HOMOTHECY: EGENSKAPER, TYPER OCH EXEMPEL - MATTE - 2025

Den dilatation är en geometrisk förändring i plan vilket, från en fast punkt som kallas centrum (O), är avstånden multipliceras med en gemensam faktor. På detta sätt motsvarar varje punkt P en annan punkt P 'produkt av transformationen, och dessa är i linje med punkt O.

Så, homothecy handlar om en korrespondens mellan två geometriska figurer, där de transformerade punkterna kallas homotetiska, och dessa är i linje med en fast punkt och med segment parallella med varandra.

Homothecy

Homothecy är en transformation som inte har en sammanhängande bild, eftersom man från en figur får en eller flera figurer av större eller mindre storlek än den ursprungliga figuren; det vill säga homothecy förvandlar en polygon till en liknande.

För att homotecien ska uppfyllas måste punkt till punkt och linje till linje motsvara, så att paren med homologa punkter är i linje med en tredje fast punkt, som är centrum för homotekin.

På samma sätt måste paren av linjer som sammanfogar dem vara parallella. Förhållandet mellan sådana segment är en konstant som kallas homothecy-förhållandet (k); på ett sådant sätt att homothecy kan definieras som:

För att genomföra denna typ av transformation börjar vi med att välja en godtycklig punkt, som kommer att vara centrum för homotekin.

Från denna punkt dras linjesegment för varje toppunkt i figuren som ska transformeras. Den skala i vilken reproduktionen av den nya figuren görs ges av förhållandet mellan homothecy (k).

Egenskaper

En av de huvudegenskaperna hos homothecy är att alla homotetiska figurer är lika av den homotiska orsaken (k). Bland andra utestående egenskaper är följande:

- Homotekiens centrum (O) är den enda dubbelpunkten och detta förvandlas till sig själv; det vill säga, det varierar inte.

- Raderna som passerar genom centrum förvandlas till sig själva (de är dubbla), men punkterna som komponerar det är inte dubbla.

- Linjerna som inte passerar genom centrum förvandlas till parallella linjer; på detta sätt förblir homotekvinklarna desamma.

- Bilden av ett segment med en homothecy av centrum O och förhållande k, är ett segment parallellt med detta och har k gånger dess längd. Exempelvis, såsom framgår av följande bild, kommer ett segment AB genom homothecy att resultera i ett annat segment A'B ', så att AB kommer att vara parallellt med A'B' och k kommer att vara:

- Homotiska vinklar är kongruenta; de har samma mått. Därför är bilden av en vinkel en vinkel som har samma amplitud.

Å andra sidan har vi att homotecin varierar beroende på värdet på dess förhållande (k), och följande fall kan uppstå:

- Om konstanten k = 1 är alla punkter fixerade eftersom de transformerar sig själva. Således sammanfaller den homotiska figuren med den ursprungliga och transformationen kommer att kallas identitetsfunktionen.

- Om k ≠ 1 är den enda fasta punkten centrum för homotetiken (O).

- Om k = -1 blir homotekin en central symmetri (C); dvs uppträda en rotation runt C, i en vinkel på 180 ^eller .

- Om k> 1 är storleken på den transformerade figuren större än originalets storlek.

- Om 0 <k <1 kommer storleken på den transformerade figuren att vara mindre än originalet.

- Om -1 <k <0 blir storleken på den transformerade figuren mindre och den roteras med avseende på originalet.

- Om k <-1 blir storleken på den transformerade figuren större och den roteras med avseende på originalet.

typer

Homotekin kan också klassificeras i två typer beroende på värdet på dess förhållande (k):

Direkt homothecy

Det inträffar om konstanten k> 0; det vill säga de homotiska punkterna är på samma sida med avseende på centrum:

Proportionalitetsfaktorn eller likhetsgraden mellan de direkta homotetiska siffrorna kommer alltid att vara positiv.

Omvänd homothecy

Det inträffar om konstanten k <0; det vill säga de initiala punkterna och deras homotetik är belägna i motsatta ändar med avseende på homotetens centrum men inriktade på det. Mitten kommer att ligga mellan de två figurerna:

Proportionalitetsfaktorn eller likhetsgraden mellan inversa homotiska siffror kommer alltid att vara negativ.

Sammansättning

När flera rörelser successivt genomförs tills man får en siffra som är lika med originalet, uppstår en sammansättning av rörelser. Sammansättningen för flera rörelser är också en rörelse.

Kompositionen mellan två homotekier resulterar i en ny homoteki; det vill säga att det finns en produkt av homotetier där centrum kommer att vara i linje med mitten av de två ursprungliga transformationerna, och förhållandet (k) är produkten av de två förhållandena.

Sålunda, i sammansättningen av två homotheties H ₁ (O ₁ , k ₁ ) och H ₂ (O ₂ , k ₂ ), multiplikation av deras förhållanden: k ₁ xk ₂ = 1 kommer att resultera i en homothecy av förhållandet k ₃ = k ₁ xk ₂ . Mitten för denna nya homoteki (O ₃ ) kommer att ligga på linjen O ₁ O ₂ .

Homothecia motsvarar en platt och irreversibel förändring; Om två homotetier används som har samma centrum och förhållande men med ett annat tecken, kommer den ursprungliga siffran att erhållas.

exempel

Första exemplet

Tillämpa en homothecy på den givna polygonen i centrum (O), belägen 5 cm från punkt A och vars förhållande är k = 0,7.

Lösning

Vilken punkt som helst väljs som centrum för homotecin, och från denna punkt dras strålar genom figurens toppar:

Avståndet från centrum (O) till punkt A är OA = 5; Med detta kan avståndet till en av de homotiska punkterna (OA ') bestämmas, även med kännedom om att k = 0,7:

OA '= kx OA.

OA '= 0,7 x 5 = 3,5.

Processen kan utföras för varje toppunkt, eller den homotiska polygonen kan också dras och komma ihåg att de två polygonerna har parallella sidor:

Slutligen ser transformationen så ut:

Andra exempel

Tillämpa en homothecy på den givna polygonen med centrum (O), som ligger 8,5 cm från punkt C och vars y-förhållande k = -2.

Lösning

Avståndet från centrum (O) till punkt C är OC = 8,5; Med dessa data är det möjligt att bestämma avståndet för en av de homotiska punkterna (OC '), även att veta att k = -2:

OC '= kx OC.

OC '= -2 x 8,5 = -17

Efter att ha ritat segmenten av topparna på den transformerade polygonen har vi att de initiala punkterna och deras homotetik är belägna i motsatta ändar med avseende på centrum:

referenser

1. Álvaro Rendón, AR (2004). Teknisk ritning: aktivitetsanteckningsbok.
2. Antonio Álvarez de la Rosa, JL (2002). Affinitet, homologi och homoteki.
3. Baer, ​​R. (2012). Linjär algebra och projektiv geometri. Courier Corporation.
4. Hebert, Y. (1980). Allmän matematik, sannolikheter och statistik.
5. Meserve, BE (2014). Grundläggande begrepp för geometri. Courier Corporation.
6. Nachbin, L. (1980). Introduktion till algebra. Reverte.