COPLANAR-POÄNG: EKVATION, EXEMPEL OCH LÖSTA ÖVNINGAR - MATTE - 2026

De i samma plan pekar alla hör till samma plan. Två punkter är alltid koplanära, eftersom dessa punkter definierar en linje genom vilken oändliga plan passerar. Då hör båda punkterna till var och en av planen som passerar genom linjen och därför kommer de alltid att vara planlanära.

Å andra sidan definierar tre punkter ett enda plan, från vilket det följer att tre punkter alltid kommer att vara planlanära till det plan de bestämmer.

Figur 1. A, B, C och D är planlanära till (Ω) planet. E, F och G är inte koplanära till (Ω) men de är planlanära till planet som de definierar. Källa: F. Zapata.

Mer än tre punkter kan vara planlösa eller inte. Till exempel i figur 1 är punkterna A, B, C och D i samma plan som planet (Ω). Men E, F och G är inte koplanära till (Ω), även om de är planlanära till planet som de definierar.

Ekvation av ett plan med tre poäng

Ekvationen för ett plan bestämt av tre kända punkter A, B, C är en matematisk relation som garanterar att varje punkt P med generiska koordinater (x, y, z) som uppfyller ekvationen tillhör nämnda plan.

Det föregående uttalandet är likvärdigt med att säga att om P för koordinater (x, y, z) uppfyller ekvationen för planet, så kommer nämnda punkt att vara i planplan med de tre punkterna A, B, C som bestämde planet.

För att hitta ekvationen för detta plan, låt oss börja med att hitta vektorerna AB och AC :

AB =

AC =

Vektorprodukten AB X AC resulterar i en vektor vinkelrätt eller normal mot planet bestämt av punkterna A, B, C.

Alla punkter P med koordinater (x, y, z) hör till planet om vektorn AP är vinkelrätt mot vektorn AB X AC , vilket garanteras om:

AP • (AB X AC) = 0

Detta motsvarar att säga att trippelprodukten från AP , AB och AC är noll. Ovanstående ekvation kan skrivas i matrisform:

Exempel

Låt punkterna A (0, 1, 2); B (1, 2, 3); C (7, 2, 1) och D (a, 0, 1). Vilket värde måste en ha för att de fyra punkterna ska vara planplanära?

Lösning

För att hitta värdet på a måste punkt D vara en del av planet bestämt av A, B och C, vilket garanteras om det uppfyller nivån i ekvationen.

Utveckla den determinanten vi har:

Den föregående ekvationen säger att a = -1 för att jämställdheten ska uppfyllas. Med andra ord, det enda sättet att punkt D (a, 0,1) är planplan med punkterna A, B och C är för a att vara -1. Annars kommer det inte att vara planlängt.

Lösta övningar

- Övning 1

Ett plan korsar de kartesiska axlarna X, Y, Z vid 1, 2 respektive 3. Korsningen mellan detta plan och axlarna bestämmer punkterna A, B och C. Hitta komponenten Dz för en punkt D, vars kartesiska komponenter är:

Förutsatt att D är planlanerat med punkterna A, B och C.

Lösning

När avskärmningen av ett plan med de kartesiska axlarna är känd, kan den segmentala formen för planetens ekvation användas:

x / 1 + y / 2 + z / 3 = 1

Eftersom punkt D måste tillhöra det föregående planet måste det:

-Dz / 1 + (Dz + 1) / 2 + Dz / 3 = 1

Det vill säga:

-Dz + Dz / 2 + ½ + Dz / 3 = 1

Dz (-1 + ½ + ⅓) = ½

Dz (-1 / 6⅙) = ½

Dz = -3

Av ovanstående följer att punkt D (3, -2, -3) är planplan med punkterna A (1, 0, 0); B (0, 2, 0) och C (0, 0, 3).

- Övning 2

Bestäm om punkterna A (0, 5, 3); B (0, 6, 4); C (2, 4, 2) och D (2, 3, 1) är planlanära.

Lösning

Vi bildar matrisen vars rader är koordinaterna för DA, BA och CA. Därefter beräknas determinanten och det verifieras om den är noll eller inte.

Efter att alla beräkningar har genomförts dras slutsatsen att de är planlanerade.

- Övning 3

Det finns två rader i rymden. En av dem är linjen (R) vars parametriska ekvation är:

Och den andra är linjen (S) vars ekvation är:

Visa att (R) och (S) är koplanära linjer, det vill säga de ligger i samma plan.

Lösning

Låt oss börja med att godtyckligt ta två punkter på linjen (R) och två på linjen (S):

Linje (R): X = 0; A (1, 1, 1) och X = 1; B (3, 0, 1)

Låt x = 0 på linjen (S) => y = ½; C (0, ½, -1). Och å andra sidan, om vi gör y = 0 => x = 1; D (1, 0, -1).

Det vill säga vi har tagit punkterna A och B som hör till linjen (R) och punkterna C och D som tillhör linjen (S). Om dessa punkter är samplanära, kommer de två linjerna också att vara.

Nu väljer vi punkt A som pivot och sedan hittar vi koordinaterna för vektorerna AB , AC och AD. På detta sätt får du:

B - A: (3-1, 0 -1, 1 - 1) => AB = (2, -1, 0)

C - A: (0-1, 1/2 -1, -1 - 1) => AC = (-1, -1/2, -2)

D - A: (1-1, 0 -1, -1 - 1) => AD = (0, -1, -2)

Nästa steg är att konstruera och beräkna determinanten vars första rad är koefficienterna för vektorn AB , den andra raden är de för AC och den tredje raden de för vektorn AD :

Eftersom determinanten visar sig vara noll kan vi dra slutsatsen att de fyra punkterna är samplanära. Dessutom kan det anges att linjerna (R) och (S) också är planlanära.

- Övning 4

Raderna (R) och (S) är planlanära, vilket visas i övning 3. Hitta ekvationen för planet som innehåller dem.

Lösning

Punkterna A, B, C definierar det planet helt, men vi vill införa att någon punkt X av koordinater (x, y, z) tillhör det.

För att X ska tillhöra det plan som definieras av A, B, C och i vilket linjerna (R) och (S) finns, är det nödvändigt att determinanten som bildas i sin första rad av komponenterna i AX , i den andra raden av de av AB och i det tredje av AC :

Efter detta resultat grupperar vi på detta sätt:

2 (x-1) + 4 (y-1) -2 (z-1) = 0

Och omedelbart ser du att det kan skrivas om så här:

x - 1 + 2y - 2 - z + 1 = 0

Därför är x + 2y - z = 2 ekvationen för planet som innehåller linjerna (R) och (S).

referenser

1. Fleming, W. 1989. Precalculus Mathematics. Prentice Hall PTR.
2. Kolman, B. 2006. Linear Algebra. Pearson Education.
3. Leal, JM 2005. Flat Analytical Geometry. Mérida - Venezuela: Redaktion Venezolana CA
4. Navarro, Rocio. Vektorer. Återställs från: books.google.co.ve.
5. Pérez, CD 2006. Förberäkning. Pearson Education.
6. Prenowitz, W. 2012. Grundläggande begrepp för geometri. Rowman & Littlefield.
7. Sullivan, M. 1997. Precalculus. Pearson Education.