ORTONORMAL BAS: EGENSKAPER, EXEMPEL OCH ÖVNINGAR - FYSISK - 2025

En ortonormal bas bildas med vektorer vinkelräta mot varandra och vars modul också är 1 (enhetsvektorer). Låt oss komma ihåg att en bas B i ett vektorutrymme V definieras som en uppsättning linjärt oberoende vektorer som kan generera nämnda utrymme.

I sin tur är ett vektorutrymme en abstrakt matematisk enhet bland vars element är vektorer, generellt associerade med fysiska mängder som hastighet, kraft och förskjutning eller också med matriser, polynomier och funktioner.

Bild 1. Ortonormal bas i planet. Källa: Wikimedia Commons. Quartl.

Vektorer har tre distinkta element: storlek eller modul, riktning och känsla. En ortonormal bas är speciellt användbar för att representera och arbeta med dem, eftersom varje vektor som tillhör ett visst vektorrum V kan skrivas som en linjär kombination av vektorerna som bildar den ortonormala basen.

På detta sätt utförs operationer mellan vektorer, såsom tillägg, subtraktion och de olika produkttyperna som definieras i nämnda utrymme, analytiskt.

Bland de mest använda baserna inom fysiken är basen som bildas av enhetsvektorerna i , j och k som representerar de tre distinkta riktningarna i tredimensionellt rymd: höjd, bredd och djup. Dessa vektorer är också kända som kanoniska enhetsvektorer.

Om vektorerna istället arbetas i ett plan, skulle två av dessa tre komponenter räcka, medan för endimensionella vektorer endast en krävs.

Basernas egenskaper

1- En bas B är den minsta möjliga uppsättning vektorer som genererar vektorutrymmet V.

2- Elementen i B är linjärt oberoende.

3- Vilken som helst bas B i ett vektorutrymme V, tillåter att uttrycka alla V-vektorerna som en linjär kombination av den och denna form är unik för varje vektor. Av detta skäl är B också känt som genereringssystemet.

4- Samma vektorutrymme V kan ha olika baser.

Exempel på baser

Här är flera exempel på orthonormala baser och baser i allmänhet:

Den kanoniska grunden i ℜ

Även kallad naturlig bas eller standardbas av ℜ ⁿ , där ℜ ⁿ är n-dimensionellt rymd, till exempel tredimensionellt rymd är ℜ ³ . Värdet på n kallas dimensionen för vektorutrymmet och benämns dim (V).

Alla vektorer som tillhör ℜ ⁿ representeras av ordnade n-annonser. För utrymmet ℜ ⁿ är den kanoniska grunden:

e ₁ = <1,0,. . . , 0>; e ₂ = <0,1,. . . , 0>; …… .. e _n = <0,0 ,. . . , 1>

I det här exemplet har vi använt notationen med parenteser eller “parenteser” och med fetstil för enhetsvektorerna e ₁ , e ₂ , e ₃ …

Den kanoniska grunden i ℜ

De välkända vektorerna i , j och k erkänner samma representation och alla tre är tillräckliga för att representera vektorerna i ℜ ³ :

i = <1,0,0>; j = <0,1,0>; k = <0,0,1>

Det betyder att basen kan uttryckas så här:

B = {<1,0,0>; <0,1,0>; <0,0,1>}

För att verifiera att de är linjärt oberoende är determinanten som bildas med dem icke-noll och också lika med 1:

Det måste också vara möjligt att skriva vilken vektor som tillhör ℜ ³ som en linjär kombination av dem. Exempelvis skulle en kraft vars rektangulära komponenter är F _x = 4 N, F _y = -7 N och F _z = 0 N skrivas i vektorform så här:

F = <4, -7,0> N = 4 i -7 j + 0 k N.

Därför utgör i , j och k ett generatorsystem på ℜ ³ .

Andra orthonormala baser i ℜ

Standardbasen som beskrivs i föregående avsnitt är inte den enda ortonormala basen i ℜ ³ . Här har vi till exempel baserna:

B ₁ = {; <- sin θ, cos θ, 0>; <0,0,1>}

B ₂ = {<3/5, 4 / 5,0>; <- 4/5, 3 / 5.0>; <0,0,1>}

Det kan visas att dessa baser är ortonormala, för detta kommer vi ihåg de villkor som måste uppfyllas:

-Vectorerna som bildar basen måste vara vinkelräta mot varandra.

-Vardera av dem måste vara enhetliga.

Vi kan verifiera detta genom att veta att determinanten som bildas av dem måste vara icke-noll och lika med 1.

Basen B ₁ är exakt den hos cylindriska koordinater ρ, φ och z, ett annat sätt att uttrycka vektorer i rymden.

Figur 2. Cylindriska koordinater. Källa: Wikimedia Commons. Matematik buff.

Lösta övningar

- Övning 1

Visa att basen B = {<3/5, 4 / 5,0>; <- 4/5, 3 / 5.0>; <0,0,1>} är orthonormal.

Lösning

För att visa att vektorerna är vinkelräta mot varandra kommer vi att använda den skalära produkten, även kallad den interna eller punktprodukten för två vektorer.

Låt alla två vektorer u och v , deras punktprodukt definieras av:

u • v = uv cosθ

För att särskilja vektorerna i deras moduler kommer vi att använda fetstil för de första och normala bokstäverna för den andra. θ är vinkeln mellan u och v, därför om de är vinkelräta betyder det att θ = 90º och den skalära produkten är noll.

Alternativt, om vektorerna ges i termer av deras komponenter: u =x, u _y , u _z > y v =x, v _y , v _z >, den skalära produkten av båda, som är kommuterande, beräknas på detta sätt:

u • v = u _x .v _x + u _y .v _y + u _z .v _z

På detta sätt är skalprodukterna mellan varje vektorpar:

i) <3/5, 4 / 5,0> • <- 4/5, 3 / 5,0> = (3/5). (- 4/5) + (4/5). ((3 / 5) + 0,0 = (-12/25) + (12/25) = 0

ii) <3/5, 4 / 5,0> • <0, 0,1> = 0

iii) <- 4/5, 3 / 5.0> • <0, 0,1> = 0

För det andra villkoret beräknas modulen för varje vektor som erhålls genom:

│u │ = √ (u _x ² + u _y ² + u _z ² )

Således är modulerna för varje vektor:

│ <3/5, 4 / 5,0> │ = √ = √ = √ (25/25) = 1

│ <-4/5, 3 / 5,0> │ = √ = √ = √ (25/25) = 1

│ <0, 0,1> │ = √ = 1

Därför är alla tre enhetsvektorer. Slutligen är determinanten de bildar icke-noll och lika med 1:

- Övning 2

Skriv koordinaterna för vektorn w = <2, 3,1> i termer av basen ovan.

Lösning

För att göra detta används följande teorem:

w = < w • v ₁ > v ₁ + < w • v ₂ > v ₂ + < w • v ₃ > v ₃ + … < w • v _n > v _n

Det betyder att vi kan skriva vektorn i bas B med hjälp av koefficienterna < w • v ₁ >, < w • v ₂ >, … < w • v _n >, för vilka vi måste beräkna de angivna skalprodukterna:

<2, 3,1> • <3/5, 4 / 5,0> = (2). (3/5) + (3). (4/5) + 1.0 = (6/5) + (12 / 5) = 18/5

<2, 3,1> • <- 4/5, 3 / 5,0> = (2). (- 4/5) + (3). (3/5) + 1.0 = (-8/5) + (9/5) = 1/5

<2, 3,1> • <0,0,1> = 1

Med de erhållna skalprodukterna konstrueras en matris, kallad w-koordinatmatrisen.

Därför uttrycks koordinaterna för vektorn w i basen B med:

_B =

Koordinatmatrisen är inte vektorn, eftersom en vektor inte är densamma som dess koordinater. Dessa är bara en uppsättning nummer som tjänar till att uttrycka vektorn i en given bas, inte vektorn som sådan. De beror också på den valda basen.

Slutligen, efter teoremet, skulle vektorn w uttryckas på följande sätt :

w = (18/5) v ₁ + (1/5) v ₂ + v ₃

Med: v ₁ = <3/5, 4 / 5,0>; v ₂ = <- 4/5, 3 / 5.0>; v ₃ = <0,0,1>}, det vill säga vektorerna i basen B.

referenser

1. Larson, R. Grunder för linjär algebra. 6:e. Utgåva. Cengage Learning.
2. Larson, R. 2006. Calculus. 7:e. Utgåva. Volym 2. McGraw Hill.
3. Salas, J. Linear Algebra. Enhet 10. Ortonormala baser. Återställd från: ocw.uc3m.es.
4. Sevilla universitet. Cylindriska koordinater. Vektorbas. Återställd från: laplace.us.es.
5. Wikipedia. Ortonormal bas. Återställd från: es.wikipedia.org.