- Formel
- Euklidiskt avstånd i två dimensioner
- Icke-euklidiska ytor
- Euklidiskt avstånd i n dimensioner
- Hur man beräknar euklidiskt avstånd
- Exempel
- referenser
Den euklidiska avståndet är ett positivt tal som anger avståndet mellan två punkter i ett utrymme där axiom och satser av Euklides geometri är uppfyllda.
Avståndet mellan två punkter A och B i ett euklidiskt utrymme är längden på vektorn AB som tillhör den enda linjen som passerar genom dessa punkter.
Figur 1 . Endimensionellt euklidiskt utrymme som bildas av linjen (OX). Flera punkter visas på nämnda utrymme, deras koordinater och avstånd. (Utarbetad av Ricardo Pérez).
Utrymmet som människor uppfattar och vart vi rör oss är ett tredimensionellt (3-D) utrymme, där axiomerna och teorema i Euclids geometri uppfylls. Två-dimensionella underutrymmen (plan) och en-dimensionella underutrymmen (linjer) finns i detta utrymme.
Euklidiska utrymmen kan vara en-dimensionell (1-D), två-dimensionell (2-D), tredimensionell (3-D) eller n-dimensionell (nD).
Punkter i det endimensionella utrymmet X är de som tillhör den orienterade linjen (OX), riktningen från O till X är den positiva riktningen. För att lokalisera punkterna på denna linje används det kartesiska systemet som består av att tilldela ett nummer till varje punkt på linjen.
Formel
Det euklidiska avståndet d (A, B) mellan punkterna A och B, beläget på en linje, definieras som kvadratroten på kvadratet av skillnaderna i deras X-koordinater:
d (A, B) = √ ((XB - XA) ^ 2)
Denna definition garanterar att: avståndet mellan två punkter är alltid en positiv kvantitet. Och att avståndet mellan A och B är lika med avståndet mellan B och A.
Figur 1 visar det endimensionella euklidiska utrymmet som bildas av linjen (OX) och flera punkter på nämnda linje. Varje punkt har en koordinat:
Punkt A har koordinat XA = 2.5, punkt B-koordinat XB = 4 och punkt C-koordinat XC = -2.5
d (A, B) = √ ((4 - 2,5) 2) = 1,5
d (B, A) = √ ((2,5 - 4) 2) = 1,5
d (A, C) = √ ((- 2,5 - 2,5) 2) = 5,0
Euklidiskt avstånd i två dimensioner
Två-dimensionella euklidiska rymden är ett plan. Punkterna på ett euklidiskt plan uppfyller axiomerna i den euklidiska geometri, till exempel:
- En enda linje passerar två punkter.
- Tre punkter på planet bildar en triangel vars inre vinklar alltid lägger upp till 180º.
- I en höger triangel är kvadratet på hypotenusen lika med summan av kvadraten på benen.
I två dimensioner har en punkt X- och Y-koordinater.
Till exempel har en punkt P koordinater (XP, YP) och en punkt Q-koordinater (XQ, YQ).
Det euklidiska avståndet mellan punkt P och Q definieras med följande formel:
d (P, Q) = √ ((XQ - XP) ^ 2 + (YQ - YP) ^ 2)
Det bör noteras att denna formel är ekvivalent med Pythagorean teorem, såsom visas i figur 2.
Bild 2. Avståndet mellan två punkter P och Q i planet uppfyller Pythagoras teorem. (Utarbetad av Ricardo Pérez).
Icke-euklidiska ytor
Inte alla tvådimensionella utrymmen överensstämmer med euklidisk geometri. Ytan på en sfär är ett tvådimensionellt utrymme.
Vinklarna på en triangel på en sfärisk yta lägger inte upp till 180 ° och med detta uppfylls inte Pythagoras teorem, därför uppfyller en sfärisk yta inte Euclids axiomer.
Euklidiskt avstånd i n dimensioner
Begreppet koordinater kan utvidgas till större dimensioner:
- I 2-D punkt P har koordinater (XP, YP)
- I 3-D har en punkt Q koordinater (XQ, YQ, ZQ)
- I 4-D kommer punkten R att ha koordinater (XR, YR, ZR, WR)
- I nD kommer punkt P att ha koordinater (P1, P2, P3,… .., Pn)
Avståndet mellan två punkter P och Q i ett n-dimensionellt euklidiskt utrymme beräknas med följande formel:
d (P, Q) = √ ((Q1 - P1) ^ 2 + (Q2 - P2) ^ 2 + …… .. + (Qn - Pn) ^ 2)
Lokuset för alla punkter Q i ett n-dimensionellt euklidiskt utrymme ekvidistant från en annan fast punkt P (mitten) bildar en n-dimensionell hypersfär.
Hur man beräknar euklidiskt avstånd
Följande visar hur avståndet mellan två punkter belägna i det euklidiska tredimensionella utrymmet beräknas.
Anta att punkt A i kartesiska koordinater x, y, z ges av A :( 2, 3, 1) och punkt B för koordinaterna B :( -3, 2, 2).
Vi vill bestämma avståndet mellan dessa punkter, för vilket det allmänna förhållandet används:
d (A, B) = √ ((-3 - 2) 2 + (2 - 3) 2 + (2 - 1) 2) = √ ((-5) 2 + (-1) 2 + (1) 2 )
d (A, B) = √ (25 + 1 + 1) = √ (27) = √ (9 * 3) = 3 √ (3) = 5196
Exempel
Det finns två punkter P och Q. Punkten P för kartesiska koordinaterna x, y, z som ges av P :( 2, 3, 1) och punkten Q för koordinaterna Q :( -3, 2, 1).
Det uppmanas att hitta koordinaterna för mittpunkten M i segmentet som förbinder de två punkterna.
Den okända punkten M antas ha koordinater (X, Y, Z).
Eftersom M är mittpunkten för måste det vara sant att d (P, M) = d (Q, M), så d (P, M) ^ 2 = d (Q, M) ^ 2 måste också vara sant:
(X - 2) ^ 2 + (Y - 3) ^ 2 + (Z - 1) ^ 2 = (X - (-3)) ^ 2 + (Y - 2) ^ 2 + (Z - 1) ^ 2
Liksom i detta fall är den tredje termen lika i båda medlemmarna, det tidigare uttrycket förenklar till:
(X - 2) ^ 2 + (Y - 3) ^ 2 = (X + 3) ^ 2 + (Y - 2) ^ 2
Vi har sedan en ekvation med två okända X och Y. En annan ekvation krävs för att lösa problemet.
Punkt M tillhör linjen som passerar genom punkterna P och Q, som vi kan beräkna enligt följande:
Först hittar vi regissvektorn PQ för linjen: PQ = <-3-2, 2-3, 1-1> = <-5, -1, 0>.
Sedan PM = OP + a PQ , där OP är positionsvektorn för punkten P och är en parameter som tillhör de verkliga siffrorna.
Ovanstående ekvation är känd som vektorekvationen för linjen, som i kartesiska koordinater har följande form:
<X-2, Y-3, Z-1> = <2, 3, 1> + a <-5, -1, 0> = <2 - 5a, 3 - a, 0>
Utjämnar motsvarande komponenter vi har:
X - 2 = 2-5a; Y - 3 = 3 -a; Z - 1 = 0
Det vill säga X = 4 - 5a, Y = 6 - a, slutligen Z = 1.
Det är substituerat i det kvadratiska uttrycket som relaterar X till Y:
(4 - 5a - 2) ^ 2 + (6 - a - 3) ^ 2 = (4 - 5a + 3) ^ 2 + (6 - a - 2) ^ 2
Det förenklas:
(2 - 5a) ^ 2 + (3-a) ^ 2 = (7 - 5a) ^ 2 + (4 - a) ^ 2
Nu utvecklas:
4 + 25 a ^ 2 - 20a + 9 + a ^ 2 - 6a = 49 + 25 a ^ 2 - 70a + 16 + a ^ 2 - 8a
Det är förenklat och avbryter liknande termer i båda medlemmarna:
4 - 20a + 9 - 6a = 49 - 70a + 16 - 8a
Parametern a raderas:
52 a = 49 + 16 - 4 - 9 = 52 resulterar i a = 1.
Det vill säga X = 4 - 5, Y = 6 - 1, slutligen Z = 1.
Slutligen får vi de kartesiska koordinaterna för segmentets mittpunkt M:
M: (-1, 5, 1).
referenser
- Lehmann C. (1972) Analytisk geometri. UTEHA.
- Superprof. Avståndet mellan två punkter. Återställd från: superprof.es
- UNAM. Avståndet mellan affinska sublinära grenrör. Återställd från: prometeo.matem.unam.mx/
- wikipedia. Euklidiskt avstånd. Återställd från: es.wikipedia.com
- wikipedia. Euklidiskt utrymme. Återställd från: es.wikipedia.com