VARIGNONS SATS: EXEMPEL OCH LÖSTA ÖVNINGAR - MATTE - 2026

Den sats Varignon anges att om någon fyrsiding kontinuerligt anslutna mittpunkterna av sidorna, är en parallellogram genereras. Denna sats formulerades av Pierre Varignon och publicerades 1731 i boken Elements of mathematics.

Publiceringen av boken inträffade år efter hans död. Eftersom det var Varignon som introducerade detta teorem, heter parallellogrammet efter honom. Satsen är baserad på euklidisk geometri och presenterar geometriska förhållanden mellan fyrhjulingarna.

Vad är Varignons sats?

Varignon uppgav att en siffra som definieras av mittpunkterna för en fyrkantig alltid kommer att resultera i ett parallellogram, och arean för parallellogrammet kommer alltid att vara halva arean för fyrkantiga om den är platt och konvex. Till exempel:

I figuren kan du se en fyrkant med ett område X, där sidopunkterna är representerade av E, F, G och H och, när de sammanfogas, bildar ett parallellogram. Det fyrkantiga området kommer att vara summan av områdena av trianglarna som bildas, och hälften av detta motsvarar området för parallellogrammet.

Eftersom parallellogrammets yta är halva kvadrilaterala ytan kan det parallellaogramets omkrets bestämmas.

Således är omkretsen lika med summan av längderna på de fyrkantiga diagonalerna; detta beror på att medianerna för fyrkantiga sidor kommer att vara diagonalerna i parallellogrammet.

Å andra sidan, om längderna på de fyrkantiga diagonalerna är exakt desamma, kommer parallellogrammet att vara en romb. Till exempel:

Från figuren framgår att genom att ansluta sig till mittpunkterna på sidorna på fyrsidan får en romb. Å andra sidan, om de fyrkantiga diagonalerna är vinkelräta, kommer parallellogrammet att vara en rektangel.

Parallellogrammet kommer också att vara en kvadrat när fyrkantiga har diagonalerna med samma längd och de är också vinkelräta.

Teorem uppfylls inte bara i plan fyrhjulingar, det implementeras också i rumslig geometri eller i stora dimensioner; det vill säga i de fyrhjulingar som inte är konvexa. Ett exempel på detta kan vara en oktaeder, där mittpunkterna är centroiderna i varje ansikte och bildar en parallellpiped.

På detta sätt, genom att gå med i olika poängs mittpunkter, kan man få parallellogram. Ett enkelt sätt att kontrollera om detta verkligen är sant är att motsatta sidor måste vara parallella när de förlängs.

exempel

Första exemplet

Förlängning av motsatta sidor för att visa att det är ett parallellogram:

Andra exempel

Genom att gå ihop med mittpunkten för en romb får man en rektangel:

Satsen används i föreningen av punkter belägna i mitten av sidorna på en fyrkantig, och den kan också användas för andra typer av punkter, såsom en resektion, penta-sektion eller till och med ett oändligt antal sektioner ( nth), för att dela upp sidorna på fyrkantiga delar i segment som är proportionella.

Lösta övningar

Övning 1

I figuren har vi en fyrkantig ABCD för område Z, där mittpunkterna på sidorna på detta är PQSR. Kontrollera att ett Varignon-parallellogram bildas.

Lösning

Det kan ses att genom att gå med i PQSR-punkterna bildas ett Varignon-parallellogram, precis för att mittpunkten för en fyrkantig anges i uttalandet.

För att demonstrera detta förenas först mittpunkterna PQSR, så att det kan ses att ytterligare en fyrkantig bildas. För att visa att det är ett parallellogram behöver du bara rita en rak linje från punkt C till punkt A, så att man kan se att CA är parallellt med PQ och RS.

På samma sätt, när sidorna PQRS förlängs, kan man se att PQ och RS är parallella, som visas i följande bild:

Övning 2

Vi har en rektangel så att längden på alla sidor är lika. Genom att gå ihop med mittpunkterna på dessa sidor bildas en romb ABCD, som är uppdelad av två diagonaler AC = 7 cm och BD = 10 cm, som sammanfaller med mätningarna på rektangelns sidor. Bestäm områdena i romb och rektangel.

Lösning

Kom ihåg att området för det resulterande parallellogrammet är hälften av fyrkantigt, kan området för dessa bestämmas medvetet om att måttet på diagonalerna sammanfaller med rektangelns sidor. Så du måste:

AB = D

CD = d

En _rektangel = (AB _* CD) = (10 cm _* 7 cm ) = 70 cm ²

En _romb = En _rektangel / 2

En _romb = 70 cm ² /2 = 35 cm ²

Övning 3

I figuren finns en fyrkant som har föreningen mellan punkterna EFGH, segmentens längder anges. Bestäm om unionen av EFGH är ett parallellogram.

AB = 2,4 CG = 3,06

EB = 1,75 GD = 2,24

BF = 2,88 DH = 2,02

HR = 3,94 HA = 2,77

Lösning

Eftersom segmentens längder anges kan det verifieras om det finns proportionalitet mellan segmenten; det vill säga, du kan veta om de är parallella, relaterar segmenten i fyrkantiga på följande sätt:

- AE / EB = 2,4 / 1,75 = 1,37

- AH / HD = 2,77 / 2,02 = 1,37

- CF / FB = 3,94 / 2,88 = 1,37

- CG / GD = 3,06 / 2,24 = 1,37

Sedan kontrolleras proportionaliteten, eftersom:

AE / EB = AH / HD = CF / FB = CG / GD

På liknande sätt, när man ritar en linje från punkt B till punkt D, kan man se att EH är parallellt med BD, precis som BD är parallellt med FG. Å andra sidan är EF parallellt med GH.

Således kan det fastställas att EFGH är ett parallellogram, eftersom motsatta sidor är parallella.

referenser

1. Andres, T. (2010). Matematisk Olympiad Tresure. Springer. New York.
2. Barbosa, JL (2006). Plan euklidisk geometri. SBM. Rio de Janeiro.
3. Howar, E. (1969). Studie av geometrier. Mexiko: latinamerikansk - amerikansk.
4. Ramo, GP (1998). Okända lösningar på Fermat-Torricelli-problemen. ISBN - Oberoende arbete.
5. Vera, F. (1943). Element av geometri. Bogota
6. Villiers, M. (1996). Några äventyr i euklidisk geometri. Sydafrika.