ASSOCIATIV EGENSKAP: TILLÄGG, MULTIPLIKATION, EXEMPEL, ÖVNINGAR - MATTE - 2026

Den associerande egenskapen för tillägg representerar den associativa karaktären för tilläggsoperationen i olika matematiska uppsättningar. I den är tre (eller fler) element i nämnda uppsättningar relaterade, kallad a, b och c, så att det alltid är sant:

a + (b + c) = (a + b) + c

På detta sätt är det garanterat att resultatet, oavsett sättet att gruppera för att utföra operationen, är detsamma.

Figur 1. Vi använder den associerande egenskapen för tillsats många gånger när vi gör aritmetiska och algebraiska operationer. (Ritning: freepik Komposition: F. Zapata)

Men det bör noteras att den associerande egenskapen inte är synonymt med den kommutativa egenskapen. Det vill säga, vi vet att ordningen på tillägg inte förändrar summan eller att ordningen på faktorerna inte förändrar produkten. Så för summan kan det skrivas så här: a + b = b + a.

I den associerande egenskapen är det emellertid annorlunda, eftersom ordningen för elementen som ska läggas till bibehålls och vilka förändringar som är den operation som utförs först. Vilket innebär att lägga till först (b + c) och lägga till ett till detta resultat spelar ingen roll än att börja lägga till en med by till resultatet lägga till c.

Många viktiga operationer som tillägg är associerande, men inte alla. Till exempel, vid subtraktion av verkliga siffror händer det att:

a - (b - c) ≠ (a - b) - c

Om a = 2, b = 3, c = 1, då:

2– (3 - 1) ≠ (2 - 3) - 1

0 ≠ -2

Associativ egendom för multiplikation

Som gjordes för tillägg anger multiplikationens associativa egenskap att:

a ˟ (b ˟ c) = (a ˟ b) ˟ c

När det gäller uppsättningen av verkliga siffror är det lätt att kontrollera att detta alltid är fallet. Till exempel använder vi värdena a = 2, b = 3, c = 1, vi har:

2 _˟ (3 _˟ 1) = (2 _˟ 3) _˟ 1 → 2 _˟ 3 = 6 _˟ 1

6 = 6

Riktiga nummer uppfyller den associerande egenskapen för både tillägg och multiplikation. Å andra sidan, i en annan uppsättning, såsom vektorn, är summan associerande, men korsprodukten eller vektorprodukten är det inte.

Tillämpningar av multiplikationens associativa egenskap

En fördel med verksamheter där den associerande egenskapen uppfylls är att kunna gruppera på det bekvämaste sättet. Detta gör upplösningen mycket enklare.

Anta till exempel att det i ett litet bibliotek finns 3 hyllor med 5 hyllor vardera. I varje hylla finns 8 böcker. Hur många böcker finns det totalt?

Vi kan utföra operationen så här: totala böcker = (3 x 5) x 8 = 15 x 8 = 120 böcker.

Eller så här: 3 x (5 x 8) = 3 x 40 = 120 böcker.

Figur 2. En tillämpning av multiplikationens associativa egenskap är att beräkna antalet böcker på varje hylla. Bild skapad av F. Zapata.

exempel

-I uppsättningar av naturliga, heltal, rationella, verkliga och komplexa siffror uppfylls den associerande egenskapen tillägg och multiplikation.

Bild 3. För verkliga siffror uppfylls den associerande egenskapen för tillägg. Källa: Wikimedia Commons.

-För polynomer tillämpar de också i dessa operationer.

-I fallet med subtraktion, uppdelning och exponentiering, gäller inte den associativa egenskapen för verkliga siffror eller polynomier.

-I fallet med matriser uppfylls den associativa egenskapen för tillägg och multiplikation, även om i det senare fallet är kommutativiteten inte uppfyllt. Detta betyder att med tanke på matriserna A, B och C är det sant att:

(A x B) x C = A x (B x C)

Men … A x B ≠ B x A

Den associativa egenskapen i vektorer

Vektorer bildar en annan uppsättning än verkliga siffror eller komplexa siffror. De operationer som definierats för uppsättningen vektorer är något olika: det finns tillägg, subtraktion och tre typer av produkter.

Summan av vektorer uppfyller den associativa egenskapen, liksom nummer, polynom och matriser. När det gäller skalprodukterna, skala efter vektor och kors som görs mellan vektorer, uppfyller den senare inte den, men den skalära produkten, som är en annan typ av operation mellan vektorer, uppfyller den med hänsyn till följande:

-Produkten av en skalar och en vektor resulterar i en vektor.

-Och när man skalar multiplicerar två vektorer, resulterar en skalär.

Därför, med tanke på vektorerna v , u och w, och dessutom en skalär λ, är det möjligt att skriva:

- Summan av vektorer: v + ( u + w ) = ( v + u) + w

-Scalar produkt: λ ( v • u ) = (λ v ) • u

Det senare är möjligt tack vare det faktum att v • u är en skalär, och λ v är en vektor.

I alla fall:

v × ( u × w ) ≠ ( v × u) × w

Faktorisering av polynom genom gruppering av termer

Denna applikation är mycket intressant, eftersom den associerade egenskapen, som sagt tidigare, hjälper till att lösa vissa problem. Summan av monomialer är associerande och detta kan användas för att tillverka när en uppenbar vanlig faktor inte uppträder vid första anblicken.

Anta till exempel att du blir ombedd att faktor: x ³ + 2 x ² + 3 x +6. Detta polynom har ingen gemensam faktor, men låt oss se vad som händer om det grupperas så här:

Den första parentesen har en gemensam faktor för ax ² :

I det andra är den vanliga faktorn 3:

övningar

- Övning 1

En skolbyggnad har 4 våningar och har vardera 12 klassrum med 30 skrivbord inuti. Hur många skrivbord har skolan totalt?

Lösning

Detta problem löses genom att tillämpa multiplikationens associativa egenskap, låt oss se:

Totalt antal skrivbord = 4 våningar x 12 klassrum / golv x 30 skrivbord / klassrum = (4 x 12) x 30 skrivbord = 48 x 30 = 1440 skrivbord.

Eller om du föredrar: 4 x (12 x 30) = 4 x 360 = 1440 skrivbord

- Övning 2

Med tanke på polynomierna:

A (x) = 5x ³ + 2x ² -7x + 1

B (x) = x ⁴ + 6x ³ -5x

C (x) = -8X ² + 3x -7

Använd den associerande egenskapen för tillägg för att hitta A (x) + B (x) + C (x).

Lösning

Du kan gruppera de två första och lägga till den tredje till resultatet:

A (x) + B (x) = + = x ⁴ + 11x ³ + 2x ² -12x +1

Omedelbart tillsätts polynomet C (x):

+ = X ⁴ + 11x ³ - 6x ² -9x -6

Läsaren kan verifiera att resultatet är identiskt om det löses med alternativet A (x) +.

referenser

1. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
2. Matematik är kul, kommutativa, associerande och distribuerande lagar. Återställd från: mathisfun.com.
3. Math Warehouse. Definition av associerande egendom. Återställs från: mathwarehouse.com.
4. Sciencing. Associativ & kommutativ egendom för tillägg och multiplikation (med exempel). Återställd från: sciencing.com.
5. Wikipedia. Associativ egenskap. Återställd från: en.wikipedia.org.