MESH-ANALYS: BEGREPP, METODER, EXEMPEL - FYSISK - 2025

Den mask analys är en teknik som används för att lösa elektriska kretsar plan. Denna procedur kan också visas i litteraturen som metoden för kretsströmmar eller metoden för nätströmmar (eller slingor).

Grunden för denna och andra metoder för elektrisk kretsanalys ligger i Kirchhoffs lagar och Ohms lag. Kirchhoffs lagar är i sin tur uttryck för två mycket viktiga principer för bevarande i fysik för isolerade system: både den elektriska laddningen och energin bevaras.

Figur 1. Kretsar är en del av otaliga enheter. Källa: Pixabay.

Å ena sidan är elektrisk laddning relaterad till ström, som är laddning i rörelse, medan energi i en krets är kopplad till spänning, som är det ansvariga medlet för att utföra det arbete som krävs för att hålla laddningen i rörelse.

Dessa lagar, tillämpade på en platt krets, genererar en uppsättning samtidiga ekvationer som måste lösas för att erhålla ström- eller spänningsvärden.

Ekvationssystemet kan lösas med välkända analytiska tekniker, såsom Cramer's regel, som kräver beräkning av determinanter för att få lösningen av systemet.

Beroende på antalet ekvationer löses de med en vetenskaplig kalkylator eller någon matematisk programvara. Det finns också många alternativ online.

Viktiga villkor

Innan vi förklarar hur det fungerar kommer vi att börja med att definiera dessa villkor:

Gren : sektion som innehåller ett element i kretsen.

Nod : punkt som förbinder två eller flera grenar.

Loop: är varje stängd del av en krets som börjar och slutar vid samma nod.

Mesh : slinga som inte innehåller någon annan slinga inuti (essentiellt nät).

metoder

Mesh-analys är en allmän metod som används för att lösa kretsar vars element är anslutna i serie, parallellt eller på ett blandat sätt, det vill säga när typen av anslutning inte tydligt skiljer sig. Kretsen måste vara platt, eller åtminstone måste det vara möjligt att rita om den som sådan.

Bild 2. Plana och icke-plana kretsar. Källa: Alexander, C. 2006. Fundamentals of Electrical Circuits. 3:e. Utgåva. Mc Graw Hill.

Ett exempel på varje typ av krets visas i figuren ovan. När punkten är klar, för att börja, kommer vi att använda metoden på en enkel krets som ett exempel i nästa avsnitt, men först kommer vi kort igenom lagarna i Ohm och Kirchhoff.

Ohms lag: låt V vara spänningen, R motståndet och jag strömmen för det ohmiska motståndselementet, i vilket spänningen och strömmen är direkt proportionella, motståndet är konstantens proportionalitet:

Kirchhoffs spänningslag (LKV): I alla stängda vägar som bara körts i en riktning är den algebraiska summan av spänningarna noll. Detta inkluderar spänningar på grund av källor, motstånd, induktorer eller kondensatorer: ∑ E = ∑ R _i . jag

Kirchhoffs nuvarande lag (LKC): vid vilken nod som helst är den algebraiska summan av strömmarna noll, med beaktande av att de inkommande strömmarna tilldelas ett tecken och de som lämnar ett annat. På detta sätt: ∑ I = 0.

Med nätströmmetoden är det inte nödvändigt att tillämpa Kirchhoffs nuvarande lag, vilket resulterar i färre ekvationer att lösa.

- Steg för att tillämpa nätanalys

Vi börjar med att förklara metoden för en 2-mesh krets. Proceduren kan sedan förlängas för större kretsar.

Bild 3. Krets med motstånd och källor arrangerade i två nät. Källa: F. Zapata.

Steg 1

Tilldela och dra oberoende strömmar till varje nät, i det här exemplet är de I ₁ och I ₂ . De kan dras antingen medurs eller moturs.

Steg 2

Tillämpa Kirchhoffs lag om spänningar (LTK) och Ohms lag på varje nät. Potentiella fall tilldelas ett tecken (-) medan stigningar tilldelas ett tecken (+).

Mesh abcda

Börjar från punkt a och följer strömriktningen, finner vi en potentiell ökning av batteri E1 (+), sedan ett fall i R ₁ (-) och sedan ytterligare ett fall i R ₃ (-).

Samtidigt, resistansen R ₃ är också korsas av strömmen I ₂ , men i motsatt riktning, därför att det innebär en ökning (+). Den första ekvationen ser ut så här:

Sedan tas det upp och termer grupperas om:

---------

-50 I ₁ + 10I ₂ = -12

Eftersom det är ett 2 x 2-system med ekvationer, kan det lätt lösas genom reduktion, multiplicera den andra ekvationen med 5 för att eliminera det okända I ₁ :

-50 I ₁ + 10 I ₂ = -12

Omedelbart rensas strömmen I ₁ från någon av de ursprungliga ekvationerna:

Det negativa tecknet i strömmen I ₂ innebär att strömmen i masken 2 cirkulerar i motsatt riktning mot den som dras.

Strömmarna i varje motstånd är följande:

Den ström I ₁ = 0,16 A flyter genom motståndet R ₁ i riktningen dras, genom motståndet R ₂ strömmen I ₂ = 0,41 A flyter i motsatt riktning till den som dras, och genom resistansen R ₃ strömmar i ₃ = 0.16- ( -0,41) A = 0,57 A nedåt.

Systemlösning enligt Cramer's metod

I matrisform kan systemet lösas enligt följande:

Steg 1: Beräkna Δ

Den första kolumnen ersätts av de oberoende villkoren i systemet med ekvationer, bibehåller ordningen i vilket systemet ursprungligen föreslogs:

Steg 3: Beräkna I

Steg 4: Beräkna Δ

Figur 4. 3-mesh krets. Källa: Boylestad, R. 2011. Introduktion till kretsanalys.2da. Utgåva. Pearson.

Lösning

De tre nätströmmarna dras, såsom visas i följande figur, i godtyckliga riktningar. Nu passas maskorna med början från vilken punkt som helst:

Bild 5. Meshströmmar för övning 2. Källa: F. Zapata, modifierad från Boylestad.

Mesh 1

-9100.I ₁ + 18-2200.I ₁ + 9100.I ₂ = 0

Mesh 3

System för ekvationer

Även om siffrorna är stora kan det lösas snabbt med hjälp av en vetenskaplig kalkylator. Kom ihåg att ekvationerna måste beställas och lägg till nollor på de platser där det okända inte visas, som det visas här.

Meshströmmarna är:

Strömmarna I ₂ och I ₃ cirkulerar i motsatt riktning än den som visas på figuren, eftersom de visade sig vara negativa.

Tabell över strömmar och spänningar i varje motstånd

Motstånd (Ω)	Ström (ampere)	Spänning = IR (volt)
9100	I 1 –I 2 = 0,0012 - (- 0,00048) = 0,00168	15,3
3300	0,00062	2,05
2200	0,0012	2,64
7500	0,00048	3,60
6800	I 2 –I 3 = -0.00048 - (- 0.00062) = 0,00014	0,95

Cramer's regellösning

Eftersom de är stora är det bekvämt att använda vetenskapliga notationer för att arbeta direkt med dem.

Beräkning av I ₁

De färgade pilarna i 3 x 3-determinanten indikerar hur man hittar de numeriska värdena och multiplicerar de angivna värdena. Låt oss börja med att få de från den första konsolen i determinanten Δ:

(-11300) x (-23400) x (-10100) = -2,67 x 10 ¹²

9100 x 0 x 0 = 0

9100 x 6800 x 0 = 0

Omedelbart erhåller vi den andra konsolen i samma determinant, som arbetas från vänster till höger (för denna fäste ritades inte de färgade pilarna i figuren). Vi inbjuder läsaren att verifiera det:

0 x (-23400) x 0 = 0

9100 x 9100 x (-10100) = -8.364 x 10 ¹¹

6800 x 6800 x (-11300) = -5.225 x 10 ¹¹

På liknande sätt kan läsaren också kontrollera värdena för determinanten Δ ₁ .

Viktigt: mellan båda parenteserna finns det alltid ett negativt tecken.

Slutligen erhålles den nuvarande I ₁ genom I ₁ = Δ ₁ / Δ

Beräkning av I ₂

Proceduren kan upprepas för att beräkna I ₂ , i detta fall, för att beräkna den determinanten Δ ₂ , den andra kolumnen i den determinanten Δ ersättas med kolumnen i de oberoende termer och dess värde hittas, enligt förfarandet förklaras.

Men eftersom det är besvärligt på grund av det stora antalet, särskilt om du inte har en vetenskaplig kalkylator, är det enklaste att ersätta värdet på I _{1 som} redan har beräknats, i följande ekvation och lösa:

Beräkning av I3

En gång med värdena I ₁ och I ₂ i hand, hittas de av I ₃ direkt genom substitution.

referenser

1. Alexander, C. 2006. Fundamentals of Electrical Circuits. 3:e. Utgåva. Mc Graw Hill.
2. Boylestad, R. 2011. Introduktion till kretsanalys.2da. Utgåva. Pearson.
3. Figueroa, D. (2005). Serie: Fysik för vetenskap och teknik. Volym 5. Elektrisk interaktion. Redigerad av Douglas Figueroa (USB).
4. García, L. 2014. Elektromagnetism. 2:a. Utgåva. Industrial University of Santander.
5. Sears, Zemansky. 2016. Universitetsfysik med modern fysik. 14:e. Utg. Volym 2.