KOMPLETTERANDE HÄNDELSER: VAD DE BESTÅR AV OCH EXEMPEL - MATTE - 2025

De ytterligare händelserna definieras som varje grupp av ömsesidigt exklusiva händelser varandra, där sammanslutningen av dem kan fullständigt täcka provutrymmet eller möjliga fall av experiment (är uttömmande).

Deras skärningspunkt resulterar i den tomma uppsättningen (∅). Summan av sannolikheten för två komplementära händelser är lika med 1. Med andra ord täcker 2 händelser med denna egenskap fullständigt möjligheten till händelser i ett experiment.

Källa: pexels.com

Vilka är de kompletterande händelserna?

Ett mycket användbart generiskt fall för att förstå den här typen av händelser är att rulla tärningar:

När du definierar provutrymmet namnges alla möjliga fall som experimentet erbjuder. Denna uppsättning är känd som universum.

Provutrymme (S):

S: {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Alternativen som inte anges i provutrymmet är inte en del av experimentets möjligheter. Till exempel {numret sju kommer upp} Det har en sannolikhet på noll.

Enligt experimentets mål definieras uppsättningar och underuppsättningar vid behov. Den angivna notationen bestäms också enligt målet eller parametern som ska studeras:

A: {Output ett jämnt tal} = {2, 4, 6}

B: {Få ett udda nummer} = {1, 3, 5}

I detta fall A och B är Kompletterande händelser. Eftersom båda uppsättningarna är ömsesidigt exklusiva (ett jämnt antal som är udda i sin tur kan inte komma ut) och sammansättningen av dessa uppsättningar täcker hela provutrymmet.

Andra möjliga delmängder i exemplet ovan är:

C : {Output a prime number} = {2, 3, 5}

D: {x / x Ԑ N ᴧ x ˃ 3} = {4, 5, 6}

Uppsättningarna A, B och C skrivs i beskrivande respektive analytisk notation . För den inställda D användes algebraisk notation, och de möjliga resultaten som motsvarade experimentet beskrivs i analytisk notation .

I det första exemplet observeras att eftersom A och B är komplementära händelser

A: {Output ett jämnt tal} = {2, 4, 6}

B: {Få ett udda nummer} = {1, 3, 5}

Följande axiomer håller:

1. AUB = S ; Föreningen mellan två komplementära händelser är lika med provutrymmet
2. A ∩B = ∅ ; Korsningen mellan två komplementära händelser är lika med den tomma uppsättningen
3. A '= B ᴧ B' = A; Varje delmängd är lika med komplementet till sin homolog
4. A '∩ A = B' ∩ B = ∅; Korsa en uppsättning med dess komplement lika med tom
5. A 'UA = B' UB = S; Att gå med i en uppsättning med dess komplement är lika med provutrymmet

I statistik och sannolikhetsstudier är komplementära händelser en del av hela teorin och är mycket vanliga bland de operationer som genomförs på detta område.

För att lära sig mer om kompletterande händelser är det nödvändigt att förstå vissa termer som hjälper till att definiera dem konceptuellt.

Vilka är händelserna?

Det är möjligheter och händelser som härrör från experiment, som kan erbjuda resultat i var och en av deras iterationer. De händelser genererar data som ska registreras som element uppsättningar och underuppsättningar, trenderna i dessa uppgifter är orsak till studie för sannolikhet.

Exempel på händelser är:

• Myntet pekade huvuden
• Matchen resulterade i oavgjort
• Kemikalien reagerade på 1,73 sekunder
• Hastigheten vid maximal punkt var 30 m / s
• Munstycket markerade numret 4

Vad är en plugin?

När det gäller uppsättningsteori. Ett komplement avser den del av provutrymmet som måste läggas till i en uppsättning för att det ska omfatta universum. Det är allt som inte är en del av helheten.

Ett välkänt sätt att beteckna komplement i uppsättningsteori är:

Ett komplement av A

Venn diagram

Källa: pixabay.com

Det är ett grafiskt innehållsanalysschema som används allmänt i matematiska operationer med uppsättningar, deluppsättningar och element. Varje uppsättning representeras av en stor bokstav och en oval siffra (denna egenskap är inte obligatorisk inom dess användning) som innehåller var och en av dess element.

De ytterligare händelserna ses direkt Venn-diagram, som dess grafiska metod för att identifiera motsvarande adderare till varje uppsättning.

Genom att helt visualisera en uppsättnings miljö genom att utelämna dess gräns och inre struktur kan en definition ges till komplementet till den studerade uppsättningen.

Exempel på kompletterande händelser

Exempel på kompletterande händelser är framgång och nederlag i en händelse där jämlikhet inte kan existera (Ett basebollspel).

Booleska variabler är komplementära händelser: Sann eller falsk, likaså rätt eller fel, stängd eller öppen, på eller av.

Kompletterande evenemangsövningar

Övning 1

Låt S vara universumsuppsättningen definierad av alla naturliga siffror mindre än eller lika med tio.

S: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

Följande delmängder av S definieras

H: {Naturliga siffror mindre än fyra} = {0, 1, 2, 3}

J: {Multiplar av tre} = {3, 6, 9}

K: {Multiplar om fem} = {5}

L: {0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10}

M: {0, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10}

N: {Naturligt antal större än eller lika med fyra} = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

Besluta:

Hur många kompletterande händelser kan bildas genom att relatera par av undergrupper av S ?

Enligt definitionen av komplementära händelser identifieras par som uppfyller kraven (ömsesidigt uteslutande och täcker provutrymmet när de går med). Följande par av delmängder är kompletterande händelser :

• H och N
• J och M
• L och K

Övning 2

Visa att: (M ∩ K) '= L

{0, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10} ∩ {5} = {5}; Korsningen mellan uppsättningarna ger de gemensamma elementen mellan båda operantuppsättningarna. På detta sätt 5 är det enda vanliga elementet mellan M och K.

{5} '= {0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10} = L; Eftersom L och K är komplementära uppfylls den tredje axiom som beskrivs ovan (varje delmängd är lika med komplementet till sin homolog)

Övning 3

Definiera: '

J ∩ H = {3} ; På ett homologt sätt till det första steget i föregående övning.

(J * H) FN = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}; Dessa operationer kallas kombinerade och behandlas vanligtvis med ett Venn-diagram.

' = {0, 1, 2}; Komplementet för den kombinerade operationen definieras.

Övning 4

Bevisa att: { ∩ ∩} '= ∅

Den sammansatta operationen som beskrivs i de lockiga hängslen hänvisar till skärningspunkten mellan fackföreningarna för de komplementära händelserna. På detta sätt fortsätter vi med att verifiera den första axiom (Föreningen av två komplementära händelser är lika med provutrymmet).

∩ ∩ = S ∩ S ∩ S = S; Föreningen och skärningspunkten mellan en uppsättning med sig själv genererar samma uppsättning.

Sedan; S '= ∅ Per definition av uppsättningar.

Övning 5

Definiera fyra korsningar mellan delmängder, vars resultat skiljer sig från den tomma uppsättningen (∅).

• M ∩ N

{0, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10} ∩ {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} = {4, 5, 7, 8, 10}

• L ∩ H

{0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10} ∩ {0, 1, 2, 3} = {0, 1, 2, 3}

• J ∩ N

{3, 6, 9} ∩ {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} = {6, 9}

referenser

1. STATISTISKA METODENS ROLL I DATENS VETENSKAP OCH BIOINFORMATIK. Irina Arhipova. Lettlands jordbruksuniversitet, Lettland.
2. Statistik och utvärdering av bevis för kriminaltekniska forskare. Andra upplagan. Colin GG Aitken. Skolan för matematik. University of Edinburgh, Storbritannien
3. GRUNDLÄGGANDE TEORI, Robert B. Ash. Institutionen för matematik. University of Illinois
4. Elementära STATISTIK. Tionde upplagan. Mario F. Triola. Boston St.
5. Matematik och teknik i datavetenskap. Christopher J. Van Wyk. Institutet för datavetenskap och teknik. National Bureau of Standards. Washington DC 20234
6. Matematik för datavetenskap. Eric Lehman. Google Inc.
   F Thomson Leighton Institutionen för matematik och datavetenskap och AI-laboratorium, Massachussetts Institute of Technology; Akamai Technologies