TYNGDPUNKT: EGENSKAPER, BERÄKNING, EXEMPEL - FYSISK - 2025

Den tyngdpunkt av en kropp av mätbar storlek är den punkt där dess vikt anses som skall appliceras. Det är därför ett av huvudbegreppen i Statics.

Det första tillvägagångssättet i problemen med elementär fysik består i att anta att varje objekt uppträder som en punktmassa, det vill säga att den inte har några dimensioner och all massa är koncentrerad till en enda punkt. Detta gäller för en låda, en bil, en planet eller en subatomär partikel. Denna modell är känd som partikelmodellen.

Bild 1. I höjdhoppningen klarar idrottaren så att hans tyngdpunkt ligger utanför kroppen. Källa: Pixabay

Detta är naturligtvis en approximation, som fungerar mycket bra för många applikationer. Det är inte en lätt uppgift att ta hänsyn till det individuella beteendet hos de tusentals och miljoner partiklar som varje objekt kan innehålla.

Men de verkliga dimensionerna av saker måste beaktas om resultat som är närmare verkligheten ska uppnås. Eftersom vi generellt befinner oss i närheten av jorden, är den ständigt närvarande kraften på varje kropp precis vikten.

Överväganden för att hitta tyngdpunkten

Om kroppsstorlek ska beaktas, var ska specifikt vikt appliceras? När du har ett godtyckligt format kontinuerligt objekt är dess vikt en kraft som fördelas mellan var och en av dess beståndsdelar.

Låt dessa partiklar vara m ₁ , m ₂ , m ₃ … Var och en av dem upplever sin motsvarande gravitationskraft m ₁ g, m ₂ g, m ₃ g …, alla parallella. Detta är så, eftersom jordens gravitationsfält anses konstant i de allra flesta fall, eftersom objekten är små jämfört med planetens storlek och ligger nära ytan.

Bild 2. Objektets vikt är en fördelad massa. Källa: självgjord.

Vektorsumman av dessa krafter resulterar i objektets vikt, applicerad på den punkt som kallas tyngdpunkten betecknad i figuren som CG, som sedan sammanfaller med masscentrumet. Massens centrum i sin tur är den punkt där all massa kan betraktas som koncentrerad.

Den resulterande vikten har magnitud Mg där M är objektets totala massa och naturligtvis riktas vertikalt mot jordens centrum. Sammanfattningsnotationen är användbar för att uttrycka kroppens totala massa:

Tyngdpunkten sammanfaller inte alltid med en materiell punkt. Exempelvis är en ringes CG vid dess geometriska centrum, där det inte finns någon massa själv. Ändå, om du vill analysera krafterna som verkar på en båge måste du tillämpa vikten på denna exakta punkt.

I de fall där objektet har en godtycklig form, om det är homogent, kan dess masscentrum fortfarande beräknas genom att hitta figurens tyngdpunkt eller tyngdpunkt.

Hur beräknas tyngdpunkten?

I princip, om tyngdpunkten (CG) och masscentrumet (cm) sammanfaller när gravitationsfältet är enhetligt, kan cm beräknas och vikten appliceras på den.

Låt oss överväga två fall: det första är ett där massfördelningen är diskret; det vill säga varje massa som utgör systemet kan räknas och tilldelas ett nummer i, som gjordes i föregående exempel.

Koordinaterna för massmitten för en diskret massfördelning är:

Naturligtvis är summan av alla massor lika med den totala massan för systemet M, såsom anges ovan.

De tre ekvationerna reduceras till en kompakt form när man tänker på vektorn r _cm eller positionsvektorn för masscentrum:

Och i fallet med en kontinuerlig massfördelning, där partiklarna är av olika storlek och inte kan särskiljas för att räkna dem, ersätts summan av en integral som görs över den volym som upptas av objektet i fråga:

Där r är positionsvektorn för en differentiell massa dm och definitionen av massdensitet har använts för att uttrycka massdifferensen dm som finns i en volymdifferens dV:

Egenskaper

Några viktiga överväganden kring masscentrum är följande:

- Även om ett referenssystem krävs för att fastställa positionerna beror inte masscentrumet på valet av systemet, eftersom det är en egenskap hos objektet.

- När objektet har en axel eller ett symmetriplan är massans centrum på den axeln eller planet. Att dra fördel av denna omständighet sparar beräkningstid.

- Alla externa krafter som verkar på föremålet kan appliceras på masscentrumet. Att hålla reda på rörelsen på denna punkt ger en översikt över objektets rörelse och gör det lättare att studera dess beteende.

-Finnande av en kropps tyngdpunkt i statisk jämvikt

Antag att du vill göra kroppen till den föregående figuren i statisk jämvikt, det vill säga att den inte översätter eller roterar om en godtycklig rotationsaxel som kan vara O.

Figur 3. Schema för att beräkna viktets vridmoment med avseende på punkt O.

- Löst exempel

En tunn stång av enhetligt material är 6 m lång och väger 30 N. En 50 N vikt hängs vid sin vänstra ände och en 20 N vikt hängs vid sin högra ände. Hitta: a) Storleken på den uppåtgående kraften som är nödvändig för att upprätthålla balansen i stången, b) Tyngdpunkten för enheten.

Lösning

Kraftdiagrammet visas i följande figur. Stångens vikt appliceras på dess tyngdpunkt, som sammanfaller med dess geometriska centrum. Den enda dimensionen av stapeln som beaktas är dess längd, eftersom uttalandet rapporterar att den är tunn.

Bild 4. Diagram över krafter för stången.

För att bar + viktsystemet ska vara kvar i translationell jämvikt måste summan av krafterna vara noll. Krafterna är vertikala, om vi överväger med tecken + och ned med tecken - då:

F- 50 - 20 - 30 N = 0

F = 100 N

Denna kraft garanterar översättningsbalansen. Ta vridningsmoment för alla krafter med avseende på en axel som passerar genom systemets yttersta vänster och tillämpar definitionen:

t = rx F

Stunderna för alla dessa krafter kring den valda punkten är vinkelräta mot balkens plan:

Således:

Tyngdpunkten för stången + viktsuppsättningen ligger 2,10 meter från barns vänstra ände.

Skillnad från massans centrum

Tyngdpunkten sammanfaller med masscentrumet, som indikerat, så länge jordens gravitationsfält är konstant för alla punkter på objektet som ska beaktas. Jordens gravitationsfält är inget annat än det välkända och bekanta värdet av g = 9,8 m / s ² riktat vertikalt nedåt.

Även om värdet på g varierar med latitud och höjd påverkar de vanligtvis inte de objekt som mest diskuteras. Det vore väldigt annorlunda om du betraktar en stor kropp i närheten av jorden, till exempel en asteroid som ligger mycket nära planeten.

Asteroiden har sitt eget masscentrum, men dess tyngdpunkt skulle inte längre behöva sammanfalla med detta, eftersom g troligen skulle uppleva betydande variationer i storleken, med tanke på storleken på asteroiden och att vikterna på varje partikel kanske inte är parallella.

En annan grundläggande skillnad är att masscentrumet finns oavsett om det finns en kraft som kallas vikt applicerad på föremålet eller inte. Det är en inre egenskap hos objektet som avslöjar för oss hur dess massa fördelas i förhållande till dess geometri.

Massmitten finns oavsett om det appliceras vikt eller inte. Och det är beläget i samma position även om objektet flyttar till en annan planet där gravitationsfältet är annorlunda.

Å andra sidan är tyngdpunkten tydligt kopplad till vikten, som vi har sett i de föregående styckena.

Exempel på tyngdpunkt

Tyngdpunkt för oregelbundna föremål

Det är väldigt lätt att ta reda på var tyngdpunkten för ett oregelbundet föremål som en kopp är. Först är den upphängd från vilken punkt som helst och därifrån dras en vertikal linje (i figur 5 är det fuchsia-linjen i den vänstra bilden).

Den hängs sedan upp från en annan punkt och en ny vertikal dras (turkos linje i höger bild). Korsningen mellan båda linjerna är koppens tyngdpunkt.

Figur 5 CG-plats för en mugg. Källa: modifierad från Pixabay.

Balansera föremål

Låt oss analysera stabiliteten hos en lastbil som kör på vägen. När tyngdpunkten ligger över truckens botten kommer trucken inte att välta. Bilden till vänster är den mest stabila positionen.

Bild 6. Balansera trucken. Källa: självgjord.

Även när lastbilen lutar åt höger, kommer den att kunna återgå till ett stabilt jämviktsläge, som i mittdragen, eftersom vertikalen fortfarande passerar genom basen. Men när denna linje går utanför, kommer lastbilen att välta.

Diagrammet visar krafterna vid hjulkretsen: normalt i gult, vikt i grönt och statisk gnugga till vänster i fuchsia. Normal och friktion appliceras på rotationsaxeln, så att de inte utövar vridmoment. Därför kommer de inte att bidra till att välta lastbilen.

Vikten kvarstår, vilket utövar ett vridmoment, lyckligtvis moturs och som tenderar att återföra trucken till dess jämviktsläge. Observera att den vertikala linjen passerar genom stödytan, som är däcket.

När lastbilen är längst till höger ändras viktets vridmoment till medsols. Om det inte går att motverka en annan tid kommer lastbilen att välta.

referenser

1. Bauer, W. 2011. Fysik för teknik och vetenskap. Volym 1. Mc Graw Hill. 247-253.
2. Giancoli, D. 2006. Physics: Principles with Applications. 6: e Ed Prentice Hall. 229-238.
3. Resnick, R. (1999). Fysisk. Vol. 1. 3: e upplagan på spanska. Compañía Editorial Continental SA de CV 331-341.
4. Rex, A. 2011. Fundamentals of Physics. Pearson, 146-155.
5. Sears, Zemansky. 2016. Universitetsfysik med modern fysik. 14:e. Utg. Volym 1.340-346.