IMPLICITA DERIVAT: HUR DE LÖSES OCH ÖVNINGAR LÖSES - MATTE - 2026

De implicita derivat är verktyg som används i en differentieringsteknik som används för funktioner. De tillämpas när det inte är möjligt under vanliga metoder att lösa för den beroende variabeln som ska härledas. Detta spel utförs som en funktion av den oberoende variabeln.

I uttrycket 3xy ³ - 2y + xy ² = xy kan till exempel inte uttrycket som definierar “y” som en funktion av “x” erhållas. Så att genom att härleda det differentiella uttrycket dy / dx kan erhållas.

Hur löses implicita derivat?

För att lösa ett implicit derivat börjar vi med ett implicit uttryck. Exempel: 3xy ³ - 2y + xy ² - xy = 0. Detta har redan lösts korrekt, men detta är inte ett nödvändigt villkor för att erhålla derivatet av y med avseende på x. Sedan härleds vart och ett av elementen med respekt för kedjeregeln för blandade funktioner:

3xy ³ består av 2 variabler, därför kommer d (3xy ³ ) att behandlas som derivatet av en produkt av funktioner.

d (3xy ³ ) / dx = 3y ³ + 3y ^2. (3x) y '= 3y ³ + 9xy ² y'

Där elementet y 'kallas "y prime" och representerar dy / dx

-2y Det härrör enligt lagen KU = K.U '

d (-2y) = -2 y '

xy ² antar ytterligare en skillnad som består av en produkt av funktioner

d (xy ² ) = y ² + 2xy y '

-xy behandlas homologt

d (-xy) = -y - x y '

De är substituerade i jämlikhet, medvetet om att derivatet av noll är noll.

3y ³ + 9xy ² y '- 2 y' + y ² + 2xy y '- y - x y' = 0

Elementen som har beteckningen y är grupperade på ena sidan av jämställdheten

3y ³ + y ² - y = -9xy ² y '+ 2 y' + x y '

Den gemensamma faktorn y 'extraheras från den högra sidan av jämställdheten

3y ³ + y ² - y = y '(-9xy ² + x + 2)

Slutligen rensas termen som multiplicerar y '. Således erhåller man uttrycket som motsvarar det implicita derivatet av y med avseende på x.

y '= dy / dx = (3y ³ + y ² - y) / (- 9xy ² + x + 2)

Kedjan regel

Vid implicit härledning respekteras alltid kedjeregeln. Alla differentiella uttryck kommer att ges som en funktion av den oberoende variabeln X. Så varje variabel θ annan än X, måste inkludera termen dθ / dx efter att ha härledts.

Denna term kommer att visas endast i den första graden eller med en exponent lika med 1. Denna kvalitet gör det helt klart under traditionella factoringmetoder. Således är det möjligt att erhålla uttrycket som definierar skillnaden d / dx.

Kedjeregeln visar den progressiva karaktären av differentierings- eller derivatprocessen. Där för varje sammansatt funktion f har vi att det differentiella uttrycket för f kommer att vara

Operativ ordning

I varje formel eller lag för derivat som tillämpas måste variabelns ordning beaktas. Kriterierna förknippade med den oberoende variabeln respekteras utan att ändra dess korrelation med den beroende variabeln.

Förhållandet mellan den beroende variabeln vid tidpunkten för härledningen tas direkt; Med undantag för att detta kommer att betraktas som en andra funktion, varför kedjeregelkriteriet för blandade funktioner tillämpas.

Detta kan utvecklas i uttryck med mer än 2 variabler. Enligt samma principer kommer alla skillnader som hänvisar till beroende variabler att betecknas.

Grafiskt hanteras samma kriterium som definierar derivatet. Medan derivatet är lutningen på tangentlinjen till kurvan i planet, representerar resten av skillnaderna som tillhör de beroende variablerna (dy / dx, dz / dx) plan tangent till vektorkropparna som beskrivs av de multipla variabla funktionerna.

Implicit

En funktion sägs vara implicit definieras om uttrycket y = f (x) kan representeras som en multipel variabel funktion F (x, y) = 0 så länge som F är definierad i R ² plan .

3xy ³ - 2y + xy ² = xy kan skrivas i formen 3xy ³ - 2y + xy ² - xy = 0

Med tanke på omöjligt att göra funktionen y = f (x) uttrycklig.

Historia

Differentialberäkningen började namnges av olika matematiska forskare runt sjuttonhundratalet. Första gången det nämndes var genom bidrag från Newton och Leibniz. Båda behandlade differentieringsberäkningen från olika synvinklar, men konvergerade i sina resultat.

Medan Newton fokuserade på differentiering som en hastighet eller hastighet för förändring, var Leibniz strategi mer geometrisk. Det kan sägas att Newton attackerade de antaganden som lämnats av Apollonius av Perge och Leibniz de geometriska idéerna från Fermat.

Den implicita härledningen visas omedelbart när man beaktar differentiella och integrala ekvationer. Dessa utvidgade Leibnizs geometriska koncept till R ³ och till och med till multidimensionella utrymmen.

tillämpningar

Implicita derivat används i olika situationer. De är vanliga i växelkursproblem mellan relaterade variabler, där, beroende på studiens känsla, kommer variablerna att betraktas som beroende eller oberoende.

De har också intressanta geometriska tillämpningar, såsom reflektions- eller skuggproblem, på figurer vars form kan matematiskt modelleras.

De används ofta inom områdena ekonomi och teknik, liksom vid olika utredningar av naturfenomen och experimentella byggnader.

Lösta övningar

Övning 1

Definiera det implicita uttrycket som definierar dy / dx

Varje element i uttrycket är differentierat

Fastställa kedjeregeln i varje behörigt fall

Gruppera på en sida av jämlikhet de element som har dy / dx

Det faktureras med hjälp av den gemensamma faktorn

Det löses genom att erhålla det sökta uttrycket

Övning 2

Definiera det implicita uttrycket som definierar dy / dx

Uttrycka derivat som ska genomföras

Avleda implicit enligt kedjeregeln

Faktorerande vanliga element

Gruppera termen dy / dx på en sida av jämställdheten

Gemensam faktor för det differentiella elementet

Vi isolerar och får det sökta uttrycket

referenser

1. Beräkning av en enda variabel. Ron Larson, Bruce H. Edwards. Cengage Learning, 10 nov 2008
2. The Implicit Function Theorem: History, Theory and Applications. Steven G. Krantz, Harold R. Parks. Springer Science & Business Media, 9 nov. 2012
3. Multivariabel analys. Satish Shirali, Harkrishan Lal Vasudeva. Springer Science & Business Media, 13 dec. 2010
4. Systemdynamik: modellering, simulering och kontroll av mekatroniska system. Dean C. Karnopp, Donald L. Margolis, Ronald C. Rosenberg. John Wiley & Sons, 7 mar 2012
5. Calculus: Matematik och modellering. William Bauldry, Joseph R. Fiedler, Frank R. Giordano, Ed Lodi, Rick Vitray. Addison Wesley Longman, 1 jan 1999