KRAFTSERIER: EXEMPEL OCH ÖVNINGAR - MATTE - 2026

En kraftserie består av en summering av termer i form av krafter för variabeln x, eller mer generellt, av xc, där c är ett konstant reellt tal. I sammanfattningsnotationen uttrycks en serie makter enligt följande:

Där koefficienterna a _o , a ₁ , a ₂ … är verkliga siffror och serien börjar vid n = 0.

Bild 1. Definition av en kraftserie. Källa: F. Zapata.

Denna serie är centrerad på värdet c som är konstant, men du kan välja att c är lika med 0, i vilket fall kraftserien förenklar till:

Serien börjar med _respektive a _eller (xc) ⁰ respektive a _eller x ⁰ . Men vi vet att:

(xc) ⁰ = x ⁰ = 1

Därför är en _o (xc) ⁰ = a _eller x ⁰ = a _o (oberoende term)

Det bra med kraftserierna är att funktioner kan uttryckas med dem och detta har många fördelar, särskilt om du vill arbeta med en komplicerad funktion.

När detta är fallet, istället för att direkt använda funktionen, använd dess kraftserieutvidgning, som kan vara lättare att härleda, integrera eller arbeta numeriskt.

Naturligtvis är allt betingat av seriens konvergens. En serie konvergerar när du lägger till ett visst stort antal termer ger ett fast värde. Och om vi fortfarande lägger till fler termer fortsätter vi att få det värdet.

Funktioner som Power Series

Som ett exempel på en funktion uttryckt som en kraftserie, låt oss ta f (x) = e ^x .

Denna funktion kan uttryckas i termer av en serie krafter enligt följande:

och ^x ≈ 1 + x + (x ² /2!) + (x ³ /3!) + (x ^fyra / 4!) + (x ⁵ /5!) + …

Var! = n. (N-1). (N-2). (n-3) … och det tar 0! = 1.

Vi kommer att kontrollera med hjälp av en miniräknare att serien verkligen sammanfaller med den funktion som uttryckligen ges. Låt oss till exempel börja med att göra x = 0.

Vi vet att e ⁰ = 1. Låt oss se vad serien gör:

och ⁰ ≈ 1 + 0 + (0 ^två / 2!) + (0 ^tre / 3!) + (0 ⁴ /4!) + (0 ^fem / 5!) + … = 1

Och nu ska vi prova x = 1. En räknare returnerar att e ¹ = 2.71828, och låt oss sedan jämföra med serien:

och ^en ≈ 1 + 1 + (1 ² /2) + (1 ³ /3!) + (1 ^fyra / 4!) + (1 ^fem / 5!) + … = 2 + 0,5000 + 0,1667 + 0,0417 + 0,0083 +… ≈ 2.7167

Med bara 5 termer har vi redan en exakt match i e 2.71. Våra serier har bara lite mer att gå, men när fler termer läggs till, konvergerar serien verkligen till det exakta värdet för e. Representationen är exakt när n → ∞.

Om den tidigare analysen upprepas för n = 2 erhålls mycket liknande resultat.

På detta sätt är vi säkra på att exponentiell funktion f (x) = e ^x kan representeras av denna serie krafter:

Figur 2. I denna animering kan vi se hur kraftserien kommer närmare exponentiell funktion när fler termer tas. Källa: Wikimedia Commons.

Geometriska kraftserier

Funktionen f (x) = e ^x är inte den enda funktionen som stöder en kraftserierepresentation. Exempelvis ser funktionen f (x) = 1/1 - x mycket ut som den välkända konvergenta geometriska serien:

Det räcker med att göra a = 1 och r = x för att få en serie som är lämplig för den här funktionen, som är centrerad vid c = 0:

Det är emellertid känt att denna serie är konvergent för │r│ <1, därför är representationen endast giltig i intervallet (-1,1), även om funktionen är giltig för alla x, utom x = 1.

När du vill definiera denna funktion i ett annat intervall, fokuserar du helt enkelt på ett lämpligt värde och du är klar.

Hur man hittar seriens utvidgning av krafter i en funktion

Varje funktion kan utvecklas i en kraftserie centrerad på c, så länge den har derivat av alla beställningar vid x = c. Proceduren använder följande teorem, som kallas Taylor's teorem:

Låt f (x) vara en funktion med derivat av ordning n, betecknad som f ⁽ⁿ⁾ , som medger en serieutveckling av krafter på intervallet I. Hans serieutveckling av Taylor är:

Så att:

Där R _n , som är det n: te termen i serien, kallas en rest:

När c = 0 kallas serien Maclaurin-serien.

Den här serien är identisk med den serie som gavs i början, först nu har vi ett sätt att uttryckligen hitta koefficienterna för varje term, ges av:

Vi måste dock se till att serien konvergerar till den funktion som ska representeras. Det händer att inte alla Taylor-serier nödvändigtvis konvergerar till f (x) som vi hade i åtanke när man beräknade koefficienterna vid _n .

Detta händer eftersom kanske derivaten av funktionen, utvärderade vid x = c sammanfaller med samma värde för derivatorna från en annan, också vid x = c. I det här fallet skulle koefficienterna vara desamma, men utvecklingen skulle vara tvetydig eftersom det inte är säkert vilken funktion den motsvarar.

Lyckligtvis finns det ett sätt att veta:

Konvergenskriterium

För att undvika tvetydighet, om R _n → 0 som n → ∞ för alla x i intervallet I, konvergerar serien till f (x).

Träning

- Träning löst 1

Hitta den geometriska kraftserien för funktionen f (x) = 1/2 - x centrerad vid c = 0.

Lösning

Den givna funktionen måste uttryckas på ett sådant sätt att den sammanfaller så nära som möjligt med 1 / 1- x, vars serie är känd. Så låt oss skriva om teller och nämnare utan att ändra det ursprungliga uttrycket:

1/2 - x = (1/2) /

Eftersom ½ är konstant kommer den ut ur summeringen, och den är skriven i termer av den nya variabeln x / 2:

Observera att x = 2 inte tillhör funktionens domän, och enligt konvergenskriteriet som ges i avsnittet Geometrisk kraft, är utvidgningen giltig för │x / 2│ <1 eller motsvarande -2 <x <2.

- Träning löst 2

Hitta de första fem termerna i Maclaurin-seriens expansion av funktionen f (x) = sin x.

Lösning

Steg 1

Först är derivat:

-Derivativ för ordning 0: det är samma funktion f (x) = sin x

-Första derivat: (sin x) ´ = cos x

-Sekunderderivat: (sin x) ´´ = (cos x) ´ = - sin x

-Trödderivat: (sin x) ´´´ = (-sen x) ´ = - cos x

-Fjärderivat: (sin x) ´´´´ = (- cos x) ´ = sin x

Steg 2

Därefter utvärderas varje derivat vid x = c, liksom en Maclaurin-expansion, c = 0:

sin 0 = 0; cos 0 = 1; - sin 0 = 0; -kos 0 = -1; sin 0 = 0

Steg 3

Koefficienterna a _{n är konstruerade} ;

a _o = 0/0! = 0; a ₁ = 1/1! = 1; a ₂ = 0/2! = 0; a ₃ = -1 / 3 !; a ₄ = 0/4! = 0

Steg 4

Slutligen samlas serien enligt:

sin x ≈ 0.x ⁰ + 1. x ¹ + 0 .x ² - (1/3!) x ³ + 0.x ⁴ … = x - (1/3!)) x ³ + …

Behöver läsaren fler termer? Hur många fler är serien närmare funktionen.

Observera att det finns ett mönster i koefficienterna, nästa term som inte är noll är en ₅ och alla de med ett udda index är också annorlunda än 0, alternerande tecken, så att

sin x ≈ x - (1/3!)) x ³ + (1/5!)) x ⁵ - (1/7!)) x ⁷ +….

Det lämnas som en övning för att kontrollera att den går samman, kvotkriteriet kan användas för att konvergera serier.

referenser

1. CK-12 Foundation. Power Series: representation av funktioner och funktioner. Återställd från: ck12.org.
2. Engler, A. 2019. Integral Calculus. Litorals universitet.
3. Larson, R. 2010. Beräkning av en variabel. 9:e. Utgåva. McGraw Hill.
4. Matematik Gratis texter. Power-serien. Återställd från: math.liibretexts.org.
5. Wikipedia. Power-serien. Återställd från: es.wikipedia.org.