BETYDANDE PRODUKTER: FÖRKLARING OCH ÖVNINGAR LÖST - MATTE - 2026

De anmärkningsvärda produkterna är algebraiska operationer, där multiplikationer av polynom uttrycks, som inte behöver lösas traditionellt, men med hjälp av vissa regler kan resultaten av samma hittas.

Polynom multipliceras med ja, därför är det möjligt att de har ett stort antal termer och variabler. För att göra processen kortare används de anmärkningsvärda produktreglerna, som möjliggör multiplikation utan att behöva gå termiskt.

Anmärkningsvärda produkter och exempel

Varje anmärkningsvärd produkt är en formel som är resultatet av en faktorisering, som består av polynomier med flera termer, såsom binomialer eller trinomialer, kallad faktorer.

Faktorer är basen i en makt och har en exponent. När faktorerna multipliceras måste exponenterna läggas till.

Det finns flera anmärkningsvärda produktformler, vissa används mer än andra, beroende på polynomierna, och de är följande:

Binomial kvadrat

Det är multiplikationen av en binomial i sig, uttryckt som en kraft, där termerna läggs till eller subtraheras:

till. Kvadratisk summa binomial: det är lika med kvadratet för den första termen, plus två gånger produkten av termerna, plus kvadratet för den andra termen. Det uttrycks på följande sätt:

(a + b) ² = (a + b) _* (a + b).

I följande figur kan du se hur produkten utvecklas enligt ovan nämnda regel. Resultatet kallas trinomet av ett perfekt torg.

Exempel 1

(x + 5) ² = x² + 2 (x * 5) + 5²

(x + 5) ² = x² + 2 (5x) + 25

(x + 5) ² = x² + 10x + 25.

Exempel 2

(4a + 2b) = (4a) ² + 2 (4a _* 2b) + (2b) ²

(4a + 2b) = 8a ² + 2 (8ab) + 4b ²

(4a + 2b) = 8a ² + 16 ab + 4b ² .

b. Binomial i en kvadrat subtraktion: samma regel för binomialen för en summa gäller, endast i detta fall är den andra termen negativ. Dess formel är följande:

(a - b) ² = ²

(a - b) ² = a ² + 2a _* (-b) + (-b) ²

(a - b) ² = a ² - 2ab + b ² .

Exempel 1

(2x - 6) ² = (2x) ² - 2 (2x _* 6) + 6 ²

(2x - 6) ² = 4x ² - 2 (12x) + 36

(2x - 6) ² = 4x ² - 24x + 36.

Produkt av konjugerade binomialer

Två binomialer konjugeras när de andra termerna för var och en har olika tecken, det vill säga den första är positiv och den andra negativ eller vice versa. Det löses genom att kvadratera varje monomial och subtrahera. Dess formel är följande:

(a + b) _* (a - b)

I följande figur utvecklas produkten från två konjugerade binomialer, där det observeras att resultatet är en kvadratskillnad.

Exempel 1

(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a ² + (-6ab) + (6 ab) + (-9b ² )

(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a ² - 9b ² .

Produkt av två binomialer med en gemensam term

Det är en av de mest komplexa och sällan använda anmärkningsvärda produkterna eftersom det är en multiplikation av två binomialer som har en gemensam benämning. I regeln anges följande:

• Kvadratet för den gemensamma termen.
• Plus summan de termer som inte är vanliga och multiplicera dem sedan med den gemensamma termen.
• Plus summan av multiplikationen av termer som inte är vanliga.

Det representeras i formeln: (x + a) _* (x + b) och utvecklas som visas på bilden. Resultatet är en icke-perfekt fyrkantig trinomial.

(x + 6) _* (x + 9) = x ² + (6 + 9) _* x + (6 _* 9)

(x + 6) _* (x + 9) = x ² + 15x + 54.

Det finns en möjlighet att den andra termen (den olika termen) är negativ och dess formel är som följer: (x + a) _* (x - b).

Exempel 2

(7x + 4) _* (7x - 2) = (7x _* 7x) + (4 - 2) _* 7x + (4 _* -2)

(7x + 4) _* (7x - 2) = 49x ² + (2) _* 7x - 8

(7x + 4) _* (7x - 2) = 49x ² + 14x - 8.

Det kan också vara så att båda olika termer är negativa. Dess formel är: (x - a) _* (x - b).

Exempel 3

(3b - 6) _* (3b - 5) = (3b _* 3b) + (-6 - 5) _* (3b) + (-6 _* -5)

(3b - 6) _* (3b - 5) = 9b ² + (-11) _* (3b) + (30)

(3b - 6) _* (3b - 5) = 9b ² - 33b + 30.

Kvadratiskt polynom

I det här fallet finns det mer än två termer och för att utveckla det kvadreras var och en tillsammans med två gånger multiplikationen av en term med en annan; dess formel är: (a + b + c) ² och resultatet av operationen är en kvadratisk trinom.

Exempel 1

(3x + 2y + 4z) ² = (3x) ² + (2y) ² + (4z) ² + 2 (6xy + 12xz + 8yz)

(3x + 2y + 4z) ² = 9x ² + 4y ² + 16Z ² + 12xy + 24xz + 16yz.

Binomial kubad

Det är en anmärkningsvärt komplex produkt. För att utveckla den multipliceras binomialen med sin kvadrat enligt följande:

till. För den binomiala kuben av en summa:

• Kuben för den första termen, plus tredubbla kvadratet för den första termen gånger den andra.
• Plus trippeln av den första terminen, gånger den andra kvadraten.
• Plus den andra termens kub.

(a + b) ³ = (a + b) _* (a + b) ²

(a + b) ³ = (a + b) _* (a ² + 2ab + b ² )

(a + b) ³ = a ³ + 2a ² b + ab ² + ba ² + 2ab ² + b ³

(a + b) ³ = a ³ + 3a ² b + 3ab ² + b ³ .

Exempel 1

(a + 3) ³ = a ³ + 3 (a) ² _* (3) + 3 (a) _* (3) ² + (3) ³

(a + 3) ³ = a ³ + 3 (a) ² _* (3) + 3 (a) _* (9) + 27

(a + 3) ³ = a ³ + 9 a ² + 27a + 27.

b. För den binomiala kuben av en subtraktion:

• Kuben för den första termen, minus tre gånger kvadratet för den första termen gånger den andra.
• Plus trippeln av den första terminen, gånger den andra kvadraten.
• Minus kuben för den andra termen.

(a - b) ³ = (a - b) _* (a - b) ²

(a - b) ³ = (a - b) _* (a ² - 2ab + b ² )

(a - b) ³ = a ³ - 2a ² b + ab ² - ba ² + 2ab ² - b ³

(a - b) ³ = a ³ - 3a ² b + 3ab ² - b ³ .

Exempel 2

(b - 5) ³ = b ³ + 3 (b) ² _* (-5) + 3 (b) _* (-5) ² + (-5) ³

(b - 5) ³ = b ³ + 3 (b) ² _* (-5) + 3 (b) _* (25) -125

(b - 5) ³ = b ³ - 15b ² + 75b - 125.

Kub av en trinomial

Den utvecklas genom att multiplicera den med sin kvadrat. Det är en mycket omfattande anmärkningsvärd produkt eftersom du har 3 termer kuberade, plus tre gånger varje term kvadrat, multiplicerat med vart och ett av termerna, plus sex gånger produkten av de tre termerna. Sett på ett bättre sätt:

(a + b + c) ³ = (a + b + c) _* (a + b + c) ²

(a + b + c) ³ = (a + b + c) _* (a ² + b ² + c ² + 2ab + 2AC + 2BC)

(a + b + c) ³ = a ³ + b ³ + c ³ + 3a ² b + 3ab ² + 3a ² c + 3ac ² + 3b ² c + 3bc ² + 6abc.

Exempel 1

Lösta övningar av anmärkningsvärda produkter

Övning 1

Expandera följande binomialkub: (4x - 6) ³ .

Lösning

Kom ihåg att en binomial kub är lika med den första termen kub, minus tre gånger kvadratet för den första termen gånger den andra; plus trippeln av den första termen, gånger den andra kvadraten, minus den andra termens kub.

(4x - 6) ³ = (4x) ³ - 3 (4x) ² (6) + 3 (4x) _* (6) ² - (6) ²

(4x - 6) ³ = 64x ³ - 3 (16x ² ) (6) + 3 (4x) _* (36) - 36

(4x - 6) ³ = 64x ³ - 288x ² + 432x - 36.

Övning 2

Utveckla följande binomial: (x + 3) (x + 8).

Lösning

Det finns en binomial där det finns en gemensam term, som är x och den andra termen är positiv. För att utveckla det måste du bara kvadratera den gemensamma termen, plus summan av termerna som inte är vanliga (3 och 8) och sedan multiplicera dem med den gemensamma termen, plus summan av multiplikationen av termerna som inte är vanliga.

(x + 3) (x + 8) = x ² + (3 + 8) x + (3 _* 8)

(x + 3) (x + 8) = x ² + 11x + 24.

referenser

1. Angel, AR (2007). Elementär algebra. Pearson Education,.
2. Arthur Goodman, LH (1996). Algebra och trigonometri med analytisk geometri. Pearson Education.
3. Das, S. (nd). Maths Plus 8. Storbritannien: Ratna Sagar.
4. Jerome E. Kaufmann, KL (2011). Elementär och mellanliggande algebra: en kombinerad strategi. Florida: Cengage Learning.
5. Pérez, CD (2010). Pearson Education.