- Sarrus regel
- Typer bestämningsmedel
- Bestämning av dimension 1
- Bestämning av dimension 2
- Bestämning av dimension 3
- referenser
Den regeln Sarrus används för att beräkna resultatet av 3 × 3 bestämningsfaktorer. Dessa används för att lösa linjära ekvationer och ta reda på om de är kompatibla.
Kompatibla system gör det lättare att få lösningen. De används också för att bestämma om uppsättningar av vektorer är linjärt oberoende och för att utgöra grunden för vektorrummet.
Dessa applikationer är baserade på matrisernas invertibilitet. Om en matris är regelbunden är dess determinant annorlunda från 0. Om den är singular är dess determinant lika med 0. Determinanter kan endast beräknas i kvadratiska matriser.
För att beräkna matriser av valfri ordning kan Laplaces sats användas. Denna sats ger oss möjlighet att förenkla matriser med höga dimensioner, i summor av små determinanter som vi sönderdelas från huvudmatrisen.
Den anger att bestämningen av en matris är lika med summan av produkterna i varje rad eller kolumn, gånger bestämningen för dess angränsande matris.
Detta minskar determinanterna så att en determinant för grad n blir n determinanter för n-1. Om vi tillämpar denna regel i tur och ordning kan vi få determinanter för dimension 2 (2 × 2) eller 3 (3 × 3), där dess beräkning är mycket lättare.
Sarrus regel
Pierre Frederic Sarrus var en fransk matematiker från 1800-talet. De flesta av hans matematiska avhandlingar är baserade på metoder för att lösa ekvationer och beräkningen av variationer inom numeriska ekvationer.
I ett av sina avhandlingar löste han en av de mest komplexa gåtorna i mekanik. För att lösa problemen med de ledade bitarna introducerade Sarrus omvandlingen av alternativa rätlinjiga rörelser, i enhetliga cirkulära rörelser. Detta nya system kallas Sarrus-mekanismen.
Den forskning som gav denna matematiker mest berömmelse var där han introducerade en ny metod för att beräkna determinanter, i artikeln "Nouvelles méthodes pour la résolution des équations" (Ny metod för att lösa ekvationer), som publicerades i år 1833. Detta sätt att lösa linjära ekvationer kallas Sarrus regel.
Sarrus-regeln gör det möjligt att beräkna determinanten för en 3 × 3-matris, utan att behöva använda Laplaces teorem, vilket introducerar en mycket enklare och mer intuitiv metod. För att kontrollera värdet på Sarrus regel, tar vi valfri matris med dimension 3:
Beräkningen av dess determinant skulle utföras med hjälp av produkten från dess huvuddiagonaler, och subtrahera produkten från de omvända diagonalerna. Detta skulle vara följande:
Sarrus regel tillåter oss att få en mycket enklare vision när vi beräknar determinantens diagonaler. Det skulle förenklas genom att lägga till de två första kolumnerna på baksidan av matrisen. På detta sätt framgår tydligare vilka som är dess huvuddiagonaler och vilka är omvända för beräkning av produkten.
Genom denna bild kan vi se tillämpningen av Sarrus regel, vi inkluderar rad 1 och 2, under den grafiska representationen av den initiala matrisen. På detta sätt är huvuddiagonalerna de tre diagonalerna som visas först.
De tre omvända diagonalerna är i sin tur de som visas först på baksidan.
På detta sätt visas diagonalerna på ett mer visuellt sätt utan att komplicera determinantens upplösning och försöka ta reda på vilka element i matrisen som tillhör varje diagonal.
Som det visas på bilden väljer vi diagonalerna och beräknar den resulterande produkten för varje funktion. Diagonalerna som visas i blått är de som lägger till. Till summan av dessa subtraherar vi värdet på diagonalerna som visas i rött.
För att underlätta komprimering kan vi använda ett numeriskt exempel istället för att använda algebraiska termer och undertermer.
Om vi tar någon 3 × 3-matris, till exempel:
För att tillämpa Sarrus regel och lösa det på ett mer visuellt sätt, bör vi inkludera rad 1 och 2, som rad 4 respektive 5. Det är viktigt att hålla rad 1 på 4: e plats och rad 2 på femte plats. Eftersom om vi utbyter dem kommer Sarrus-regeln inte att vara effektiv.
För att beräkna determinanten skulle vår matris vara följande:
För att fortsätta med beräkningen multiplicerar vi elementen i huvuddiagonalerna. Efterkommande från vänster kommer att ha ett positivt tecken; medan de omvända diagonalerna, som börjar från höger, har ett negativt tecken.
I det här exemplet skulle de blå ha ett positivt tecken och de röda med ett negativt tecken. Den slutliga beräkningen av Sarrus-regeln skulle se ut så här:
Typer bestämningsmedel
Bestämning av dimension 1
Om matrisen är 1 ser matrisen så här ut: A = (a)
Därför skulle dess determinant vara följande: det (A) = -A- = a
Sammanfattningsvis är determinanten för matris A lika med det absoluta värdet på matris A, som i detta fall är a.
Bestämning av dimension 2
Om vi går över till matriser med dimension 2, får vi matriser av typen:
Där dess determinant definieras som:
Upplösningen av denna determinant är baserad på multiplikationen av dess huvuddiagonal och subtraherar produkten från dess omvända diagonal.
Som en mnemonic kan vi använda följande diagram för att komma ihåg dess determinant:
Bestämning av dimension 3
Om matrisens dimension är 3, skulle den resulterande matrisen vara av denna typ:
Bestämningen av denna matris skulle lösas genom Sarrus regel på detta sätt:
referenser
- Jenny Olive (1998) Maths: A Student's Survival Guide. Cambridge University Press.
- Richard J. Brown (2012) 30-sekunders matematik: De 50 mest sinnesutvecklande teorierna i matematik. Ivy Press Limited.
- Dave Kirkby (2004) Maths Connect. Heinemann.
- Awol Assen (2013) En studie om beräkning av determinanter för en 3 × 3-matris. Lap Lambert Academic Publishing.
- Anthony Nicolaides (1994) Determinants & Matrices. Godkänd publikation.
- Jesse Russell (2012) Rule of Sarrus.
- M. Casteleiro Villalba (2004) Introduktion till linjär algebra. ESIC-redaktion.