SNEDA LINJER: EGENSKAPER, EKVATIONER OCH EXEMPEL - MATTE - 2025

De sneda linjerna är de som är lutande, antingen relativt en plan yta eller annan linje som indikerar en viss adress. Som ett exempel kan du tänka på de tre linjerna ritade i ett plan som visas i följande figur.

Vi känner deras respektive relativa positioner eftersom vi jämför dem med en referenslinje, som vanligtvis är x-axeln som anger horisontellt.

Figur 1. Vertikala, horisontella och sneda linjer i samma plan. Källa: F. Zapata.

På detta sätt, att välja horisontellt som referens, linjen till vänster är vertikal, den i mitten är horisontell och den till höger är sned, eftersom den är lutande med avseende på de dagliga referenslinjerna.

Nu rader linjerna i samma plan, såsom pappersytan eller skärmen, olika positioner relativt varandra beroende på om de korsar varandra eller inte. I det första fallet är de säkra linjer, medan de i det andra är parallella.

Å andra sidan kan de fästa linjerna vara sneda linjer eller vinkelräta linjer. I båda fallen är linjernas sluttningar olika, men de sneda linjerna bildar vinklarna α och ß mellan dem, olika från 90º, medan vinklarna bestämda av de vinkelräta linjerna alltid är 90º.

Följande figur sammanfattar dessa definitioner:

Figur 2. Relativa positioner mellan linjer: parallella, sneda och vinkelräta skiljer sig i vinkeln de bildar med varandra. Källa: F. Zapata.

ekvationer

För att känna till de relativa positionerna för linjerna i planet är det nödvändigt att känna till vinkeln mellan dem. Observera att raderna är:

Parallell : om de har samma lutning (samma riktning) och aldrig korsar varför deras poäng är lika stora.

Coincidents : när alla dess punkter sammanfaller och därför har samma lutning, men avståndet mellan dess punkter är noll.

Torktumlare : om deras sluttningar är olika varierar avståndet mellan deras punkter och korsningen är en enda punkt.

Så ett sätt att veta om två linjer i planet är säkra eller parallella är genom deras sluttning. Kriterierna för parallellitet och vinkelräta linjer är följande:

Om ingen av ovanstående kriterier uppfylls, känner till lutningarna för två linjer i planet, drar vi slutsatsen att linjerna är sneda. Genom att känna till två punkter på en linje beräknas lutningen omedelbart, som vi kommer att se i nästa avsnitt.

Du kan ta reda på om två linjer är säkra eller parallella genom att hitta deras skärningspunkt, lösa det ekvationssystem som de bildar: om det finns en lösning är de säkra, om det inte finns någon lösning är de parallella, men om lösningarna är oändliga är linjerna sammanfallande.

Detta kriterium informerar oss dock inte om vinkeln mellan dessa linjer, även om de korsar varandra.

För att veta vinkeln mellan linjerna behöver vi två vektorer u och v som hör till var och en av dem. Således är det möjligt att känna till vinkeln de bildar med hjälp av den skalära produkten av vektorerna, definierade på detta sätt:

u • v = uvcos α

Ekvation av linjen i planet

En linje i det kartesiska planet kan representeras på flera sätt, såsom:

- Form för lutningsavlyssning : om m är linjens lutning och b är skärningspunkten mellan linjen och den vertikala axeln är linjens ekvation y = mx + b.

- Allmän ekvation för linjen : Ax + By + C = 0, där m = A / B är sluttningen.

I det kartesiska planet är vertikala och horisontella linjer speciella fall för linjens ekvation.

- Vertikala linjer : x = a

- Horisontella linjer : y = k

Bild 3. Till vänster den vertikala linjen x = 4 och den horisontella linjen y = 6. Till höger ett exempel på en sned linje. Källa: F. Zapata.

I exemplen i figur 3 har den vertikala röda linjen ekvation x = 4, medan linjen parallell med x-axeln (blå) har ekvation y = 6. När det gäller linjen till höger ser vi att den är sned och för att hitta dess ekvation använder vi punkterna som markeras i figuren: (0,2) och (4,0) på detta sätt:

Snittet av denna linje med den vertikala axeln är y = 2, vilket framgår av diagrammet. Med denna information:

Det är enkelt att bestämma lutningsvinkeln med avseende på x-axeln. Jag känner att:

Därför är den positiva vinkeln från x-axeln till linjen: 180º - 26,6º = 153,4º

Exempel på sneda linjer

Figur 4. Exempel på sneda linjer. Källa: fäktare Ian Patterson. Pisas lutande torn. Pixabay.

Skrätta linjer visas på många ställen, det handlar om att uppmärksamma att hitta dem inom arkitektur, sport, elektriska ledningar, ledningar och många fler platser. I naturen finns också de sneda linjerna, som vi ser nedan:

Ljusstrålar

Solljus rör sig i en rak linje, men jordens runda form påverkar hur solljus träffar ytan.

På bilden nedan kan vi tydligt se att solens strålar slår vinkelrätt i tropiska regioner, men istället når ytan snett i tempererade regioner och vid polerna.

Det är därför solstrålarna sträcker sig längre genom atmosfären och värmen sprider sig över en större yta (se figur). Resultatet är att områdena nära polerna är kallare.

Bild 5. Solens strålar faller snett i de tempererade zonerna och polerna, istället är de mer eller mindre vinkelräta i tropikerna. Källa: Wikimedia Commons.

Linjer som inte är i samma plan

När två linjer inte är i samma plan kan de fortfarande vara sneda eller varvade, som de också är kända. I detta fall är deras direktörvektorer inte parallella, men eftersom de inte tillhör samma plan korsar dessa linjer inte varandra.

Till exempel finns linjerna i figur 6 rätt i olika plan. Om du tittar på dem ovanifrån kan du se att de korsar varandra, men de har inte en gemensam poäng. Till höger ser vi cykelhjulen, vars ekrar verkar korsa när de ses framifrån.

Figur 6. Sneda linjer som tillhör olika plan. Källa: vänster F. Zapata, höger Pixabay.

referenser

1. Geometri. Direktörsvektor för en linje. Återställd från: juanbragado.es.
2. Larson, R. 2006. Beräkning med analytisk geometri. 8:e. Utgåva. McGraw Hill.
3. Matematik är ett spel. Linjer och vinklar. Återställd från: juntadeandalucia.es.
4. Raka linjer som korsar varandra. Återställd från: profesoraltuna.com.
5. Villena, M. Analytisk geometri i R3. Återställd från: dspace.espol.edu.ec.