VAD ÄR KOPLANÄRA VEKTORER? (MED LÖSTA ÖVNINGAR) - FYSISK - 2025

De i samma plan liggande vektorer eller i samma plan är de som är inneslutna i samma plan. När det bara finns två vektorer är dessa alltid planlanära, eftersom det finns oändliga plan, är det alltid möjligt att välja en som innehåller dem.

Om du har tre eller flera vektorer, kan det vara så att vissa av dem inte är i samma plan som de andra, därför kan de inte betraktas som planplan. Följande figur visar en uppsättning av koplanära vektorer betecknade med fetstil A , B , C och D :

Figur 1. Fyra samplansvektorer. Källa: självgjord.

Vektorer är relaterade till beteende och egenskaper hos fysiska mängder som är relevanta för vetenskap och teknik; till exempel hastighet, acceleration och kraft.

En kraft ger olika effekter på ett objekt när sättet det appliceras varieras, till exempel genom att ändra intensitet, riktning och riktning. Även om du bara ändrar en av dessa parametrar är resultaten betydligt olika.

I många tillämpningar, både i statistik och dynamik, är krafterna som verkar på en kropp på samma plan, därför anses de vara planlösa.

Villkor för att vektorerna ska vara planplanerade

För att tre vektorer ska vara planplanerade måste de ligga på samma plan och detta händer om de uppfyller något av följande villkor:

-Vektorer är parallella, därför är deras komponenter proportionella och linjärt beroende.

-Din blandade produkt är noll.

-Om du har tre vektorer och någon av dem kan skrivas som en linjär kombination av de andra två är dessa vektorer planlanära. Till exempel, en vektor som är resultatet av summan av två andra, de tre är alla i samma plan.

Alternativt kan koplanaritetsvillkoret ställas in enligt följande:

Blandad produkt mellan tre vektorer

Den blandade produkten mellan vektorer definieras med tre vektorer u , v och w, vilket resulterar i en skala som resulterar från att utföra följande operation:

u · ( v x w ) = u · (v x w )

Först utförs korsprodukten som är inom parentes: v x w , vars resultat är en normal vektor (vinkelrätt) mot planet där både v och w ligger .

Om u är på samma plan som v och w , måste naturligtvis skalprodukten (punktprodukt) mellan u och den nämnda normala vektorn vara 0. På detta sätt verifieras det att de tre vektorerna är planlanära (de ligger på samma plan).

När den blandade produkten inte är noll, är dess resultat lika med volymen för parallellpiped som har vektorerna u , v och w som intilliggande sidor.

tillämpningar

Coplanar, samtidiga och icke-kollinära krafter

Samtidiga krafter appliceras alla på samma punkt. Om de också är planlanerade kan de ersättas med en enda, som kallas den resulterande kraften och har samma effekt som de ursprungliga krafterna.

Om en kropp är i jämvikt tack vare tre coplanära, samtidiga och icke-kollinära (inte parallella) krafter, kallad A , B och C, indikerar Lamys teorem att förhållandet mellan dessa krafter (magnitud) är som följer:

A / sin a = B / sin p = C / sin y

Med α, β och γ som motsatta vinklar mot de applicerade krafterna, som visas i följande figur:

Figur 2. Tre coplanära krafter A, B och C verkar på ett objekt. Källa: Kiwakwok på engelska Wikipedia

Lösta övningar

-Övning 1

Hitta värdet på k så att följande vektorer är i planplan:

u = <-3, k, 2>

v = <4, 1, 0>

w = <-1, 2, -1>

Lösning

Eftersom vi har komponenterna i vektorerna används kriteriet för den blandade produkten, därför:

u ( v x w ) = 0

Lös v x w först . Vektorerna kommer att uttryckas i termer av enhetsvektorerna i , j och k som skiljer de tre vinkelräta riktningarna i rymden (bredd, höjd och djup):

v = 4 i + j + 0 k

w = -1 i + 2 j -1 k

v x w = -4 (ixi) + 8 (ixj) - 4 (ixk) - (jxi) + 2 (jxj) - 2 (jxk) = 8 k + 4 j + k -2 i = -2 i + 4 j + 9 k

Nu överväger vi skalprodukten mellan u och vektorn som har resulterat från den föregående operationen och ställer in operationen lika med 0:

u ( v x w ) = (-3 i + k j + 2 k ) · (-2 i + 4 j + 9 k ) = 6 + 4 k +18 = 0

24 + 4k = 0

Det sökta värdet är: k = - 6

Så vektorn u är:

u = <-3, -6, 2>

-Övning 2

Figuren visar ett föremål vars vikt är W = 600 N, hängande i jämvikt tack vare kablarna placerade i vinklarna i figur 3. Är det möjligt att tillämpa Lamys teorem i denna situation? I varje fall, finna storlekarna hos T ₁ , T _2, och T ₃ som gör jämvikts möjligt.

Figur 3. En vikt hänger i jämvikt under verkan av de tre spänningarna som visas. Källa: självgjord.

Lösning

Lamys teorem är tillämpligt i den här situationen om den nod på vilken de tre spänningarna tillämpas beaktas, eftersom de utgör ett system av samplankrafter. Först görs frikroppsdiagrammet för hängningsvikten för att bestämma storleken på T _3:

Bild 4. Diagram med fri kropp för hängande vikt. Källa: självgjord.

Av jämviktsvillkoret följer det att:

Vinklarna mellan krafterna är markerade med rött i följande figur, det kan lätt verifieras att summan är 360º. Nu är det möjligt att tillämpa Lamys teorem, eftersom en av krafterna och de tre vinklarna mellan dem är kända:

Bild 5.- Rött vinklar för att tillämpa Lamys teorem. Källa: självgjord.

T ₁ / sin 127º = W / sin 106º

Därför: T ₁ = sin 127º (W / sin 106º) = 498,5 N

Återigen tillämpas Lamys teorem för att lösa för T ₂ :

T ₂ / sin 127 = T ₁ / sin 127º

T ₂ = T ₁ = 498,5 N

referenser

1. Figueroa, D. Series: Physics for Sciences and Engineering. Volym 1. Kinematik. 31-68.
2. Fysisk. Modul 8: vektorer. Återställd från: frtl.utn.edu.ar
3. Hibbeler, R. 2006. Mechanics for Engineers. Statisk 6: e upplagan. Continental Publishing Company 28-66.
4. McLean, W. Schaum-serien. Mekanik för ingenjörer: Statik och dynamik. 3: e upplagan. McGraw Hill. 1-15.
5. Wikipedia. Vektor. Återställd från: es.wikipedia.org.