GRUNDLÄGGANDE TEOREM FÖR ARITMETIK: BEVIS, APPLIKATIONER, ÖVNINGAR - MATTE - 2025

Det grundläggande teoremet om aritmetik säger att varje naturligt antal som är större än 1 kan sönderdelas som en produkt av primtal - vissa kan upprepas - och denna form är unik för det numret, även om faktorns ordning kan vara annorlunda.

Kom ihåg att ett primtal p är ett som bara erkänner sig själv och 1 som positiva delare. Följande siffror är primes: 2, 3, 5, 7, 11, 13 och så vidare, eftersom det finns oändligheter. Nummer 1 betraktas inte som ett primt, eftersom det bara har en delare.

Figur 1. Euklid (vänster) bevisade det grundläggande teoremet om aritmetik i sin bok Elements (350 f.Kr.), och det första fullständiga beviset beror på Carl F. Gauss (1777-1855) (höger). Källa: Wikimedia Commons.

För sin del kallas siffrorna som inte överensstämmer med ovanstående sammansatta nummer, till exempel 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14 … Låt oss ta numret 10 till exempel och omedelbart ser vi att det kan sönderdelas som en produkt av 2 och 5:

10 = 2 × 5

Både 2 och 5 är faktiskt primtal. Satsen säger att detta är möjligt för valfritt nummer n:

Där p ₁ , p ₂ , p ₃ … p _r är primtal och k ₁ , k ₂ , k ₃ , … k _r är naturliga siffror. Så primtalen fungerar som byggstenarna från vilka, genom multiplikation, de naturliga siffrorna är byggda.

Bevis på det grundläggande teoremet om aritmetik

Vi börjar med att visa att varje nummer kan sönderdelas till primära faktorer. Låt vara ett naturligt tal n> 1, prim eller komposit.

Till exempel om n = 2 kan det uttryckas som: 2 = 1 × 2, vilket är primt. På samma sätt fortsätt med följande nummer:

3 = 1 × 3

4 = 2 × 2

5 = 1 × 5

6 = 2 × 3

7 = 1 × 7

8 = 2 × 2 × 2

Vi fortsätter så här och sönderdelar alla naturliga siffror tills vi når siffran n -1. Låt oss se om vi kan göra det med följande nummer: n.

Om n är prim kan vi sönderdela det som n = 1 × n, men antar att n är sammansatt och har en delare d, logiskt sett mindre än n:

1 <d <n.

Om n / d = p ₁ , med p ₁ ett primtal, skrivs n som:

n = p ₁ .d

Om d är prime finns det inget mer att göra, men om det inte är det finns det ett nummer n ₂ som är en delare av d och mindre än detta: n ₂ <d, så d kan skrivas som produkten av n ₂ av en annan primtal p ₂ :

d = p ₂ n ₂

Att när du ersätter det ursprungliga numret n skulle ge:

n = p ₁ .p ₂ .n ₂

Anta nu att n ₂ inte heller är ett primtal och vi skriver det som produkten av ett primtal p ₃ , av dess divisor n ₃ , så att n ₃ <n ₂ <n ₁ <n:

n ₂ = p ₃ .n ₃ → n = p ₁ p ₂ p ₃ .n ₃

Vi upprepar denna procedur ett begränsat antal gånger tills vi får:

n = p ₁ .p ₂ .p ₃ … p _r

Detta innebär att det är möjligt att sönderdela alla heltal från 2 till siffran n, som en produkt av primtal.

Det unika med främsta faktorisering

Låt oss nu verifiera att denna sönderdelning är unik förutom faktorns ordning. Anta att n kan skrivas på två sätt:

n = p ₁ .p ₂ .p ₃ … p _r = q _1. q ₂ .q ₃ … ..q _s (med r ≤ s)

Naturligtvis är q ₁ , q ₂ , q ₃ … även primtal. Eftersom p ₁ delar (q _1. q ₂ .q ₃ … ..q _s ) är p ₁ lika med någon av “q”, det spelar ingen roll vilken, så vi kan säga att p ₁ = q ₁ . Vi delar n med p ₁ och får:

p ₂ .p ₃ … p _r = _. q ₂ .q ₃ … ..q _s

Vi upprepar proceduren tills vi delar upp allt med p _r , då får vi:

1 = q _{r + 1} … q _s

Men det är inte möjligt att komma fram till q _{r + 1} … q _s = 1 när r <s, bara om r = s. Även om man medger att r = s, medges det också att "p" och "q" är desamma. Därför är sönderdelningen unik.

tillämpningar

Som vi har sagt tidigare representerar primtalen, om du vill, atomerna i siffrorna, deras baskomponenter. Så det grundläggande teoremet om aritmetik har många tillämpningar, det mest uppenbara: vi kan arbeta med stora antal lättare om vi uttrycker dem som produkten av mindre antal.

På samma sätt kan vi hitta den största gemensamma multipeln (LCM) och den största gemensamma divisorn (GCF), en procedur som hjälper oss att göra summor av bråk lättare, hitta rötter med stort antal eller arbeta med radikaler, rationalisera och lösa applikationsproblem av mycket mångfaldig natur.

Dessutom är primtal extremt gåtfulla. Ett mönster känns inte ännu hos dem och det är inte möjligt att veta vilket som kommer att vara nästa. Det största hittills hittades av datorer och har 24 862 048 siffror, även om de nya primnumren visas mindre ofta varje gång.

Primtal i naturen

Cikaderna, cicádidos eller cikaderna som lever i nordost av USA uppstår i cykler på 13 eller 17 år. De är båda primtal.

På detta sätt undviker cikaderna att sammanfalla med rovdjur eller konkurrenter som har andra födelseperioder, och de olika varianterna av cikada tävlar inte heller med varandra, eftersom de inte sammanfaller under samma år.

Bild 2. Magicicada-cikaden i östra Förenta staterna dyker upp varje 13 till 17 år. Källa: Pxfuel.

Prime nummer och online shopping

Prime-nummer används i kryptografi för att hålla kreditkortsinformation hemlig när du gör köp via Internet. På detta sätt når uppgifterna att köparen når butiken exakt utan att gå förlorade eller falla i händerna på skrupelfria människor.

Hur? Data på korten är kodade i ett nummer N som kan uttryckas som produkten av primtal. Dessa primtal är nyckeln som uppgifterna avslöjar, men de är okända för allmänheten, de kan bara avkodas på webben som de riktas till.

Att bryta ner ett nummer till faktorer är en enkel uppgift om siffrorna är små (se lösta övningar), men i detta fall används primtal på 100 siffror som nyckel, som vid multiplikation av dem ger mycket större siffror, vars detaljerade sönderdelning innebär en enorm uppgift .

Lösta övningar

- Övning 1

Dela upp 1029 i främsta faktorer.

Lösning

1029 kan delas med 3. Det är känt eftersom summan är en multipel av 3: 1 + 0 + 2 + 9 = 12. eftersom faktorerna inte ändrar produkten kan vi börja där:

1029 3

343

1029 = 3 × 343

Å andra sidan 343 = 7 ³ , sedan:

1029 = 3 × 7 ³ = 3 × 7 × 7 × 7

Och eftersom både 3 och 7 är primtal är detta nedbrytningen av 1029.

- Övning 2

Faktorera trinomialet x ² + 42x + 432.

Lösning

Trinomialet skrivs om i formen (x + a). (x + b) och vi måste hitta värdena på a och b, så att:

a + b = 42; ab = 432

Siffran 432 sönderdelas i primära faktorer och därifrån väljs den lämpliga kombinationen genom försök och fel så att de tillagda faktorerna ger 42.

432 = 2 ⁴ × 3 ³ = 2 × 3 ³ × 2 ³ = 2 ⁴ × 3 ² × 3 = …

Härifrån finns det flera möjligheter att skriva 432:

432 = 16 × 27 = 24 × 18 = 54 × 8 = 6 × 72….

Och allt kan hittas genom att kombinera produkter mellan de främsta faktorerna, men för att lösa den föreslagna övningen är den enda lämpliga kombinationen: 432 = 24 × 18 sedan 24 + 18 = 42, då:

x ² + 42x + 432 = (x + 24). (x +18)

referenser

1. Baldor, A. 1986. Teoretisk praktisk aritmetik. Compañía Cultural Editora de Textos Americanos SA
2. BBC World. Den dolda naturkoden. Återställd från: bbc.com.
3. De Leon, Manuel Primnummer: internetvaktarna. Återställd från: blogs.20minutos.es.
4. UNAM. Number Theory I: Fundamental Theorem of Arithmetic. Återställd från: teoriadenumeros.wikidot.com.
5. Wikipedia. Aritmetikens grundläggande teorem. Återställd från: es.wikipedia.org.