A är någon vektor i R ³ har vi:

- AxA = 0

- Ax0 = 0

- 0xA = 0

Dessa egenskaper är lätta att kontrollera med bara definitionen. Om A = (a1, a2, a3) har vi:

AxA = (a2a3 - a3a2, a3a1 - a1a3, a1a2 - a2a1) = (0, 0, 0) = 0.

Ax0 = (a2 * 0 - a3 * 0, a3 * 0 - a1 * 0, a1 * 0 - a2 * 0) = (0, 0, 0) = 0.

Om i, j, k representerar enhetsbasen för R ³ , kan vi skriva dem på följande sätt:

i = (1, 0, 0)

j = (0, 1, 0)

k = (0, 0, 1)

Så vi har att följande egenskaper är sanna:

Som en mnemonisk regel används ofta följande cirkel för att komma ihåg dessa egenskaper:

Där måste vi notera att varje vektor med sig själv ger vektor 0 som resultat, och resten av produkterna kan erhållas med följande regel:

Korsprodukten av två på varandra följande vektorer i medurs riktning ger nästa vektor; och när motursriktningen beaktas är resultatet följande vektor med ett negativt tecken.

Tack vare dessa egenskaper kan vi se att vektorprodukten inte är kommutativ; notera till exempel att ixj ≠ jx i. Följande egenskap beskriver hur AxB och BxA generellt är relaterade.

Fastighet 2

Om A och B är vektorer för R ³ , vi har:

AxB = - (BxA).

Demonstration

Om A = (a1, a2, a3) och B = (b1, b2, b3), per definition av extern produkt har vi:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

= (- 1) (a3b2 - a2b3, a1b3 - a3b1, a2b1 - a1b2)

= (- 1) (BxA).

Vi kan också se att den här produkten inte är associerad med följande exempel:

ix (ixj) = ixk = - j men (ixi) xj = 0xj = 0

Från detta kan vi se att:

ix (ixj) ≠ (ixi) xj

Fastighet 3

Om A, B, C är vektorer för R ³ och r är ett reellt tal, är följande sant:

- Axe (B + C) = AxB + AxC

- r (AxB) = (rA) xB = Ax (rB)

Tack vare dessa egenskaper kan vi beräkna vektorprodukten med hjälp av lagarna i algebra, förutsatt att beställningen respekteras. Till exempel:

Om A = (1, 2, 3) och B = (3, -2, 4), kan vi skriva om dem i termer av den kanoniska basis av R ³ .

Således A = i + 2j + 3k och B = 3i - 2j + 4k. Använd sedan de tidigare egenskaperna:

AxB = (i + 2j + 3k) x (3i - 2j + 4k)

= 3 (ixi) - 2 (ixj) + 4 (ixk) + 6 (jxi) - 4 (jxj) + 8 (jxk) + 9 (kxi) - 6 (kxj) +12 (kxk)

= 3 (0) - 2 (k) + 4 (- j) + 6 (- k) - 4 (0) + 8 (i) + 9 (j) - 6 (- i) +12 (0)

= - 2k - 4j - 6k + 8i + 9j + 6i = 14i + 5j - 4k

= (14, 5, - 8).

Egenskap 4 (trippelprodukt)

Som vi nämnde i början finns det andra sätt att multiplicera vektorer förutom vektorprodukten. Ett av dessa sätt är skalprodukten eller innerprodukten, som benämns A ∙ B och vars definition är:

Om A = (a1, a2, a3) och B = (b1, b2, b3), då A ∙ B = a1b1 + a2b2 + a3b3

Egenskapen som hänför sig till båda produkterna kallas trippel skalarprodukten.

Om A, B och C är vektorer för R ³ , då är A ∙ BxC = AxB ∙ C

Låt oss som exempel se att med tanke på A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) och C = (- 5, 1, - 4), är den här egenskapen nöjd.

BxC = - 3k - 12j + 20k - 16i - 10j - 2i = - 18i - 22j + 17k

A ∙ BxC = (1, 1, - 2) ∙ (- 18, - 22, 17) = (1) (- 18) + (1) (- 22) + (- 2) (17) = - 74

Å andra sidan:

AxB = 4k - 2j + 3k + 2i + 6j + 8i = 10i + 4j + 7k

AxB ∙C = (10, 4, 7) ∙ (- 5, 1, - 4) = (10) (- 5) + (4) (1) + (7) (- 4) = - 74

En annan trippelprodukt är Ax (BxC), som kallas trippelvektorprodukten.

Egenskap 5 (trippelvektorprodukt)

Om A, B och C är vektorer för R ³ , då:

Axe (BxC) = (A ∙C) B - (A ∙ B) C

Låt oss som exempel se att med tanke på A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) och C = (- 5, 1, - 4), är den här egenskapen nöjd.

Från föregående exempel vet vi att BxC = (- 18, - 22, 17). Låt oss beräkna Ax (BxC):

Axe (BxC) = - 22k - 17j + 18k + 17i + 36j - 44i = - 27i + 19j - 4k

Å andra sidan måste vi:

A - C = (1, 1, - 2) ∙ (- 5, 1, - 4) = (1) (- 5) + (1) (1) + (- 2) (- 4) = - 5 + 1 + 8 = 4

A ∙ B = (1, 1, - 2) ∙ (- 3, 4, 2) = (1) (- 3) + (1) (4) + (- 2) (2) = - 3 + 4 - 4 = - 3

Därför måste vi:

(A ^ C) B - (A ^ B) C = 4 (- 3, 4, 2) + 3 (- 5, 1, - 4) = (- 12, 16, 8) + (- 15, 3, - 12) = (- 27,19, –4)

Fastighet 6

Det är en av de geometriska egenskaperna hos vektorer. Om A och B är två vektorer i R ³ och Θ är den vinkel som bildas mellan dem, då:

--AxB-- = --A ---- B - sin (ϴ), där - ∙ - anger modulens eller storleken för en vektor.

Den geometriska tolkningen av denna egenskap är följande:

Låt A = PR och B = PQ. Så den vinkel som bildas av vektorerna A och B är vinkeln P för triangeln RQP, som visas i följande figur.

Därför är området för parallellogrammet som har PR och PQ som intilliggande sidor - A ---- B - sin (ϴ), eftersom vi kan ta --A-- som bas och dess höjd ges av --B - synd (ϴ).

Därför kan vi dra slutsatsen att --XB-- är området för nämnda parallellogram.

Exempel

Med tanke på följande vertikaler på en fyrkantig P (1, –2,3), Q (4, 3, –1), R (2, 2,1) och S (5,7, -3), visar att nämnda fyrkantiga är ett parallellogram och hitta dess område.

För detta bestämmer vi först vektorerna som bestämmer riktningen för sidorna på fyrkantiga sidor. Detta är:

A = PQ = (1 - 4, 3 + 2, - 1 - 3) = (3, 5, - 4)

B = PR = (2 - 1, 2 + 2, 1 - 3) = (1, 4, - 2)

C = RS = (5 - 2, 7 - 2, - 3 - 1) = (3, 5, - 4)

D = QS = (5 - 4, 7 - 3, - 3 + 1) = (1, 4, - 2)

Som vi ser har A och C samma regissörvektor, som vi har att båda är parallella; samma sak händer med B och D. Därför drar vi slutsatsen att PQRS är ett parallellogram.

För att ha området för detta parallellogram beräknar vi BxA:

BxA = (i + 4j - 2k) x (3i + 5j - 4k)

= 5k + 4j - 12k - 16i - 6j + 10i

= - 6i - 2j - 7k.

Därför kommer kvadratområdet att vara:

--BxA-- ² = (- 6) ² + (- 2) ² + (- 7) ² = 36 + 4 + 49 = 89.

Det kan dras slutsatsen att parallellogramområdet kommer att vara kvadratroten av 89.

Fastighet 7

Två vektorer A och B är parallella i R ³ om och endast om AxB = 0

Demonstration

Det är uppenbart att om A eller B är nollvektorn uppfylls det att AxB = 0. Eftersom nollvektorn är parallell med någon annan vektor, är egenskapen giltig.

Om ingen av de två vektorerna är nollvektorn, har vi att deras storlekar skiljer sig från noll; det vill säga både --A-- ≠ 0 och --B-- ≠ 0, så vi kommer att ha --AxB-- = 0 om och bara om synd (ϴ) = 0, och detta händer om och bara om ϴ = π eller ϴ = 0.

Därför kan vi dra slutsatsen AxB = 0 om och bara om ϴ = π eller ϴ = 0, vilket bara händer när båda vektorerna är parallella med varandra.

Fastighet 8

Om A och B är två vektorer i R ³ , då AxB är vinkelrät mot både A och B.

Demonstration

För detta bevis, låt oss komma ihåg att två vektorer är vinkelräta om A ∙ B är lika med noll. Dessutom vet vi att:

A ∙ AxB = AxA ∙ B, men AxA är lika med 0. Därför har vi:

A ∙ AxB = 0 ∙ B = 0.

Med detta kan vi dra slutsatsen att A och AxB är vinkelräta mot varandra. Analogt måste vi:

AxB ∙ B = A ∙ BxB.

Eftersom BxB = 0 har vi:

AxB ∙ B = A ∙ 0 = 0.

Därför är AxB och B vinkelräta mot varandra och med detta demonstreras egenskapen. Detta är mycket användbart för oss, eftersom de tillåter oss att bestämma ekvationen för ett plan.

Exempel 1

Få en ekvation av planet som passerar genom punkterna P (1, 3, 2), Q (3, - 2, 2) och R (2, 1, 3).

Låt A = QR = (2 - 3,1 + 2, 3 - 2) och B = PR = (2 - 1,1 - 3, 3 - 2). Sedan A = - i + 3j + k och B = i - 2j + k. För att hitta planet som bildas av dessa tre punkter räcker det att hitta en vektor som är normal för planet, som är AxB.

AxB = (- i + 3j + k) x (i - 2j + k) = 5i + 2j - k.

Med denna vektor, och tar punkten P (1, 3, 2), kan vi bestämma ekvationen för planet enligt följande:

(5, 2, - 1) ∙ (x - 1, y - 3, z - 2) = 5 (x - 1) + 2 (y - 3) - (z - 2) = 0

Således har vi att ekvationen för planet är 5x + 2y - z - 9 = 0.

Exempel 2

Hitta ekvationen för planet som innehåller punkten P (4, 0, - 2) och som är vinkelrätt mot vart och ett av planen x - y + z = 0 och 2x + y - 4z - 5 = 0.

Att veta att en normal vektor till en plan axel + med + cz + d = 0 är (a, b, c), har vi att (1, -1,1) är en normal vektor av x - y + z = 0 y ( 2,1, - 4) är en normalvektor av 2x + y - 4z - 5 = 0.

Därför måste en normal vektor till det sökta planet vara vinkelrätt mot (1, -1,1) och (2, 1, - 4). Denna vektor är:

(1, -1,1) x (2,1, - 4) = 3i + 6j + 3k.

Sedan har vi att det sökta planet är det som innehåller punkten P (4,0, - 2) och har vektorn (3,6,3) som en normal vektor.

3 (x - 4) + 6 (y - 0) + 3 (z + 2) = 0

x + 2y + z - 2 = 0.

tillämpningar

Beräkning av volym för en parallellpiped

En applikation som har den tredubbla skalära produkten är att kunna beräkna volymen för en parallellpiped vars kanter ges av vektorerna A, B och C, som visas i figuren:

Vi kan härleda denna applikation på följande sätt: som vi sa tidigare, vektorn AxB är en vektor som är normal för planet för A och B. Vi har också att vektorn - (AxB) är en annan vektor som är normal för nämnda plan.

Vi väljer den normala vektorn som bildar den minsta vinkeln med vektor C; Utan förlust av generalitet, låt AxB vara den vektor vars vinkel med C är den minsta.

Vi har att både AxB och C har samma utgångspunkt. Vidare vet vi att området för parallellogrammet som utgör basen för parallellpiped är -AxB--. Därför, om parallellpiped höjd ges av h, måste vi därför att dess volym kommer att vara:

V = --AxB - h.

Å andra sidan, låt oss överväga prickprodukten mellan AxB och C, som kan beskrivas på följande sätt:

Men med trigonometriska egenskaper har vi att h = --C - cos (ϴ), så vi har:

På detta sätt har vi det:

I allmänna termer har vi att volymen för en parallellpiped ges av det absoluta värdet för den tredubbla skalära produkten AxB ∙ C.

Lösta övningar

Övning 1

Med tanke på punkterna P = (5, 4, 5), Q = (4, 10, 6), R = (1, 8, 7) och S = (2, 6, 9), bildar dessa punkter en parallellpiped vars kanter de är PQ, PR och PS. Bestäm volymen för nämnda parallellpiped.

Lösning

Om vi ​​tar:

- A = PQ = (-1, 6, 1)

- B = PR = (-4, 4, 2)

- C = PS = (-3, 2, 2)

Genom att använda den treegenskapsproduktegenskapen har vi:

AxB = (-1, 6, 1) x (-4, 4, 2) = (8, -2, 20).

AxB ^ C = (8, -2, 20) ∙ (-3, 2, 2) = -24 -4 +80 = 52.

Därför har vi att volymen för nämnda parallellpiped är 52.

Övning 2

Bestäm volymen för en parallellpiped vars kanter ges av A = PQ, B = PR och C = PS, där punkterna P, Q, R och S är (1, 3, 4), (3, 5, 3), (2, 1, 6) respektive (2, 2, 5).

Lösning

Först har vi att A = (2, 2, -1), B = (1, -2, 2), C = (1, -1, 1).

Vi beräknar AxB = (2, 2, -1) x (1, -2, 2) = (2, -5, -6).

Sedan beräknar vi AxB ∙ C:

AxB ∙C = (2, -5, -6) ∙ (1, -1, 1) = 2 + 5 - 6 = 1.

Således drar vi slutsatsen att volymen för nämnda parallellpiped är 1 kubik enhet.

referenser

1. Leithold, L. (1992). Beräkningen med analytisk geometri. HARLA, SA
2. Resnick, R., Halliday, D., & Krane, K. (2001). Fysik Vol. 1. Mexiko: Kontinentalt.
3. Saenz, J. (nd). Vector Calculus 1ed. Hypotenusa.
4. Spiegel, MR (2011). Vectorialanalys 2ed. Mc Graw Hill.
5. Zill, DG, & Wright, W. (2011). Beräkning av flera variabler 4ed. Mc Graw Hill.