SFÄRISKA KOORDINATER: EXEMPEL OCH LÖSTA ÖVNINGAR - MATTE - 2025

De sfäriska koordinaterna är en uppsättning av platspunkter i tredimensionellt utrymme bestående av en radiell koordinat och två vinklade koordinater som kallas polär koordinat och azimutalkoordinat.

Figur 1, som vi ser nedan, visar de sfäriska koordinaterna (r, θ, φ) för en punkt M. Dessa koordinater hänvisas till ett ortogonalt system för kartesiska axlar X, Y, Z med ursprung O.

Figur 1. Sfäriska koordinater (r, θ, φ) för en punkt M. (wikimedia commons)

I detta fall är koordinaten r för punkt M avståndet från den punkten till ursprunget O. Den polära koordinaten θ representerar vinkeln mellan den positiva halvaxeln Z och radievektorn OM. Medan azimutalkoordinaten φ är vinkeln mellan den positiva halvaxeln X och radievektorn OM ', där M' är den ortogonala projektionen av M på XY-planet.

Den radiella koordinaten r tar bara positiva värden, men om en punkt är belägen vid ursprunget är r = 0. Den polära koordinaten θ tar som ett minimivärde 0º för punkter belägna på den positiva halvaxeln Z och ett maximivärde 180º för punkterna är beläget på den negativa halvaxeln Z. Slutligen tar azimutalkoordinaten φ som ett minimivärde 0º och en maximal höjd på 360º.

0 ≤ r <∞

0 ≤ θ ≤ 180º

0 ≤ φ <360º

Ändring av koordinater

Därefter kommer formlerna som gör det möjligt att erhålla de kartesiska koordinaterna (x, y, z) för en punkt M, under förutsättning att de sfäriska koordinaterna för samma punkt (r, θ, φ) är kända:

x = r Sen (θ) Cos (φ)

y = r Sen (θ) Sen (φ)

z = r Cos (θ)

På samma sätt är det användbart att hitta förhållandena mellan de kartesiska koordinaterna (x, y, z) för en given punkt till de sfäriska koordinaterna för nämnda punkt:

r = √ (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2)

θ = Arctan (√ (x ^ 2 + y ^ 2) / z)

φ = Arctan (y / x)

Vektorbas i sfäriska koordinater

Från de sfäriska koordinaterna definieras en ortonormal bas av basvektorer, vilka betecknas med Ur , Uθ , Uφ . I figur 1 visas dessa tre enhetsvektorer som har följande egenskaper:

- Ur är enhetsvektorn tangent till den radiella linjen θ = ctte och φ = ctte;

- Uθ är enhetsvektorn tangent till bågen φ = ctte och r = ctte;

- Uφ är enhetsvektorn tangent till bågen r = ctte och θ = ctte.

Linje- och volymelement i sfäriska koordinater

Positionsvektorn för en punkt i rymden i sfäriska koordinater är skriven så här:

r = r Ur

Men en oändlig variation eller förskjutning av en punkt i tredimensionellt rymd, i dessa koordinater, uttrycks av följande vektorrelation:

d r = dr Ur + r dθ Uθ + r Sen (θ) d φ Uφ

Slutligen skrivs en infinitesimal volym dV i sfäriska koordinater så här:

dV = r ^ 2 Sen (θ) dr dθ dφ

Dessa förhållanden är mycket användbara för att beräkna linje- och volymintegraler i fysiska situationer med sfärisk symmetri.

Förhållande till geografiska koordinater

Geografiska koordinater förstås vara de som tjänar till att hitta platser på jordens yta. Detta system använder koordinaterna för latitud och longitud för att lokalisera positionen på jordens yta.

I det geografiska koordinatsystemet antas jordens yta vara sfärisk med radien Rt, även om det är känt att plattas vid polerna, och en uppsättning imaginära linjer som kallas paralleller och meridianer beaktas.

Bild 2. En observatörs längd α och latitud β på jordens yta.

Latitud β är en vinkel som bildas av en radie som startar från jordens centrum till den punkt du vill placera. Det mäts från ekvatorialplanet, som visas i figur 2. Å andra sidan är longituden a den vinkel som meridianen hos den punkt som befinner sig bildar med avseende på nollmeridianen (känd som Greenwich-meridianen).

Latitud kan vara norr eller södra latitud, beroende på om platsen du befinner dig är på den norra halvklotet eller den södra halvklotet. På samma sätt kan longituden vara väster eller öster beroende på om platsen är väster eller öster om nollmeridianen.

Formler för att ändra från geografiskt till sfäriskt

För att få dessa formler är det första att skapa ett koordinatsystem. XY-planet väljs för att sammanfalla med ekvatorialplanet, varvid den positiva X-halvaxeln är den som går från jordens centrum och passerar genom nollmeridianen. I sin tur passerar Y-axeln genom meridianen 90 ° E. Jordytan har en radie Rt.

Med detta koordinatsystem ser transformationerna från geografiskt till sfäriskt ut så här:

αEpN → (Rt, θ = 90º-ß, φ = α)

αOpN → (Rt, θ = 90º-ß, φ = 360º-α)

αEpS → (Rt, θ = 90º + ß, φ = α)

αOpS → (Rt, θ = 90º + ß, φ = 360º-α)

exempel

Exempel 1

De geografiska koordinaterna för Palma de Mallorca (Spanien) är:

East Latitude 38.847º och North Latitude 39.570º. För att bestämma de sfäriska koordinaterna som motsvarar Palma de Mallorca, används den första av formlerna i formlerna i föregående avsnitt:

38,847ºE39,570ºN → (r = 6371 km, θ = 90º-39,570º, φ = 38,847º)

Så de sfäriska koordinaterna är:

Palma de Mallorca: (r = 6371 km, θ = 50,43 º, φ = 38,85º)

I det föregående svaret har r tagits lika med jordens genomsnittliga radie.

Exempel 2

Att veta att öarna i Malvinas (Falkland) har geografiska koordinater på 59ºO 51,75ºS, bestämmer motsvarande polära koordinater. Kom ihåg att X-axeln går från jordens centrum till 0 ° meridianen och på ekvatorialplanet; Y-axeln också i ekvatorialplanet och passerar genom 90 ° västmeridianen; slutligen Z-axeln på jordens rotationsaxel i syd-nord-riktningen.

För att hitta motsvarande sfäriska koordinater använder vi formlerna i föregående avsnitt:

59ºO 51,75ºS → (r = 6371 km, θ = 90º + 51,75º, φ = 360º-59º) som är

Malvinas: (r = 6371 km, θ = 141.75º, φ = 301º)

övningar

Övning 1

Hitta de kartesiska koordinaterna för Palma de Mallorca i XYZ-kartesiska referenssystemet som visas i figur 2.

Lösning: Tidigare, i exempel 1, erhölls de sfäriska koordinaterna med utgångspunkt från de geografiska koordinaterna i Palma de Mallorca. Så formlerna som presenteras ovan kan användas för att gå från sfäriska till kartesiska:

x = 6371 km Sen (50,43 º) Cos (38,85 º)

y = 6371 km Sen (50,43 º) Sen (38,85 º)

z = 6371 km Cos (50,43 º)

Utför motsvarande beräkningar vi har:

Palma de Mallorca: (x = 3825 km, y = 3081 km, z = 4059)

Övning 2

Hitta de kartesiska koordinaterna för Falklandsöarna i XYZ-kartesiska referenssystemet som visas i figur 2.

Lösning: Tidigare, i exempel 2, erhölls de sfäriska koordinaterna från de geografiska koordinaterna på Malvinasöarna. Så formlerna som presenteras ovan kan användas för att gå från sfäriska till kartesiska:

x = 6371 km Sen (141,75º) Cos (301º)

y = 6371 km Sen (141,75 °) Sen (301 °)

z = 6371 km Cos (141,75º)

Genom att utföra motsvarande beräkningar får vi:

Falklandsöarna: (x = 2031 km, y = -3381 km, z = -5003)

referenser

1. Arfken G och Weber H. (2012). Matematiska metoder för fysiker. En omfattande guide. 7: e upplagan. Academic Press. ISBN 978-0-12-384654-9
2. Beräkning cc. Löst problem med cylindriska och sfäriska koordinater. Återställd från: calculo.cc
3. Astronomiverkstad. Latitud och longitud. Återställd från: tarifamates.blogspot.com/
4. Weisstein, Eric W. "Sfäriska koordinater." Från MathWorld-A Wolfram Web. Återställd från: mathworld.wolfram.com
5. wikipedia. Sfäriskt koordinatsystem. Återställd från: en.wikipedia.com
6. wikipedia. Vektorfält i cylindriska och sfäriska koordinater. Återställd från: en.wikipedia.com