REP (GEOMETRI): LÄNGD, SATS OCH ÖVNINGAR - MATTE - 2025

Ett ackord , i plangeometri, är linjesegmentet som sammanfogar två punkter på en kurva. Linjen som innehåller detta segment sägs vara en säker linje mot kurvan. Detta är ofta en cirkel, men ackord kan säkert dras på många andra kurvor, till exempel ellipser och parabol.

I figur 1 till vänster finns en kurva till vilken punkter A och B. Tillhör ackordet mellan A och B är det gröna segmentet. Till höger är en omkrets och en av dess strängar, eftersom det är möjligt att dra oändlighet.

Bild 1. Till vänster är ackordet för en godtycklig kurva och till höger ackordets cirkel. Källa: Wikimedia Commons.

I omkretsen är dess diameter särskilt intressant, vilket också kallas det stora ackordet. Det är ett ackord som alltid innehåller mitten av omkretsen och mäter två gånger radien.

Följande bild visar radien, diametern, ett ackord och även en omkretsbåge. Att korrekt identifiera var och en är viktigt när man löser problem.

Bild 2. Omkretsdelar. Källa: Wikimedia Commons.

Akkordlängd på en cirkel

Vi kan beräkna längden på ackordet i en cirkel från figurerna 3a och 3b. Observera att en triangel alltid är utformad med två lika sidor (isosceles): segment OA och OB, som mäter R, omkretsens radie. Den tredje sidan av triangeln är segment AB, kallat C, som exakt är längden på ackordet.

Det är nödvändigt att rita en linje vinkelrätt mot ackordet C för att halvera vinkeln θ som finns mellan de båda radierna och vars toppunkt är centrum O för omkretsen. Detta är en central vinkel - eftersom dess topp är mittpunkten - och halvlinjelinjen är också en sektion mot omkretsen.

Två högra trianglar bildas omedelbart, vars hypotenus mäter R. Eftersom bisektorn, och med den diametern, delar upp ackordet i två lika delar, visar det sig att ett av benen är hälften av C, såsom indikeras i Figur 3b.

Från definitionen av sinus av en vinkel:

sin (θ / 2) = motsatt ben / hypotenuse = (C / 2) / R

Således:

sin (θ / 2) = C / 2R

C = 2R sin (θ / 2)

Figur 3. Triangeln som bildas av två radier och ett omkretsackord är likställt (figur 3), eftersom den har två lika sidor. Halvdelaren delar upp den i två högra trianglar (figur 3b). Källa: utarbetad av F. Zapata.

Strängsats

Strängsatsen går så här:

Följande figur visar två ackord med samma omkrets: AB och CD, som korsar varandra vid punkt P. I ackordet AB definieras segmenten AP och PB, medan i ackordet definieras CD CP och PD. Så enligt teoremet:

AP. PB = CP. P.S.

Figur 4. En ackordsats i en cirkel. Källa: F. Zapata.

Lösta strängarövningar

- Övning 1

En cirkel har ett 48 cm ackord, som är 7 cm från mitten. Beräkna cirkelns yta och omkretsens omkrets.

Lösning

För att beräkna arean för cirkel A räcker det att känna till radien för kvadratens omkrets, eftersom det är sant:

A = π.R ²

Nu är figuren som bildas med de tillhandahållna uppgifterna en höger triangel, vars ben är 7 respektive 24 cm.

Bild 5. Geometri för den lösta övningen 1. Källa: F. Zapata.

Därför, för att hitta värdet på R ² , Pythagoras sats c ² = a ² + b ² appliceras direkt , eftersom R är hypotenusan av triangeln:

R ² = (7 cm) ² + (24 cm) ² = 625 cm ²

Så det begärda området är:

A = π. 625 cm ² = 1963,5 cm ²

Beträffande omkretsens längd eller längd L beräknas den med:

L = 2π. R

Att ersätta värden:

R = √625 cm ² = 25 cm

L = 2π. 25 cm = 157,1 cm.

- Övning 2

Bestäm längden på ackorden för en cirkel vars ekvation är:

x ² + y ² - 6x - 14y -111 = 0

Koordinaterna för ackordets mittpunkt är kända för att vara P (17/2; 7/2).

Lösning

Mittpunkten för ackordet P tillhör inte omkretsen, men ackordens slutpunkter gör det. Problemet kan lösas med hjälp av den tidigare angivna strängsatsen, men först är det bekvämt att skriva ekvationsekvationen i kanonisk form för att bestämma dess radie R och dess centrum O.

Steg 1: erhålla den kanoniska ekvationen för omkretsen

Den kanoniska ekvationen för cirkeln med centrum (h, k) är:

(xh) ² + (yk) ² = R ²

För att få det måste du fylla i rutor:

(x ² - 6x) + (y ² - 14y) -111 = 0

Observera att 6x = 2. (3x) och 14y = 2. (7y), så att det föregående uttrycket skrivs om så här, förblir oförändrat:

(x ² - 6x + 3 ² -3 ² ) + (y ² - 14y + 7 ² -7 ² ) -111 = 0

Och nu, ihåg definitionen av anmärkningsvärd produkt (ab) ² = a ² - 2ab + b ^{2 kan} du skriva:

(x - 3) ² - 3 ² + (y - 7) ² - 7 ² - 111 = 0

= (x - 3) ² + (y - 7) ² = 111 + 3 ² + 7 ² → (x - 3) ² + (y - 7) ² = 169

Omkretsen har centrum (3,7) och radien R = √169 = 13. Följande bild visar kurvan för omkretsen och ackorden som kommer att användas i teorem:

Bild 6. Diagram över omkretsen för den lösta övningen 2. Källa: F. Zapata med Mathway online-grafkalkylator.

Steg 2: bestäm segmenten som ska användas i strängsatsen

Segmenten som ska användas är strängarna CD och AB, enligt figur 6, båda skärs vid punkt P, därför:

CP. PD = AP. PB

Nu kommer vi att hitta avståndet mellan punkterna O och P, eftersom det kommer att ge oss längden på segmentet OP. Om vi ​​lägger till radien till denna längd har vi segmentet CP.

Avståndet d _OP mellan två koordinatpunkter (x ₁ , y ₁ ) och (x ₂ , y ₂ ) är:

d _OP ² = OP ² = (x ₂ - x ₁ ) ² + (y ₂ - y ₁ ) ² = (3- 17/2) ² + (7- 7/2) ² = 121/4 + 49/4 = 170/4

d _OP = OP = √170 / 2

Med alla erhållna resultat, plus diagrammet, konstruerar vi följande lista över segment (se figur 6):

CO = 13 cm = R

OP = √170 / 2 cm

CP = OP + R = 13 + √170 / 2 cm

PD = OD - OP = 13 - √170 / 2 cm

AP = PB

2.AP = ackordslängd

Att ersätta strängsatsen:

CP. PD = AP. PB = = AP ²

= AP ²

253/2 = AP ²

AP = √ (253/2)

Längden på strängen är 2.AP = 2 (√253 / 2) = √506

Kan läsaren lösa problemet på ett annat sätt?

referenser

1. Baldor, A. 2004. Plane and Space Geometry with Trigonometry. Publicaciones Cultural SA de CV México.
2. C-K12. Längd på ett ackord. Återställd från: ck12.org.
3. Escobar, J. The Circumference. Återställd från: matematicas.udea.edu.co.
4. Villena, M. Cónicas. Återställd från: dspace.espol.edu.ec.
5. Wikipedia. Rep (geometri). Återställd från: es.wikipedia.org.