- egenskaper
- Numerisk algebra
- Demonstration
- Belopp
- Multiplikation
- Särskilda fall i R
- Division
- arkivering
- Logaritm
- exempel
- Summan i N
- Subtrahera i N
- Föreslagna övningar
- referenser
Den lås egenskapen hos algebra är ett fenomen som hänför sig två element av en uppsättning med en operation, där det nödvändiga villkoret är att, efter det att 2 element bearbetas under nämnda operation, resultatet hör också till den ursprungliga uppsättningen.
Om vi till exempel tar de jämna siffrorna som en uppsättning och en summa som en operation, får vi ett lås av den uppsättningen med avseende på summan. Detta beror på att summan av 2 jämna siffror alltid ger ett annat jämnt nummer, vilket således uppfyller låsvillkoret.
Källa: unsplash.com
egenskaper
Det finns många egenskaper som bestämmer algebraiska utrymmen eller kroppar, till exempel strukturer eller ringar. Låsegenskapen är dock en av de mest kända inom grundalgebra.
Inte alla tillämpningar av dessa egenskaper är baserade på numeriska element eller fenomen. Många vardagliga exempel kan arbetas utifrån en ren algebraisk-teoretisk metod.
Ett exempel kan vara medborgarna i ett land som har ett rättsligt förhållande av något slag, till exempel ett kommersiellt partnerskap eller äktenskap bland andra. Efter att denna operation eller ledning har genomförts förblir de medborgare i landet. På detta sätt representerar medborgarskap och förvaltningsverksamhet för två medborgare ett lås.
Numerisk algebra
När det gäller siffror finns det många aspekter som har varit föremål för studier i olika strömmar i matematik och algebra. Ett stort antal axiomer och teorem har framkommit från dessa studier som fungerar som den teoretiska grunden för samtida forskning och arbete.
Om vi arbetar med de numeriska uppsättningarna kan vi skapa en annan giltig definition för låseegenskapen. En uppsättning A sägs vara låset för en annan uppsättning B om A är den minsta uppsättningen som innehåller alla uppsättningar och operationer som B innehåller.
Demonstration
Låssäkerheten tillämpas för element och operationer som finns i uppsättningen med verkliga siffror R.
Låt A och B vara två siffror som tillhör uppsättningen R, stängningen av dessa element definieras för varje operation som finns i R.
Belopp
- Summa: ∀ A ˄ B ∈ R → A + B = C ∈ R
Detta är det algebraiska sättet att säga att för alla A och B som tillhör de verkliga siffrorna, har vi att summan av A plus B är lika med C, som också tillhör de verkliga.
Det är lätt att kontrollera om detta förslag är sant; det räcker med att genomföra summan mellan ett verkligt antal och kontrollera om resultatet också tillhör de verkliga siffrorna.
3 + 2 = 5 ∈ R
-2 + (-7) = -9 ∈ R
-3 + 1/3 = -8/3 ∈ R
5/2 + (-2/3) = 11/6 ∈ R
Det observeras att låsvillkoret är uppfyllt för de verkliga siffrorna och summan. På detta sätt kan man dra slutsatsen: Summan av verkliga siffror är ett algebraiskt lås.
Multiplikation
- Multiplikation: ∀ A ˄ B ∈ R → A. B = C ∈ R
För alla A och B som tillhör realerna har vi att multiplikationen av A med B är lika med C, som också tillhör realerna.
Vid verifiering med samma element i föregående exempel observeras följande resultat.
3 x 2 = 6 ∈ R
-2 x (-7) = 14 'R
-3 x 1/3 = -1 'R
5/2 x (-2/3) = -5/3 ∈ R
Detta är tillräckligt med bevis för att dra slutsatsen att: Multiplikation av reella tal är ett algebraiskt lås.
Denna definition kan utvidgas till att omfatta alla verkliga tal, även om vi hittar vissa undantag.
Källa: pixabay.com
Särskilda fall i R
Division
Det första specialfallet är uppdelning, där följande undantag ses:
∀ A ˄ B ∈ R → A / B ∉ R ↔ B = 0
För alla A och B som tillhör R har vi att A bland B inte tillhör realerna om och bara om B är lika med noll.
Detta fall hänvisar till begränsningen av att inte kunna dela med noll. Eftersom noll tillhör de verkliga siffrorna, följer det så: uppdelningen är inte ett lås på realerna.
arkivering
Det finns också potentieringsoperationer, mer specifikt radikalisering, där undantag presenteras för radikala makter med jämnt index:
För alla A som tillhör realerna, tillhör A: s rot till realerna, om och bara om A tillhör de positiva realerna som är förenade med en uppsättning vars enda element är noll.
På detta sätt betecknas att de jämna rötterna endast gäller positiva realer och det dras slutsatsen att förstärkningen inte är ett lås i R.
Logaritm
På ett homologt sätt kan det ses för den logaritmiska funktionen, som inte är definierad för värden mindre än eller lika med noll. Gör så här för att kontrollera om logaritmen är ett lås med R:
För alla A som tillhör realerna, tillhör A logaritmen till realerna, om och bara om A tillhör de positiva realerna.
Genom att utesluta negativa värden och noll som också tillhör R kan man säga att:
Logaritmen är inte ett lås av de verkliga siffrorna.
exempel
Kontrollera låset för tillägg och subtraktion av de naturliga siffrorna:
Summan i N
Det första är att kontrollera låsvillkoret för olika element i den givna uppsättningen, där om det observeras att vissa element bryter med villkoret kan förekomsten av ett lås automatiskt förnekas.
Den här egenskapen gäller för alla möjliga värden på A och B, vilket kan ses i följande operationer:
1 + 3 = 4 ∈ N
5 + 7 = 12 ∈ N
1000 + 10000 = 11000 ∈ N
Det finns inga naturvärden som bryter låsvillkoret, så det dras slutsatsen:
Summan är ett lås i N.
Subtrahera i N
Naturliga element som kan bryta tillståndet söks; A - B tillhör de infödda.
Att använda det är lätt att hitta par naturliga element som inte uppfyller låsvillkoren. Till exempel:
7 - 10 = -3 'a N
På detta sätt kan vi dra slutsatsen att:
Subtraktion är inte ett lås på uppsättningen av naturliga nummer.
Föreslagna övningar
1-Visa om låseegenskapen är uppfylld för uppsättningen rationella siffror Q, för operationernas tillägg, subtraktion, multiplikation och delning.
2-Förklara om uppsättningen med verkliga siffror är ett lås för uppsättningen heltal.
3-Bestäm vilken numerisk uppsättning som kan vara låset för de verkliga siffrorna.
4-bevisa egenskaperna för låset för uppsättningen av imaginära nummer, med avseende på tillsats, subtraktion, multiplikation och delning.
referenser
- Panorama över ren matematik: Bourbakistens val. Jean Dieudonné. Reverte, 1987.
- Algebraisk talteori. Alejandro J. Díaz Barriga, Ana Irene Ramírez, Francisco Tomás. National Autonomous University of Mexico, 1975.
- Linjär algebra och dess tillämpningar. Sandra Ibeth Ochoa García, Eduardo Gutiérrez González.
- Algebraiska strukturer V: kroppsteori. Hector A. Merklen. Organisation av amerikanska stater, generalsekretariatet, 1979.
- Introduktion till kommutativ algebra. Michael Francis Atiyah, IG MacDonald. Reverte, 1973.