EGENSKAPER FÖR JÄMLIKHET - MATTE - 2026

De egenskaper jämställdhet avser förhållandet mellan två matematiska objekt, vare sig de är siffror eller variabler. Den betecknas med symbolen "=", som alltid går mellan dessa två objekt. Detta uttryck används för att fastställa att två matematiska objekt representerar samma objekt; med andra ord, att två objekt är samma sak.

Det finns fall där det är trivialt att använda jämlikhet. Till exempel är det tydligt att 2 = 2. Men när det gäller variabler är det inte längre trivialt och har specifika användningsområden. Om vi ​​till exempel har det y = x och å andra sidan x = 7, kan vi dra slutsatsen att y = 7 också.

Exemplet ovan är baserat på en av egenskaperna för jämlikhet, som du kommer att se inom kort. Dessa egenskaper är viktiga för att lösa ekvationer (jämlikheter som involverar variabler), som utgör en mycket viktig del av matematiken.

Vilka är egenskaperna för jämlikhet?

Reflekterande egendom

Den reflexiva egenskapen, i fallet med jämlikhet, säger att alla siffror är lika med sig själv och uttrycks som b = b för varje reellt tal b.

I det specifika fallet med jämlikhet verkar denna egenskap vara uppenbar, men i andra typer av förhållanden mellan siffror är det inte. Med andra ord, inte alla relationer med verkligt antal uppfyller den här egenskapen. Till exempel ett sådant fall av förhållandet "mindre än" (<); inget nummer är mindre än sig själv.

Symmetrisk egenskap

Den symmetriska egenskapen för jämlikhet säger att om a = b, då b = a. Oavsett vilken ordning som används i variablerna kommer den att bevaras av jämställdhetsrelationen.

En viss analogi av den här egenskapen med den kommutativa egenskapen kan observeras vid tillägg. På grund av den här egenskapen motsvarar det till exempel y = 4 eller 4 = y.

Övergående egendom

Den övergående egenskapen om jämlikhet säger att om a = b och b = c, då a = c. Till exempel 2 + 7 = 9 och 9 = 6 + 3; därför har vi den transitiva egenskapen att 2 + 7 = 6 + 3.

En enkel applikation är följande: anta att Julian är 14 år och att Mario är i samma ålder som Rosa. Om Rosa är på samma ålder som Julián, hur gammal är Mario?

Bakom detta scenario används den transitiva egenskapen två gånger. Matematiskt tolkas det på följande sätt: låt "a" vara Mario's ålder, "b" Rosa ålder och "c" Julians ålder. Det är känt att b = c och att c = 14.

Genom den transitiva egenskapen har vi att b = 14; det vill säga Rosa är 14 år gammal. Eftersom a = b och b = 14, använder vi den transitiva egenskapen igen har vi att a = 14; det vill säga, Marios ålder är också 14 år gammal.

Ensartad egendom

Den enhetliga egenskapen är att om båda sidor av en jämställdhet läggs till eller multipliceras med samma belopp, bevaras jämställdheten. Till exempel, om 2 = 2, då 2 + 3 = 2 + 3, vilket är klart, eftersom 5 = 5. Den här egenskapen är mest användbar när du försöker lösa en ekvation.

Anta till exempel att du blir ombedd att lösa ekvationen x-2 = 1. Det är bekvämt att komma ihåg att lösa en ekvation består av att exakt bestämma den involverade variabeln (eller variabler), baserat på ett specifikt nummer eller en tidigare specificerad variabel.

När du går tillbaka till ekvationen x-2 = 1, vad du måste göra är att hitta exakt hur mycket x är värt. För att göra detta måste variabeln rensas.

Det har felaktigt lärt sig att i detta fall, eftersom nummer 2 är negativt, övergår det till den andra sidan av jämlikheten med ett positivt tecken. Men det är inte korrekt att säga det så.

I grund och botten, vad du gör är att använda den enhetliga egenskapen, som vi kommer att se nedan. Tanken är att rensa "x"; det vill säga, lämna den ensam på en sida av ekvationen. I överensstämmelse lämnas det vanligtvis på vänster sida.

För detta ändamål är antalet att "eliminera" -2. Sättet att göra det skulle vara genom att lägga till 2, eftersom -2 + 2 = 0 och x + 0 = 0. För att göra detta utan att förändra jämställdheten måste samma operation tillämpas på andra sidan.

Detta gör att vi kan förverkliga den enhetliga egenskapen: eftersom x-2 = 1, om antalet 2 läggs till på båda sidor av jämlikheten, säger enhetens egenskap att det inte ändras. Sedan har vi den x-2 + 2 = 1 + 2, vilket motsvarar att säga att x = 3. Med detta skulle ekvationen lösas.

På samma sätt, om du vill lösa ekvationen (1/5) y-1 = 9, kan du fortsätta använda den enhetliga egenskapen enligt följande:

Mer generellt kan följande uttalanden göras:

- Om ab = cb, då a = c.

- Om xb = y, är x = y + b.

- Om (1 / a) z = b, är z = a ×

- Om (1 / c) a = (1 / c) b, då a = b.

Avbokningsfastighet

Avbokningsegenskapen är ett speciellt fall av den enhetliga egenskapen, särskilt med tanke på fallet med subtraktion och delning (som i princip motsvarar tillägg och multiplikation). Den här egenskapen behandlar detta fall separat.

Till exempel, om 7 + 2 = 9, då 7 = 9-2. Eller om 2y = 6, då y = 3 (dela med två på båda sidor).

Analogt med föregående fall kan följande uttalanden fastställas genom avbokningsegenskapen:

- Om a + b = c + b, då a = c.

- Om x + b = y, är x = yb.

- Om az = b, är z = b / a.

- Om ca = cb, då a = b.

Ersättningsegendom

Om vi ​​känner till värdet på ett matematiskt objekt anger substitutionsegenskapen att detta värde kan ersättas i någon ekvation eller uttryck. Till exempel, om b = 5 och a = bx, då att ersätta värdet "b" i den andra jämlikheten har vi att a = 5x.

Ett annat exempel är följande: om "m" delar "n" och "n" delar "m", måste vi ha den m = n.

Att säga att "m" delar "n" (eller motsvarande, att "m" är en delare av "n") betyder verkligen att uppdelningen m ÷ n är exakt; det vill säga att dela "m" med "n" ger ett helt tal, inte en decimal. Detta kan uttryckas genom att säga att det finns ett heltal "k" så att m = k × n.

Eftersom "n" också delar upp "m", finns det ett heltal "p" så att n = p × m. På grund av substitutionsegenskapen har vi den n = p × k × n, och för att detta ska hända finns det två möjligheter: n = 0, i vilket fall skulle vi ha identiteten 0 = 0; op × k = 1, därav identiteten n = n.

Anta att "n" inte är noll. Då nödvändigtvis p × k = 1; därför p = 1 och k = 1. Genom att använda substitutionsegenskapen igen, genom att ersätta k = 1 i jämlikheten m = k × n (eller på motsvarande sätt, p = 1 i n = p × m), får vi äntligen den m = n, vilket var vad vi ville bevisa.

Kraftegendom i en jämlikhet

Precis som tidigare sågs att om en operation som tillägg, multiplikation, subtraktion eller delning utförs i båda termerna av en jämlikhet, bevaras den, på samma sätt som andra operationer som inte förändrar en jämlikhet kan tillämpas.

Nyckeln är att alltid utföra den på båda sidor om jämställdheten och se till att operationen kan utföras i förväg. Detta är fallet med empowerment; det vill säga om båda sidor av en ekvation höjs till samma kraft, har vi fortfarande en jämlikhet.

Till exempel, eftersom 3 = 3, så 3 ² = 3 ² (9 = 9). I allmänhet, med ett heltal "n", om x = y, är x ⁿ = y ⁿ .

Rotegendom i en jämlikhet

Detta är ett speciellt fall av empowerment och tillämpas när kraften är ett icke heltal rationellt antal, till exempel ½, som representerar kvadratroten. Denna egenskap anger att om samma rot tillämpas på båda sidor om en jämställdhet (när det är möjligt), bevaras jämställdheten.

Till skillnad från det föregående fallet, måste du här vara försiktig med partern på roten som ska tillämpas, eftersom det är välkänt att den jämna roten till ett negativt nummer inte är väl definierad.

Om radikalen är jämn, finns det inga problem. Om x ³ = -8 till exempel, även om det är en jämlikhet, kan du till exempel inte tillämpa en kvadratrot på båda sidor. Men om du kan tillämpa en kubrot (som är ännu bekvämare om du uttryckligen vill veta värdet på x), får du därmed x = -2.

referenser

1. Aylwin, CU (2011). Logik, uppsättningar och siffror. Mérida - Venezuela: Publications Council, Universidad de Los Andes.
2. Jiménez, J., Rofríguez, M., & Estrada, R. (2005). Matematik 1 SEP. Tröskel.
3. Lira, ML (1994). Simon och matematik: matematiktext för andra klass: studentbok. Andres Bello.
4. Preciado, CT (2005). Matematikskurs 3: e. Redaktörsprogreso.
5. Segovia, BR (2012). Matematiska aktiviteter och spel med Miguel och Lucía. Baldomero Rubio Segovia.
6. Toral, C., & Preciado, M. (1985). 2: a matematikkursen. Redaktörsprogreso.