ALGEBRAISKT RESONEMANG (MED LÖSTA ÖVNINGAR) - MATTE - 2026

Det algebraiska resonemanget består i huvudsak matematiska argument kommunicerar genom ett speciellt språk, vilket gör det mer rigorösa och allmänna variabler med hjälp av definierade algebraiska operationer och varandra. Ett kännetecken för matematiken är den logiska strikthet och abstrakta tendens som används i dess argument.

Detta kräver att du vet rätt "grammatik" för att använda i detta skrift. Vidare undviker algebraiskt resonemang tvetydigheter i motiveringen av ett matematiskt argument, vilket är viktigt för att bevisa alla resultat i matematik.

Algebraiska variabler

En algebraisk variabel är helt enkelt en variabel (en bokstav eller en symbol) som representerar ett visst matematiskt objekt.

Till exempel används bokstäverna x, y, z ofta för att representera siffrorna som uppfyller en given ekvation; bokstäverna p, qr, för att representera propositioner (eller deras respektive stora bokstäver för att representera specifika förslag); och bokstäverna A, B, X, etc. för att representera uppsättningar.

Termen "variabel" betonar att objektet i fråga inte är fixerat utan varierar. Detta är fallet med en ekvation, i vilken variabler används för att bestämma lösningar som i princip är okända.

I allmänna termer kan en algebraisk variabel betraktas som en bokstav som representerar ett objekt, oavsett om det är fixerat eller inte.

Precis som algebraiska variabler används för att representera matematiska objekt, kan vi också betrakta symboler som representerar matematiska operationer.

Till exempel representerar symbolen "+" operationen "tillägg". Andra exempel är de olika symboliska notationerna av logiska anslutningar när det gäller förslag och uppsättningar.

Algebraiska uttryck

Ett algebraiskt uttryck är en kombination av algebraiska variabler med tidigare definierade operationer. Exempel på detta är de grundläggande operationerna för tillägg, subtraktion, multiplikation och delning mellan siffror eller de logiska anslutningarna i förslag och uppsättningar.

Algebraiskt resonemang ansvarar för att uttrycka en matematisk resonemang eller argument genom algebraiska uttryck.

Denna form av uttryck hjälper till att förenkla och förkorta skriften, eftersom den använder sig av symboliska notationer och möjliggör en bättre förståelse av resonemanget och presenterar det på ett tydligare och mer exakt sätt.

exempel

Låt oss titta på några exempel som visar hur algebraiskt resonemang används. Det används mycket regelbundet för att lösa problem med logik och resonemang, som vi snart kommer att se.

Tänk på det välkända matematiska förslaget "summan av två siffror är kommutativ." Låt oss se hur vi kan uttrycka detta förslag algebraiskt: med två siffror "a" och "b", vad detta förslag betyder är att a + b = b + a.

Det resonemang som används för att tolka det första uttalandet och uttrycka det i algebraiska termer är algebraiskt resonemang.

Vi kan också nämna det berömda uttrycket "faktorns ordning förändrar inte produkten", som hänvisar till det faktum att produkten med två siffror också är kommutativ, och uttrycks algebraiskt som axb = bxa.

På liknande sätt kan de associerande och fördelande egenskaperna för tillsats och produkt, i vilken subtraktion och delning ingår, uttryckas (och uttrycks) algebraiskt.

Denna typ av resonemang omfattar ett mycket brett språk och används i många olika sammanhang. Beroende på varje fall är det i dessa sammanhang nödvändigt att känna igen mönster, tolka meningar och generalisera och formalisera deras uttryck i algebraiska termer, vilket ger giltiga och sekventiella resonemang.

Lösta övningar

Följande är några logiska problem som vi kommer att lösa med hjälp av algebraiskt resonemang:

Första övningen

Vad är antalet som tar hälften ur det är lika med ett?

Lösning

För att lösa denna typ av träning är det mycket användbart att representera det värde vi vill bestämma med hjälp av en variabel. I det här fallet vill vi hitta ett nummer som, när du tar hälften av det, resulterar i nummer ett. Låt oss beteckna med det sökta antalet med x.

Att "ta hälften" av ett tal innebär att man delar det med 2. Så ovanstående kan uttryckas algebraiskt som x / 2 = 1, och problemet är en lösning på en ekvation, som i detta fall är linjär och mycket lätt att lösa. Lösning för x får vi att lösningen är x = 2.

Sammanfattningsvis är 2 antalet att när du tar hälften är lika med 1.

Andra övningen

Hur många minuter fram till midnatt om för 10 minuter sedan 5/3 av vad som finns kvar nu?

Lösning

Låt oss ange antalet minuter fram till midnatt med "z" (alla andra bokstäver kan användas). Det vill säga att just nu är det "z" minuter fram till midnatt. Detta innebär att "z + 10" minuter saknades för 10 minuter sedan för midnatt, och det motsvarar 5/3 av det som saknas nu; det vill säga (5/3) z.

Sedan kommer problemet att lösa ekvationen z + 10 = (5/3) z. Genom att multiplicera båda sidor av jämställdheten med 3 får vi ekvationen 3z + 30 = 5z.

Nu när vi grupperar variabeln "z" på en sida av jämlikhet får vi den 2z = 15, vilket innebär att z = 15.

Så det är 15 minuter till midnatt.

Tredje övningen

I en stam som utövar byteshandel finns det dessa likvärdigheter:

- Ett spjut och ett halsband byts mot en sköld.

- Ett spjut motsvarar en kniv och ett halsband.

- Två sköldar byts mot tre knivar.

Hur många halsband motsvarar ett spjut?

Lösning

Sean:

Co = ett halsband

L = ett spjut

E = en sköld

Cu = en kniv

Så vi har följande relationer:

Co + L = E

L = Co + Cu

2E = 3Cu

Så problemet utgörs av att lösa ett system med ekvationer. Trots att det finns fler okända än ekvationer, kan detta system lösas, eftersom de inte ber oss om en specifik lösning utan en av variablerna som en funktion av en annan. Vad vi måste göra är att uttrycka "Co" i termer av "L" uteslutande.

Från den andra ekvationen har vi att Cu = L - Co. I den tredje ersätter vi att E = (3L - 3Co) / 2. Slutligen, genom att ersätta den första ekvationen och förenkla den erhålls att 5Co = L; det vill säga ett spjut är lika med fem halsband.

referenser

1. Billstein, R., Libeskind, S., & Lott, JW (2013). Matematik: problemlösning för grundlärare. López Mateos Editors.
2. Fuentes, A. (2016). GRUNDLÄGGANDE MATH. En introduktion till kalkyl. Lulu.com.
3. García Rua, J., & Martínez Sánchez, JM (1997). Grundläggande grundläggande matematik. Undervisningsministeriet.
4. Rees, PK (1986). Algebra. Reverte.
5. Rock, NM (2006). Algebra I Is Easy! Så enkelt. Team Rock Press.
6. Smith, SA (2000). Algebra. Pearson Education.
7. Szecsei, D. (2006). Grundläggande matematik och pre-algebra (illustrerad red.). Karriärpress.