HUR MÅNGA LÖSNINGAR HAR EN KVADRATISK EKVATION? - MATTE - 2025

En kvadratisk ekvation eller kvadratisk ekvation kan ha noll, en eller två verkliga lösningar, beroende på koefficienterna som visas i nämnda ekvation.

Om du arbetar med komplexa siffror kan du säga att varje kvadratisk ekvation har två lösningar.

Till att börja med är en kvadratisk ekvation en ekvation med formen ax² + bx + c = 0, där a, b och c är verkliga siffror och x är en variabel.

Det sägs att x1 är en lösning av den tidigare kvadratiska ekvationen om ersättning av x med x1 uppfyller ekvationen, det vill säga om a (x1) ² + b (x1) + c = 0.

Om vi ​​till exempel har ekvationen x²-4x + 4 = 0, är ​​x1 = 2 en lösning eftersom (2) ²-4 (2) + 4 = 4-8 + 4 = 0.

Tvärtom, om vi ersätter x2 = 0 får vi (0) ²-4 (0) + 4 = 4 och eftersom 4 ≠ 0 är x2 = 0 inte en lösning av kvadratisk ekvation.

Lösningar av en kvadratisk ekvation

Antalet lösningar i en kvadratisk ekvation kan delas upp i två fall som är:

ett.-

När man arbetar med verkliga siffror kan kvadratiska ekvationer ha:

Nolllösningar: det finns inget verkligt tal som uppfyller kvadratisk ekvation. Exempelvis, ekvationen som ges ekvationen x² + 1 = 0, det finns inget sådant reellt tal som tillfredsställer nämnda ekvation, eftersom båda x² är större än eller lika med noll och 1 strikt är större än noll, så deras summa blir större strikt än noll.

-En upprepad lösning: det finns ett enda verkligt värde som uppfyller kvadratisk ekvation. Till exempel är den enda lösningen på ekvationen x²-4x + 4 = 0 x1 = 2.

-Två olika lösningar: det finns två värden som uppfyller kvadratisk ekvation. Exempelvis har x² + x-2 = 0 två olika lösningar som är x1 = 1 och x2 = -2.

2.- I komplexa siffror

När man arbetar med komplexa siffror har kvadratiska ekvationer alltid två lösningar som är z1 och z2 där z2 är konjugatet för z1. De kan också klassificeras i:

-Komplex: lösningarna har formen z = p ± qi, där p och q är verkliga siffror. Detta fall motsvarar det första fallet i föregående lista.

-Pure Complexes: är när den verkliga delen av lösningen är lika med noll, det vill säga, lösningen har formen z = ± qi, där q är ett reellt tal. Detta fall motsvarar det första fallet i föregående lista.

-Komplex med en imaginär del lika med noll: det är när den komplexa delen av lösningen är lika med noll, det vill säga lösningen är ett verkligt tal. Detta fall motsvarar de två sista fallen i den föregående listan.

Hur hittas lösningarna för en kvadratisk ekvation?

För att beräkna lösningarna i en kvadratisk ekvation används en formel som kallas "upplösningen" som säger att lösningarna för en ekvation ax² + bx + c = 0 ges av uttrycket i följande bild:

Mängden som förekommer inom kvadratroten kallas den kvadratiska ekvationens diskriminant och betecknas med bokstaven "d".

Den kvadratiska ekvationen kommer att ha:

-Två verkliga lösningar om, och bara om, d> 0.

-En verklig lösning upprepas om, och bara om, d = 0.

-Noll verkliga lösningar (eller två komplexa lösningar) om, och bara om, d <0.

Exempel:

-Lösningarna för ekvationen x² + x-2 = 0 ges av:

-Vekvationen x²-4x + 4 = 0 har en upprepad lösning som ges av:

-Lösningarna för ekvationen x² + 1 = 0 ges av:

Som kan ses i detta sista exempel är x2 konjugatet av x1.

referenser

1. Fuentes, A. (2016). GRUNDLÄGGANDE MATH. En introduktion till kalkyl. Lulu.com.
2. Garo, M. (2014). Matematik: kvadratiska ekvationer: Hur löser en kvadratisk ekvation. Marilù Garo.
3. Haeussler, EF, & Paul, RS (2003). Matematik för ledning och ekonomi. Pearson Education.
4. Jiménez, J., Rofríguez, M., & Estrada, R. (2005). Matematik 1 SEP. Tröskel.
5. Preciado, CT (2005). Matematikskurs 3: e. Redaktörsprogreso.
6. Rock, NM (2006). Algebra I Is Easy! Så enkelt. Team Rock Press.
7. Sullivan, J. (2006). Algebra och trigonometri. Pearson Education.