VAD ÄR SNEDA TRIANGLAR? (MED ÖVNINGAR) - MATTE - 2025

De sneda trianglarna är de trianglar som inte är rektanglar. Med andra ord trianglarna så att ingen av deras vinklar är en rät vinkel (deras mått är 90º).

Eftersom de inte har rätvinklar, kan inte Pythagoras teorem tillämpas på dessa trianglar.

För att känna till uppgifterna i en sned triangel är det därför nödvändigt att använda andra formler.

Formlerna som är nödvändiga för att lösa en sned triangel är de så kallade sines- och kosinuslagarna, som kommer att beskrivas senare.

Förutom dessa lagar kan det faktum att summan av de inre vinklarna i en triangel är lika med 180º alltid användas.

Skrätta trianglar

Som angav i början är en sned triangel en triangel så att ingen av dess vinklar mäter 90º.

Problemet med att hitta längderna på sidorna i en sned triangel och att hitta måtten på dess vinklar kallas "lösa sned trianglar."

Ett viktigt faktum när du arbetar med trianglar är att summan av de tre inre vinklarna i en triangel är lika med 180º. Detta är ett generellt resultat, därför kan det också användas för sneda trianglar.

Sines och kosines lagar

Får en triangel ABC med sidorna i längden "a", "b" och "c":

- Sineslagen säger att a / sin (A) = b / sin (B) = c / sin (C), där A, B och C är motsatta vinklar till «a», «b» och «c "Respektive.

- Kosinuslagen säger att: c² = a² + b² - 2ab * cos (C). På motsvarande sätt kan följande formler användas:

b² = a² + c² - 2ac * cos (B) eller a² = b² + c² - 2bc * cos (A).

Med hjälp av dessa formler kan data för en sned triangel beräknas.

övningar

Nedan följer några övningar där de saknade data från de givna trianglarna måste hittas, baserat på vissa levererade data.

Första övningen

Med tanke på en triangel ABC så att A = 45º, B = 60º och a = 12cm, beräkna triangelns andra data.

Lösning

Med att summan av de inre vinklarna i en triangel är lika med 180º har vi det

C = 180º-45º-60º = 75º.

De tre vinklarna är redan kända. Sineslagen används sedan för att beräkna de två saknade sidorna.

Ekvationerna som uppstår är 12 / sin (45º) = b / sin (60º) = c / sin (75º).

Från den första jämlikheten kan vi lösa för «b» och få det

b = 12 * sin (60º) / sin (45º) = 6√6 ≈ 14.696 cm.

Vi kan också lösa för «c» och få det

c = 12 * sin (75º) / sin (45º) = 6 (1 + √3) ≈ 16.392 cm.

Andra övningen

Med tanke på triangeln ABC så att A = 60º, C = 75º och b = 10cm, beräkna triangelns andra data.

Lösning

Liksom i föregående övning, B = 180º-60º-75º = 45º. Vidare använder vi sineslagen att a / sin (60º) = 10 / sin (45º) = c / sin (75º), från vilken det erhålls att a = 10 * sin (60º) / sin (45º) = 5√6 ≈ 12.247 cm och c = 10 * sin (75º) / sin (45º) = 5 (1 + √3) ≈ 13.660 cm.

Tredje övningen

Med tanke på triangeln ABC så att a = 10cm, b = 15cm och C = 80º, beräkna triangelns övriga data.

Lösning

I denna övning är endast en vinkel känd, därför kan den inte startas som i de två föregående övningarna. Dessutom kan sineslagen inte tillämpas eftersom ingen ekvation kunde lösas.

Därför fortsätter vi att tillämpa kosinuslagen. Det är då det

c ^ = 10 ^ + 15 ^ - 2 (10) (15) cos (80 °) = 325 - 300 * 0,173 - 272,905 cm,

så att c ≈ 16,51 cm. Nu när vi känner till de tre sidorna används sineslagen och det erhålls det

10 / sin (A) = 15 / sin (B) = 16,51 cm / sin (80º).

Följaktligen resulterar lösning för B i sin (B) = 15 * sin (80º) / 16,51 ≈ 0,894, vilket innebär att B ≈ 63,38º.

Nu kan vi få den A = 180º - 80º - 63,38º ≈ 36,62º.

Fjärde övningen

Sidorna på en sned triangel är a = 5 cm, b = 3 cm och c = 7 cm. Hitta triangelns vinklar.

Lösning

Återigen kan sineslagen inte tillämpas direkt eftersom ingen ekvation skulle tjäna till att få vinklarnas värde.

Med hjälp av kosinuslagen har vi den c² = a² + b² - 2ab cos (C), från vilken vi löser den cos (C) = (a² + b² - c²) / 2ab = (5² + 3²-7²) / 2 * 5 * 3 = -15/30 = -1/2 och därför C = 120º.

Nu om sineslagen kan tillämpas och därmed erhålla 5 / sin (A) = 3 / sin (B) = 7 / sin (120º), varifrån vi kan lösa för B och få den synden (B) = 3 * sin (120º) / 7 = 0,371, så att B = 21,79º.

Slutligen beräknas den sista vinkeln med hjälp av A = 180º-120º-21,79º = 38,21º.

referenser

1. Landaverde, F. d. (1997). Geometri (omtryckt red.). Framsteg.
2. Leake, D. (2006). Trianglar (illustrerad red.). Heinemann-Raintree.
3. Pérez, CD (2006). Förberäkning. Pearson Education.
4. Ruiz, Á., & Barrantes, H. (2006). Geometrier. CR-teknik.
5. Sullivan, M. (1997). Förberäkning. Pearson Education.
6. Sullivan, M. (1997). Trigonometri och analytisk geometri. Pearson Education.