CENTRAL SYMMETRI: EGENSKAPER, EXEMPEL OCH ÖVNINGAR - MATTE - 2026

Två punkter A och A 'har central symmetri med avseende på en punkt O när segmentet AA' passerar genom det och det är också mittpunkten för AA '. Punkt O kallas symmetriens centrum.

Den centrala symmetriska för en triangel ABC med avseende på en punkt O är en annan triangel A'B'C som har följande egenskaper:

-Homologiska segment har samma längd

- Deras motsvarande vinklar har samma mått.

Bild 1. Triangel ABC och dess symmetriska A'B'C. Källa: F. Zapata.

Figur 1 visar en triangel ABC (röd) och dess centrala symmetri A'B'C '(grön), med avseende på symmetriens centrum O.

I samma figur skulle en uppmärksam observatör inse att samma resultat erhålls genom att tillämpa en rotation av den ursprungliga triangeln, så länge den är 180 ° och är centrerad vid O.

Därför motsvarar en central symmetri en 180º varv med avseende på symmetriens mitt.

Egenskaper för central symmetri

En central symmetri har följande egenskaper:

-Symmetriens centrum är mittpunkten för segmentet som förenar en punkt med dess symmetri.

-En symmetrisk punkt för en annan som är belägen i symmetriens mitt, sammanfaller med symmetriens mitt.

-Den triangelns centrala symmetriska är en kongruent triangel (lika) som originalet.

-Bilden med en central cirkelmetri är en annan cirkel med lika radie.

-En omkrets har central symmetri med avseende på sitt eget centrum.

Bild 2. Design med central symmetri. Källa: Pixabay.

- Ellipsen har central symmetri med avseende på dess centrum.

-Ett segment har central symmetri med avseende på dess mittpunkt.

-Den liksidiga triangeln har inte central symmetri med avseende på dess centrum, eftersom dess symmetri, även om den är kongruent till den första, ger en roterad liksidig triangel.

-Rutorna har central symmetri med avseende på deras centrum.

-En pentagon saknar central symmetri med avseende på dess centrum.

-Regulära polygoner har central symmetri när de har ett jämnt antal sidor.

exempel

Symmetri-kriterier har många tillämpningar inom vetenskap och teknik. Central symmetri finns i naturen, till exempel iskristaller och spindelnät har denna typ av symmetri.

Dessutom löses många problem lätt när man utnyttjar förekomsten av central symmetri och andra typer av symmetri. Därför är det bekvämt att snabbt identifiera när det inträffar.

Figur 3. Iskristaller har central symmetri. Källa: Pixabay.

Exempel 1

Med tanke på en punkt P med koordinater (a, b) måste vi hitta koordinaterna för dess symmetriska P 'med avseende på koordinaternas (O, 0) ursprung.

Det första är att konstruera punkten P ', för vilken en linje dras som passerar genom ursprunget O och genom punkten P. Ekvationen för denna linje är y = (b / a) x.

Låt oss nu kalla (a ', b') koordinaterna för den symmetriska punkten P '. Punkt P 'måste ligga på linjen som passerar genom O och därför är det sant: b' = (b / a) a '. Dessutom måste avståndet OP vara lika med OP ', som i analytisk form skrivs så här:

√ (a ² + b ² ) = √ (a ' ² + b' ² )

Följande är att ersätta b '= i det föregående uttrycket och kvadratera båda sidor av jämlikheten för att eliminera kvadratroten: (a ² + b ² ) =

Genom att extrahera gemensam faktor och förenkla får vi att a ' ² = a ² . Denna ekvation har två verkliga lösningar: a '= + a eller a' = -a.

För att få b 'använder vi igen b' = (b / a) a '. Om den positiva lösningen av en 'är ersatt, kommer vi till den b' = b. Och när den negativa lösningen är substituerad, då b '= -b.

Den positiva lösningen ger för P 'samma punkt P, så den kastas. Den negativa lösningen ger definitivt koordinaterna för den symmetriska punkten:

P ': (-a, -b)

Exempel 2

Det krävs att visa att ett segment AB och dess centrala symmetriska A'B har samma längd.

Från och med koordinaterna för punkt A, som är (Ax, Ay) och de för punkt B: (Bx, By), ges längden på segment AB av:

d (AB) = √ ((Bx - Ax) ² + (By - Ay) ² )

I analogi kommer det symmetriska segmentet A'B att ha längd som ges av:

d (A'B ') = √ ((Bx' - Ax ') ² + (av' - Ay ') ² )

Koordinaterna för den symmetriska punkten A 'är Ax' = -Ax och Ay '= -Ay. På samma sätt är B 'Bx' = -Bx och By '= -By. Om dessa koordinater är ersatta i ekvationen för avståndet d (A'B ') har vi:

d (A'B ') = √ ((-Bx + Ax) ² + (-By + Ay) ² ) vilket motsvarar:

√ ((Bx - Ax) ² + (By - Ay) ² ) = d (AB)

Således visas att båda segmenten har samma längd.

Lösta övningar

- Övning 1

Visa analytiskt att den centrala symmetriska O för en cirkel med radie R och mitt O är samma ursprungliga cirkel.

Lösning

Ekvationen för en cirkel med radien R och centrum O (0,0) är:

x ² + y ² = R ² (ekvation av omkretsen C)

Om vid varje punkt P i omkretsens y för koordinater (x, y) dess symmetriska P 'av koordinater (x', y ') hittas, är ekvationen för den symmetriska omkretsen:

x ' ² + y' ² = R ² (Ekvation av den symmetriska cirkeln C ')

Nu hänvisar vi till resultatet från exempel 1, där det dras slutsatsen att koordinaterna för en punkt P ', symmetrisk mot P och med koordinaterna (a, b), är (-a, -b).

Men i denna övning har punkt P koordinater (x, y), så dess symmetriska P 'kommer att ha koordinater x' = -xe y '= -y. Att ersätta detta i ekvationen för den symmetriska cirkeln som vi har:

(-x) ² + (-y) ² = R ²

Vilket är ekvivalent med: x ² + y ² = R ² och konstaterade att den centrala symmetriska av en cirkel med avseende på dess center är cirkeln själv.

- Övning 2

Visa i geometrisk form att den centrala symmetrin bevarar vinklarna.

Lösning

Bild 4. Konstruktion av de symmetriska punkterna för övning 2. Källa: F. Zapata.

Det finns tre punkter A, B och C på planet. Dess symmetri A ', B' och C 'är konstruerade med avseende på symmetriens centrum O, som visas i figur 4.

Nu måste vi visa att vinkeln ∡ABC = β har samma mått som vinkeln ∡A'B'C '= β'.

Eftersom C och C 'är symmetriska, då OC = OC'. På liknande sätt OB = OB 'och OA = OA'. Å andra sidan, vinkeln ∡BOC = ∡B'OC eftersom de motverkas av toppunktet.

Därför är trianglarna BOC och B'OC kongruenta eftersom de har en lika vinkel mellan två lika sidor.

Eftersom BOC är kongruent med B'OC 'är vinklarna γ och γ' lika. Men dessa vinklar, förutom att uppfylla γ = γ ', är interna växlar mellan linjerna BC och B'C', vilket innebär att linjen BC är parallell med B'C '.

På liknande sätt är BOA kongruent med B'OA 'från vilken det följer att α = α'. Men α och α 'är alternerande inre vinklar mellan linjerna BA och B'A', varifrån man drar slutsatsen att linje BA är parallell med B'A '.

Eftersom vinkeln ∡ABC = β har sina sidor parallella med vinkeln ∡A'B'C '= β' och också båda är akuta, dras slutsatsen att:

∡ABC = ∡A'B'C '= p = β'

Bevisande på detta sätt att den centrala symmetrin sparar måtten på vinklarna.

referenser

1. Baldor, JA 1973. Plane and Space Geometry. Centralamerikanska kulturella.
2. Matematiska lagar och formler. Vinkelmätningssystem. Återställd från: ingemecanica.com.
3. Wentworth, G. Plane Geometry. Återställd från: gutenberg.org.
4. Wikipedia. Central symmetri. Återställd från: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Transportband. Återställd från: es.wikipedia.com
6. Zapata F. Konjugera inre och yttre vinklar. Återställd från: lifeder.com