Den Bayes Theorem är ett förfarande som tillåter oss att uttrycka den villkorade sannolikheten för en slumpmässig händelse En given B, i termer av sannolikhetsfördelningen av händelsen A och B eftersom sannolikhetsfördelningen för endast A.
Denna sats är mycket användbar, eftersom vi tack vare den kan relatera sannolikheten för att en händelse A inträffar medvetet om att B inträffade, med sannolikheten att motsatsen inträffar, det vill säga att B inträffar givet A.
Bayes teorem var ett silverförslag av pastor Thomas Bayes, en engelska teolog från 1700-talet som också var en matematiker. Han var författare till flera verk inom teologi, men för närvarande är han känd för ett par matematiska avhandlingar, bland vilka nämnda Bayes teorem framträder som huvudresultatet.
Bayes behandlade detta teorem i ett papper med titeln "En uppsats för att lösa ett problem i doktrinen om chanser", publicerad 1763, och på vilken ett stort antal har utvecklats. studier med tillämpningar inom olika kunskapsområden.
Förklaring
Först för en bättre förståelse av detta teorem är några grundläggande uppfattningar om sannolikhetsteori nödvändiga, särskilt multiplikationssatsen för villkorad sannolikhet, som säger att
För E och A godtyckliga händelser i ett provrum S.
Och definitionen av partitioner, vilket säger oss att om vi har en 1 , A 2 , …, A n händelser av utfallsrummet S, kommer de att bilda en partition av S, om A jag är ömsesidigt uteslutande och deras union är S.
Med tanke på detta, låt B vara en annan händelse. Så vi kan se B som
Där A i korsade med B är ömsesidigt exklusiva händelser.
Och följaktligen
Använd sedan multiplikationssatsen
Å andra sidan definieras den villkorade sannolikheten för Ai som ges B av
Att ersätta lämpligt har vi det för alla i
Tillämpningar av Bayes teorem
Tack vare detta resultat har forskningsgrupper och olika företag lyckats förbättra system som är baserade på kunskap.
I studien av sjukdomar kan Bayes teorem exempelvis hjälpa till att urskilja sannolikheten för att en sjukdom finns i en grupp människor med ett givet kännetecken, och tar som data de globala hastigheterna för sjukdomen och övervägande av nämnda egenskaper i både friska och sjuka människor.
Å andra sidan, i världen av högteknologier har det påverkat stora företag som har utvecklat, tack vare detta resultat, ”Kunskapsbaserad” programvara.
Som ett dagligt exempel har vi Microsoft Office-assistenten. Bayes teorem hjälper programvaran att utvärdera de problem som användaren presenterar och bestämma vilka råd som ska tillhandahållas så att den kan erbjuda en bättre service enligt användarens vanor.
Denna formel ignorerades fram till nyligen, det beror främst på att när detta resultat utvecklades för 200 år sedan fanns det lite praktisk användning för dem. Men i vår tid, tack vare stora tekniska framsteg, har forskare hittat sätt att implementera detta resultat.
Lösta övningar
Övning 1
Ett mobiltelefonföretag har två maskiner A och B. 54% av de producerade mobiltelefonerna tillverkas av maskin A och resten av maskin B. Inte alla producerade mobiltelefoner är i gott skick.
Andelen defekta mobiltelefoner tillverkade av A är 0,2 och av B är 0,5. Vad är troligt att en mobiltelefon från fabriken är defekt? Vad är sannolikheten för att den vet att en mobiltelefon är defekt kommer från maskin A?
Lösning
Här har du ett experiment som görs i två delar; i den första delen inträffar händelserna:
A: cell tillverkad av maskin A.
B: cell tillverkad av maskin B.
Eftersom maskin A producerar 54% av mobiltelefoner och resten produceras av maskin B följer det att maskin B producerar 46% av mobiltelefoner. Sannolikheterna för dessa händelser anges, nämligen:
P (A) = 0,54.
P (B) = 0,46.
Händelserna i den andra delen av experimentet är:
D: defekt mobiltelefon.
E: icke-defekt mobiltelefon.
Som framgår av uttalandet beror sannolikheten för dessa händelser på resultatet som erhållits i den första delen:
P (DA) = 0,2.
P (DB) = 0,5.
Med hjälp av dessa värden kan sannolikheterna för komplementen av dessa händelser också bestämmas, det vill säga:
P (EA) = 1 - P (DA)
= 1 - 0,2
= 0,8
och
p (EB) = 1 - P (DB)
= 1 - 0,5
= 0,5.
Nu kan händelse D skrivas på följande sätt:
Använda multiplikationsteorem för villkorade sannolikhetsresultat:
Därefter besvaras den första frågan.
Nu behöver vi bara beräkna P (AD), för vilket Bayes sats används.
Tack vare Bayes teorem kan det sägas att sannolikheten för att en mobiltelefon gjordes av maskin A, med vetskap om att mobiltelefonen är defekt, är 0,319.
Övning 2
Tre lådor innehåller svarta och vita bollar. Sammansättningen för var och en av dem är som följer: U1 = {3B, 1N}, U2 = {2B, 2N}, U3 = {1B, 3N}.
En av rutorna väljs slumpmässigt och en boll dras slumpmässigt vilket visar sig vara vitt. Vad är den låda som troligen har valts?
Lösning
Med U1, U2 och U3 kommer vi också att representera den valda rutan.
Dessa händelser utgör en partition av S och det verifieras att P (U1) = P (U2) = P (U3) = 1/3 eftersom valet av rutan är slumpmässigt.
Om B = {den dragna bollen är vit} kommer vi att ha P (B-U1) = 3/4, P (B-U2) = 2/4, P (B-U3) = 1/4.
Vad vi vill erhålla är sannolikheten för att bollen har tagits ut ur rutan Ui med vetskap om att nämnda boll var vit, det vill säga P (Ui-B), och se vilka av de tre värden som var högst att veta om rutan har troligen varit extraktionen av köbollen.
Tillämpa Bayes sats på den första av rutorna:
Och för de andra två:
P (U2-B) = 2/6 och P (U3-B) = 1/6.
Sedan är den första av lådorna den med högsta sannolikhet för att ha valts för extraktion av köbollen.
referenser
- Kai Lai Chung. Elementarförmågansteori med stokastiska processer. Springer-Verlag New York Inc
- Kenneth.H. Rosen, diskret matematik och dess tillämpningar. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
- Paul L. Meyer. Sannolikhet och statistiska tillämpningar. SA ALHAMBRA MEXICANA.
- Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 löste problem med diskret matematik. McGraw-Hill.
- Seymour Lipschutz Ph.D. Teori- och sannolikhetsproblem. McGraw-Hill.