En ändlig uppsättning förstås vara vilken uppsättning som helst med ett begränsat eller räknat antal element. Exempel på ändliga uppsättningar är kulorna som finns i en påse, uppsättningen av hus i ett kvarter eller uppsättningen P bildad av de första tjugo (20) naturliga siffrorna:
P = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}
Uppsättningen av stjärnor i universum är säkert enorm, men det är inte känt med säkerhet om det är begränsat eller oändligt. Planeten är dock begränsad i solsystemet.
Figur 1. Uppsättningen av polygoner är ändliga och delmängden av de vanliga också. (Wikimedia Commons)
Antalet element i en ändlig uppsättning kallas dess kardinalitet och för uppsättningen P betecknas den enligt följande: Kort ( P ) eller # P. Den tomma uppsättningen har noll kardinalitet och betraktas som en ändlig uppsättning.
Egenskaper
Bland egenskaperna för ändliga uppsättningar är följande:
1- Föreningen av ändliga uppsättningar ger upphov till en ny begränsad uppsättning.
2- Om två ändliga uppsättningar korsar, resulterar en ny ändlig uppsättning.
3- En delmängd av en ändlig uppsättning är begränsad och dess kardinalitet är mindre än eller lika med den för den ursprungliga uppsättningen.
4- Den tomma uppsättningen är en ändlig uppsättning.
exempel
Det finns många exempel på ändliga uppsättningar. Några exempel inkluderar följande:
Uppsättningen M för årets månader, som i utökad form kan skrivas så här:
M = {januari, februari, mars, april, maj, juni, juli, augusti, september, oktober, november, december}, kardinaliteten hos M är 12.
Uppsättningen S för veckodagarna: S = {måndag, tisdag, onsdag, torsdag, fredag, lördag, söndag}. Kardinaliteten hos S är 7.
Uppsättningen Ñ för bokstäverna i det spanska alfabetet är en ändlig uppsättning, denna uppsättning av förlängningen är skriven så här:
Ñ = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, ñ, o, p, q, r, s, t, u, v, w , x, y, z} och dess kardinalitet är 27.
Uppsättningen V för vokalerna på spanska är en delmängd av uppsättningen Ñ:
V ⊂ Ñ är därför en ändlig uppsättning.
Den ändliga uppsättningen V i omfattande form är skriven så här: V = {a, e, i, o, u} och dess kardinalitet är 5.
Uppsättningar kan uttryckas genom förståelse. Uppsättningen F som består av bokstäverna i ordet "finit" är ett exempel:
F = {x / x är en bokstav i ordet "finite"}
Nämnda uppsättning uttryckt i omfattande form kommer att vara:
F = {f, i, n, t, o} vars kardinalitet är 5 och därför är en ändlig uppsättning.
Fler exempel
Regnbågens färger är ett annat exempel på en ändlig uppsättning, set C för dessa färger är:
C = {röd, orange, gul, grön, cyan, blå, violet} och dess kardinalitet är 7.
Uppsättningen av faserna F of the Moon är ett annat exempel på en ändlig uppsättning:
F = {Nymåne, första kvartalet, fullmåne, sista kvartalet} denna uppsättning har kardinalitet 4.
Bild 2. Solsystemets planeter bildar en ändlig uppsättning. (Pixabay)
En annan begränsad uppsättning är den som bildas av solsystemets planeter:
P = {Mercury, Venus, Earth, Mars, Jupiter, Saturn, Uranus, Neptune, Pluto} of cardinality 9.
Lösta övningar
Övning 1
Följande uppsättning A = {x∊ R / x ^ 3 = 27} ges. Uttryck det i ord och skriv det i förlängning, ange dess kardinalitet och säg om det är ändligt eller inte.
Lösning: Uppsättningen A är uppsättningen med verkliga siffror x så att x kubad av som resultat 27.
Ekvationen x ^ 3 = 27 har tre lösningar: de är x1 = 3, x2 = (-3/2 + 3√3 / 2 i) och x3 = (-3/2 - 3√3 / 2 i). Av de tre lösningarna är bara x1 verklig, medan de andra två är komplexa siffror.
Eftersom definitionen av uppsättning A säger att x tillhör de verkliga siffrorna, är inte lösningarna på de komplexa siffrorna en del av uppsättningen A.
Uppsättningen A uttryckt mycket är:
A = {3}, vilket är en ändlig uppsättning av kardinalitet 1.
Övning 2
Skriv i symbolisk form (genom förståelse) och i omfattande form uppsättningen B av verkliga siffror som är större än 0 (noll) och mindre än eller lika med 0 (noll). Ange dess kardinalitet och om den är begränsad eller inte.
Lösning: B = {x∊ R / 0 <x <= 0}
Uppsättningen B är tom eftersom ett verkligt antal x inte kan vara samtidigt större och mindre än noll, precis som det inte kan vara 0 och också mindre än 0.
B = {} och dess kardinalitet är 0. Den tomma uppsättningen är en ändlig uppsättning.
Övning 3
Uppsättningen S för lösningarna i en viss ekvation ges. Uppsättningen S genom förståelse är skriven så här:
S = {x∊ R / (x-3) (x ^ 2 - 9x + 20) = 0}
Skriv nämnda uppsättning i omfattande form, ange dess kardinalitet och ange om det är en ändlig uppsättning eller inte.
Lösning: Först, när man analyserar uttrycket som beskriver uppsättningen S, erhålls det att det är en uppsättning verkliga x-värden som är lösningar i ekvationen:
(x-3) (x ^ 2 - 9x + 20) = 0 (*)
En lösning av denna ekvation är x = 3, som är ett reellt tal och därför tillhör S. Men det finns fler lösningar som kan erhållas genom att leta efter lösningarna i den kvadratiska ekvationen:
(x ^ 2 - 9x + 20) = 0
Ovanstående uttryck kan tas upp på följande sätt:
(x - 4) (x - 5) = 0
Som leder oss till ytterligare två lösningar av den ursprungliga ekvationen (*) som är x = 4 och x = 5. Kort sagt har ekvation (*) lösningar 3, 4 och 5.
Uppsättningen S uttryckt i omfattande form ser ut så här:
S = {3, 4, 5}, som har kardinalitet 3 och därför är en ändlig uppsättning.
Övning 4
Det finns två uppsättningar A = {1, 5, 7, 9, 11} och B = {x ∊ N / x är jämnt ^ x <10}.
Skriv uppsättningen B uttryckligen och hitta föreningen med uppsättningen A. Hitta också avlyssningen av dessa två uppsättningar och avslut.
Lösning: uppsättningen B består av de naturliga siffrorna så att de är jämna och också är mindre än värdet 10, därför i uppsättning B i omfattande form skrivs det enligt följande:
B = {2, 4, 6, 8}
Föreningen mellan set A och set B är:
AUB = {1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11}
och avlyssningen av uppsättning A med uppsättning B skrivs så här:
A ⋂ B = {} = Ø är den tomma uppsättningen.
Det bör noteras att förening och avlyssning av dessa två ändliga set leder till nya uppsättningar, som i sin tur också är begränsade.
referenser
- Fuentes, A. (2016). GRUNDLÄGGANDE MATH. En introduktion till kalkyl. Lulu.com.
- Garo, M. (2014). Matematik: kvadratiska ekvationer: Hur löser en kvadratisk ekvation. Marilù Garo.
- Haeussler, EF, & Paul, RS (2003). Matematik för ledning och ekonomi. Pearson Education.
- Jiménez, J., Rodríguez, M., Estrada, R. (2005). Matematik 1 SEP. Tröskel.
- Preciado, CT (2005). Matematikskurs 3: e. Redaktörsprogreso.
- Matematik 10 (2018). "Exempel på ändliga uppsättningar". Återställd från: matematicas10.net
- Rock, NM (2006). Algebra I Is Easy! Så enkelt. Team Rock Press.
- Sullivan, J. (2006). Algebra och trigonometri. Pearson Education.
- Wikipedia. Finite set. Återställd från: es.wikipedia.com