SAMMANSATT PROPORTIONALITET: FÖRKLARING, SAMMANSATT REGEL OM TRE, ÖVNINGAR - MATTE - 2025

Den sammansatta eller multipla proportionaliteten är förhållandet mellan över två storlekar, som kan observeras direkt och omvänd proportionalitet mellan data och det okända. Detta är en mer avancerad version av enkel proportionalitet, även om teknikerna som används i båda procedurerna är likartade.

Till exempel, om 7 personer behövs för att lossa 10 ton varor på 3 timmar, kan sammansatt proportionalitet användas för att beräkna hur många människor det kommer att ta för att lossa 15 ton på 4 timmar.

Källa: pixabay.com

För att besvara denna fråga är det bekvämt att göra en tabell över värden för att studera och relatera storleken och okända.

Vi fortsätter med att analysera typerna av förhållanden mellan varje storlek och det nuvarande okända, vilket för detta fall motsvarar antalet personer som kommer att arbeta.

När varornas vikt ökar, ökar också antalet personer som behövs för att lossa det. På grund av detta är förhållandet mellan vikt och arbetare direkt.

Å andra sidan, när antalet arbetare ökar, minskar arbetstiden. På grund av detta är förhållandet mellan människor och arbetstid av omvänd typ.

Hur man beräknar sammansatta proportioner

För att lösa exempel som ovan, används föreningsregeln för tre metoder mest. Detta består av att fastställa vilka typer av förhållanden mellan kvantiteter och okända och sedan representera en produkt mellan fraktioner.

Med avseende på det initiala exemplet är de fraktioner som motsvarar värdetabellen organiserade enligt följande:

Men innan lösningen och lösningen av det okända måste fraktionerna som motsvarar det omvända förhållandet inverteras. Vilket för detta fall motsvarar den variabla tiden. På detta sätt kommer åtgärden att lösa vara:

Vars enda skillnad är inversionen av fraktionen motsvarande tidsvariabeln 4/3. Vi fortsätter att driva och rensa värdet på x.

Därför behövs mer än elva personer för att kunna lossa 15 ton varor på fyra timmar eller mindre.

Förklaring

Proportionalitet är det ständiga förhållandet mellan kvantiteter som kan förändras, vilket kommer att vara symmetriskt för var och en av de involverade kvantiteterna. Det finns direkta och omvänt proportionella förhållanden, vilket definierar parametrarna för enkel eller sammansatt proportionalitet.

Direkt regel om tre

Det består av ett proportionellt förhållande mellan variabler, som visar samma beteende vid modifiering. Det är mycket ofta i beräkningen av procenttal som hänför sig till andra storlekar än hundra, där dess grundläggande struktur uppskattas.

Som ett exempel kan 15% av 63 beräknas. Vid första anblicken kan denna procentsats inte lätt uppskattas. Men genom att genomföra regeln om tre kan följande förhållande göras: om 100% är 63, då 15%, hur mycket kommer det att vara?

100% ---- 63

15% ---– X

Och motsvarande operation är:

(15%, 63) / 100% = 9,45

När procenttecknen förenklas och siffran 9.45 erhålls, vilket motsvarar 15% av 63.

Omvänd regel av tre

Som namnet indikerar, i detta fall är förhållandet mellan variablerna det motsatta. Det omvända förhållandet måste upprättas innan du går vidare till beräkningen. Förfarandet är homologt med det med den direkta regeln om tre, med undantag för investeringen i den bråk som ska beräknas.

Till exempel behöver tre målare 5 timmar för att avsluta en vägg. På hur många timmar skulle fyra målare avsluta det?

I det här fallet är förhållandet omvänt, eftersom antalet målare ökar bör arbetstiden minska. Förhållandet är etablerat;

3 målare - 5 timmar

4 målare - X timmar

När förhållandet omvänds, omvändes ordningen för operationen. Detta är rätt sätt;

(3 målare). (5 timmar) / 4 målare = 3,75 timmar

Termen målare förenklas och resultatet är 3,75 timmar.

Tillstånd

För att vara i närvaro av en förening eller multipel proportionalitet, är det nödvändigt att hitta båda typerna av förhållande mellan storlekar och variabler.

- Direkt: Variabeln har samma beteende som det okända. Det vill säga när den ena ökar eller minskar, den andra ändras lika.

- Inverse: Variabeln har ett antonymbeteende mot det okända. Fraktionen som definierar nämnda variabel i värdetabellen måste inverteras för att representera det omvänt proportionella förhållandet mellan variabel och okänd.

Verifiering av resultat

Det är mycket vanligt att förväxla ordningen på kvantiteter när man arbetar med sammansatta proportioner, till skillnad från vad som händer i de vanliga proportionella beräkningarna, vars karaktär mestadels är direkt och lösbar med hjälp av en enkel regel om tre.

Av detta skäl är det viktigt att undersöka resultatens logiska ordning och verifiera sammanhanget i figurerna som produceras av sammansatt regel av tre.

I det första exemplet skulle ett misstag resultera i 20 som resultat. Det vill säga 20 personer som lossar 15 ton varor på fyra timmar.

Vid första anblicken verkar det inte som ett galet resultat, men det är nyfiken på en ökning med nästan 200% i personal (från 7 till 20 personer) när ökningen av varor är 50%, och även med en större marginal för tid att genomföra arbetet.

Således representerar den logiska verifieringen av resultaten ett viktigt steg för att implementera sammansatt regel av tre.

Undanröjning

Även om det är mer grundläggande med avseende på matematisk träning, representerar godkännandet ett viktigt steg i fall av proportionalitet. En felaktig godkännande räcker för att ogiltiggöra alla resultat som erhållits i den enkla eller sammansatta regeln om tre.

Historia

Regeln om tre blev känd i väst genom araberna, med publikationer av olika författare. Bland dem Al-Jwarizmi och Al-Biruni.

Al-Biruni hade, tack vare sin multikulturella kunskap, tillgång till enorm information om denna praxis under sina resor till Indien och var ansvarig för den mest omfattande dokumentationen om regeln om tre.

Han konstaterar i sin forskning att Indien var det första stället där användningen av regeln om tre blev vanlig. Författaren försäkrar att det genomfördes på ett flytande sätt i dess direkta, omvända och till och med sammansatta versioner.

Det exakta datumet när regeln om tre blev en del av den matematiska kunskapen i Indien är fortfarande okänt. Det äldsta dokumentet som behandlade denna praxis, Bakhshali-manuskriptet, upptäcktes dock 1881. Det finns för närvarande i Oxford.

Många historiker av matematik hävdar att detta manuskript är från början av den nuvarande eran.

Lösta övningar

Övning 1

Ett flygbolag måste transportera 1 535 personer. Det är känt att med tre flygplan skulle det ta 12 dagar att få den sista passageraren till destinationen. 450 fler personer har anlänt till flygbolaget och två flygplan beordras att repareras för att hjälpa till med denna uppgift. Hur många dagar kommer det att ta flygbolaget att överföra varje sista passagerare till sin destination?

Förhållandet mellan antalet personer och arbetsdagar är direkt, eftersom ju större antalet människor, desto fler dagar kommer det att ta att utföra detta arbete.

Å andra sidan är förhållandet mellan flygplan och dagar omvänt proportionellt. När antalet flygplan ökar minskar de dagar som behövs för att transportera alla passagerare.

Tabellen över värden som hänvisar till detta fall är gjord.

Såsom beskrivs i det första exemplet måste telleren och nämnaren inverteras i den bråk som motsvarar den omvända variabeln med avseende på det okända. Åtgärden är som följer:

X = 71460/7675 = 9,31 dagar

För att överföra 1985 personer med 5 flygplan tar det mer än 9 dagar.

Övning 2

En 25-ton majsskörd tas till lastbilarna. Det är känt att det föregående år tog dem 8 timmar med en lön på 150 arbetare. Om lönen för i år ökade med 35%, hur lång tid kommer det att ta dem att fylla lastbilarna med en 40 ton skörd?

Innan värdetabellen representeras måste antalet arbetare för detta år definieras. Detta ökade med 35% från det ursprungliga antalet 150 arbetare. En direkt regel om tre används för detta.

100% ---- 150

35% ---– X

X = (35 100) / 100 = 52,5. Detta är antalet ytterligare arbetare med avseende på föregående år, som får ett totalt antal arbetare på 203, efter avrundning av det erhållna beloppet.

Vi fortsätter med att definiera motsvarande datatabell

För detta fall representerar vikten en variabel som är direkt relaterad till den okända tiden. Å andra sidan har arbetarvariabeln en omvänd relation till tiden. Ju större antal arbetare, desto kortare arbetsdag.

Med hänsyn till dessa överväganden och invertera den bråk som motsvarar arbetarnas variabel fortsätter vi att beräkna.

X = 40600/6000 = 6,76 timmar

Resan tar knappt sju timmar.

Föreslagna övningar

- Definiera 73% av 2875.

- Beräkna antalet timmar som Teresa sover, om det är känt att hon bara sover 7% av det totala för dagen. Definiera hur många timmar du sover i veckan.

- En tidning publicerar 2000 exemplar var 5: e timme och använder endast två tryckmaskiner. Hur många exemplar kommer han att producera på en timme om han använder sju maskiner? Hur lång tid tar det att producera 10 000 exemplar med fyra maskiner?

referenser

1. Encyclopedia Alvarez-initiation. A. Álvarez, Antonio Álvarez Pérez. EDAF, 2001.
2. Komplett manual för grundläggande och högre primärinstruktioner: för användning av blivande lärare och speciellt elever i provinsens normala skolor, bind 1. Joaquín Avendaño. Tryckning av D. Dionisio Hidalgo, 1844.
3. Rationell tillnärmning av verkliga funktioner. PP Petrushev, Vasil Atanasov Popov. Cambridge University Press, 3 mar. 2011.
4. Elementär aritmetik för undervisning i skolor och högskolor i Centralamerika. Darío González. Dricks. Arenales, 1926.
5. Studien av matematik: om studier och svårigheter i matematik. Augustus De Morgan. Baldwin och Cradock, 1830.