DERIVAT AV COTANGENT: BERÄKNING, BEVIS, ÖVNINGAR - MATTE - 2026

Den derivatet av cotangens är lika med motsatsen till kvadraten på cosekant "-Csc ² ". Denna formel följer derivatlagarna per definition och differentiering av trigonometriska funktioner. Det betecknas på följande sätt:

d (ctg u) = -csc ² u. du

Där "du" symboliserar uttrycket härrörande från argumentfunktionen, med avseende på den oberoende variabeln.

Källa: Pixabay.com

Hur beräknas det?

Förfarandet för att utveckla dessa derivat är ganska enkelt. Det räcker bara för att korrekt identifiera argumentet och vilken typ av funktion det representerar.

Exempelvis har uttrycket Ctg (f / g) en uppdelning i sitt argument. Detta kommer att kräva en differentiering beträffande U / V, efter att utveckla derivatet av kotangenten.

Kotangenten är det ömsesidiga av tangenten. Algebraiskt innebär detta att:

(1 / tg x) = ctg x

Ctg x = Cos x / Sen x

Det är felaktigt att säga att cotangentfunktionen är tangenten "invers". Detta beror på att den omvända tangentfunktionen per definition är bågens tangens.

(Tg ^-1 x) = arctg x

Enligt Pythagorean trigonometri är kotangenten involverad i följande avsnitt:

Ctg x = (cos x) / (sin x)

Ctg ² x + 1 = Csc ² x

Enligt analytisk trigonometri svarar den på följande identiteter:

Ctg (a + b) = (1 - tg a. Tg b) / (tg a + tg b)

Ctg (a - b) = (1 + tg a. Tg b) / (tg a - tg b)

Ctg (2a) = (1 - tg ² a) / (2TG a)

Egenskaper för cotangentfunktionen

Det är nödvändigt att analysera olika egenskaper hos funktionen f (x) = ctg x för att definiera de aspekter som är nödvändiga för att studera dess differentiabilitet och tillämpning.

Vertikala asymptoter

Cotangentfunktionen definieras inte på de värden som gör uttrycket "Senx" noll. På grund av dess ekvivalenta Ctg x = (cos x) / (sin x) kommer den att ha en obestämdhet i alla "nπ" med n som hör till heltalen.

Det vill säga, i vart och ett av dessa värden på x = nπ kommer det att finnas en vertikal asymptot. När du närmar dig från vänster kommer värdet på cotangenten att minska snabbt, och när du närmar dig från höger kommer funktionen att öka på obestämd tid.

Domän

Domänen för cotangentfunktionen uttrycks av uppsättningen {x ∈ R / x ≠ nπ, n ∈ Z}. Detta läses som "x som tillhör uppsättningen verkliga siffror så att x skiljer sig från nπ, med n som tillhör uppsättningen heltal".

Rang

Området för cotangentfunktionen är från minus till plus oändlighet. Därför kan man dra slutsatsen att dess rangordning är uppsättningen verkliga siffror R.

Frekvens

Cotangentfunktionen är periodisk och dess period är lika med π. På detta sätt uppfylls jämställdheten Ctg x = Ctg (x + nπ), där n tillhör Z.

Beteende

Det är en udda funktion eftersom Ctg (-x) = - Ctg x. På detta sätt är det känt att funktionen presenterar en symmetri med avseende på koordinatursprung. Det visar också en minskning av varje intervall som ligger mellan två på varandra följande vertikala asymptoter.

Den har inte högsta eller lägsta värden på grund av att dess approximationer till de vertikala asymptotema uppvisar beteenden där funktionen ökar eller minskar på obestämd tid.

Nollorna eller rötterna till cotangentfunktionen finns på udda multiplar av π / 2. Detta betyder att Ctg x = 0 gäller för värden i formen x = nπ / 2 med ett udda heltal.

Demonstration

Det finns två sätt att bevisa derivatet av cotangentfunktionen.

Trigonometriskt differentiellt bevis

Derivatet av cotangentfunktionen från dess ekvivalent i sines och kosinus bevisas.

Det behandlas som ett derivat av en funktionsdelning

Efter härledningen grupperas faktorerna och syftet är att emulera de Pythagoreiska identiteterna

Att ersätta identiteterna och tillämpa ömsesidighet, uttrycket

Bevis per definition av derivat

Följande uttryck motsvarar det derivat per definition. Där avståndet mellan 2 punkter i funktionen närmar sig noll.

Att ersätta den cotangent vi har:

Identiteter används för summan av argument och ömsesidighet

Fraktionen av telleren används traditionellt

Att eliminera motsatta element och ta en gemensam faktor får vi

Tillämpa Pythagorean identiteter och ömsesidighet vi måste

Elementen utvärderade i x är konstanta med avseende på gränsen, därför kan de lämna argumentet om detta. Sedan tillämpas trigonometriska gränser.

Gränsen utvärderas

Sedan tas det upp tills det önskade värdet har uppnåtts

Derivat av kotangenten visas sålunda som motsatsen till kosekantens kvadrat.

Lösta övningar

Övning 1

Baserat på funktionen f (x), definiera uttrycket f '(x)

Motsvarande derivat tillämpas med respekt för kedjeregeln

Avleda argumentet

Ibland är det nödvändigt att tillämpa ömsesidiga eller trigonometriska identiteter för att anpassa lösningarna.

Övning 2

Definiera det differentiella uttrycket som motsvarar F (x)

Enligt härledningsformeln och respekten för kedjeregeln

Argumentet härleds medan resten förblir detsamma

Härleda alla element

Arbetar på ett traditionellt sätt produkter från samma bas

De lika elementen läggs till och den gemensamma faktorn extraheras

Skyltar förenklas och manövreras. Att ge väg till det fullt härledda uttrycket

referenser

1. Trigonometric Series, Volym 1. A. Zygmund. Cambridge University Press, 2002
2. Beräkning av en enda variabel. Ron Larson, Bruce H. Edwards. Cengage Learning, 10 nov 2008
3. Beräkning med trigonometri och analytisk geometri. John H. Saxon, John Saxon, Frank Wang, Diana Harvey. Saxon Förlag, 1988
4. Multivariabel analys. Satish Shirali, Harkrishan Lal Vasudeva. Springer Science & Business Media, 13 dec. 2010
5. Systemdynamik: modellering, simulering och kontroll av mekatroniska system. Dean C. Karnopp, Donald L. Margolis, Ronald C. Rosenberg. John Wiley & Sons, 7 mar 2012
6. Calculus: Matematik och modellering. William Bauldry, Joseph R. Fiedler, Frank R. Giordano, Ed Lodi, Rick Vitray. Addison Wesley Longman, 1 jan 1999