TORRICELLIS TEOREM: VAD DET BESTÅR AV, FORMLER OCH ÖVNINGAR - FYSISK - 2025

Den teorem Torricelli eller princip Torricelli uppger att hastigheten för vätskan som lämnar öppningen i väggen hos en tank eller behållare, är identisk med den som förvärvar ett föremål tappas fritt från en höjd som är lika med ytan fri från vätska till hålet.

Satsen illustreras i följande figur:

Illustration av Torricellis sats. Källa: självgjord.

På grund av Torricellis teorem kan vi då säga att vätskans utgångshastighet genom en öppning som ligger i höjden h under vätskans fria yta ges med följande formel:

Där g är tyngdkraften och h är höjden från hålet till vätskans fria yta.

Evangelista Torricelli var en fysiker och matematiker som föddes i staden Faenza, Italien 1608. Torricelli krediteras uppfinningen av kvicksilverbarometern och i erkännande finns det en tryckenhet som kallas "torr", vilket motsvarar en millimeter kvicksilver (mm Hg).

Bevis på teorem

I Torricellis teorem och i formeln som ger hastigheten antar det att viskositetsförlusterna är försumbara, precis som i fritt fall antas att friktionen på grund av luften som omger det fallande föremålet är försumbar.

Ovanstående antagande är rimligt i de flesta fall och innefattar också bevarande av mekanisk energi.

För att bevisa teoremet hittar vi först formeln för hastigheten för ett föremål som släpps med noll initial hastighet, från samma höjd som vätskeytan i tanken.

Principen för energibesparing kommer att tillämpas för att erhålla hastigheten för det fallande föremålet precis när det har gått ner en höjd h lika med den från hålet till den fria ytan.

Eftersom det inte finns några friktionsförluster är det giltigt att tillämpa principen om bevarande av mekanisk energi. Anta att det fallande föremålet har massan m och höjden h mäts ut från vätskans utgångsnivå.

Fallande objekt

När föremålet frigörs från en höjd lika stor som vätskans fria yta, är dess energi endast gravitationspotential, eftersom dess hastighet är noll och därför är dess kinetiska energi noll. Den potentiella energin Ep ges av:

Ep = mgh

När den passerar framför hålet är dess höjd noll, då är den potentiella energin noll, så den har bara kinetisk energi Ec givet av:

Ec = ½ mv ²

Eftersom energin sparas Ep = Ec från vad som erhålls:

½ mv ² = mgh

Lösning för hastigheten v erhålles sedan Torricelli-formeln:

Vätska kommer ut ur hålet

Nästa kommer vi att hitta vätskans utgångshastighet genom hålet för att visa att det sammanfaller med det som just beräknades för ett fritt fallande föremål.

För detta kommer vi att basera oss på Bernoullis princip, som inte är annat än bevarande av energi som appliceras på vätskor.

Bernoullis princip är formulerad så här:

Tolkningen av denna formel är följande:

• Den första termen representerar vätskans kinetiska energi per volymenhet
• Den andra representerar arbetet som utförs av tryck per tvärsnittsarea
• Den tredje representerar gravitationspotentialenergi per vätskeenhet.

När vi börjar utgå från att det är en idealisk vätska under icke-turbulenta förhållanden med relativt låga hastigheter, är det relevant att bekräfta att den mekaniska energin per volymenhet i vätskan är konstant i alla dess regioner eller tvärsnitt.

I denna formel V är vätskans hastighet, ρ densitet för vätskan, P trycket och z det vertikala läget.

Figuren nedan visar Torricellis formel med utgångspunkt från Bernoullis princip.

Vi tillämpar Bernoullis formel på den fria ytan på vätskan som vi betecknar med (1) och på utgångshålet som vi betecknar med (2). Nollhuvudnivån har valts i linje med utloppshålet.

Under förutsättningen att tvärsnittet i (1) är mycket större än i (2) kan vi då anta att nedstigningshastigheten för vätskan i (1) är praktiskt taget försumbar.

Av detta skäl V ₁ = 0 har ställts in , det tryck som vätskan utsätts för i (1) är atmosfärstryck och höjden mätt från öppningen är h.

För utloppssektionen (2) antar vi att utloppshastigheten är v, trycket till vilket vätskan utsätts för utloppet är också atmosfärstryck och utloppshöjden är noll.

Värdena som motsvarar avsnitten (1) och (2) ersätts i Bernoullis formel och ställs in lika. Jämlikheten gäller eftersom vi antar att vätskan är idealisk och att det inte finns några viskösa friktionsförluster. När alla termer har förenklats erhålls hastigheten vid utgångshålet.

Rutan ovan visar att det erhållna resultatet är detsamma som för ett fritt fallande föremål,

Lösta övningar

Övning 1

I ) Det lilla utloppsröret i en vattentank är 3 m under vattenytan. Beräkna vattenets utgångshastighet.

Lösning:

Följande bild visar hur Torricellis formel används i detta fall.

Övning 2

II ) Antagande att utloppsröret från tanken från föregående övning har en diameter på 1 cm, beräkna vattenutloppsflödet.

Lösning:

Flödeshastighet är den vätskevolym som går ut per tidsenhet och beräknas helt enkelt genom att multiplicera ytan på utgångsöppningen med utgångshastigheten.

Följande bild visar detaljerna i beräkningen.

Övning 3

III ) Bestäm hur hög den fria ytan på vattnet är i en behållare om du vet

att i ett hål i behållarens botten kommer vattnet ut vid 10 m / s.

Lösning:

Även när hålet är i botten av behållaren, kan Torricelli-formeln fortfarande appliceras.

Följande bild visar detaljerna i beräkningarna.

referenser

1. Wikipedia. Torricellis teorem.
2. Hewitt, P. Konceptuell fysisk vetenskap. Femte upplagan .119.
3. Ung, Hugh. 2016. Sears-Zemanskys universitetsfysik med modern fysik. 14: e Pearson. 384.