ISOMETRISKA TRANSFORMATIONER: SAMMANSÄTTNING, TYPER OCH EXEMPEL - MATTE - 2025

De isometriska transformationerna är förändringar av position eller orientering för en given figur som inte förändrar formen eller storleken på detta. Dessa transformationer klassificeras i tre typer: översättning, rotation och reflektion (isometri). Generellt ger geometriska transformationer dig möjlighet att skapa en ny figur från en given.

En omvandling till en geometrisk figur innebär att den på något sätt har genomgått någon förändring; det vill säga det ändrades. Enligt känslan av originalet och liknande i planet kan geometriska transformationer klassificeras i tre typer: isometrisk, isomorf och anamorfisk.

egenskaper

Isometriska transformationer inträffar när storleken på segmenten och vinklarna mellan den ursprungliga figuren och den transformerade figuren bevaras.

I denna typ av transformation ändras varken formen eller storleken på figuren (de är kongruenta), det är bara en förändring i dess position, antingen i riktning eller riktning. På detta sätt kommer de initiala och slutliga siffrorna att vara liknande och geometriskt kongruenta.

Isometri avser jämlikhet; med andra ord kommer geometriska figurer att vara isometriska om de har samma form och storlek.

I isometriska transformationer är det enda som kan observeras en förändring av läget i planet, en styv rörelse uppstår tack vare vilken figuren går från en initial position till en slutlig. Denna siffra kallas homolog (liknande) av originalet.

Det finns tre typer av rörelser som klassificerar en isometrisk transformation: översättning, rotation och reflektion eller symmetri.

typer

Genom översättning

Det är dessa isometrier som gör att alla punkter i planet kan flyttas i en rak linje i en given riktning och avstånd.

När en figur förvandlas genom översättning, ändrar den inte sin orientering i förhållande till den ursprungliga positionen och förlorar inte heller sina interna mått, måtten på dess vinklar och sidor. Denna typ av förskjutning definieras av tre parametrar:

- En riktning, som kan vara horisontell, vertikal eller sned.

- En riktning, som kan vara åt vänster, höger, upp eller ner.

- Avstånd eller storlek, som är längden från utgångsläget till slutet av en punkt som rör sig.

För att en isometrisk transformation genom översättning ska uppfyllas måste följande villkor vara uppfyllda:

- Figuren måste alltid behålla alla dess dimensioner, både linjära och vinklade.

- Figuren ändrar inte sin position med avseende på den horisontella axeln; det vill säga, dess vinkel varierar aldrig.

- Översättningar kommer alltid att sammanfattas i en, oavsett antalet översättningar som gjorts.

I ett plan där centrum är en punkt O, med koordinater (0,0), definieras översättningen av en vektor T (a, b), som indikerar förskjutningen av den initiala punkten. Det vill säga:

P (x, y) + T (a, b) = P '(x + a, y + b)

Om till exempel en översättning T (-4, 7) tillämpas på koordinatpunkten P (8, -2), får vi:

P (8, -2) + T (-4, 7) = P '= P' (4, 5)

I följande bild (till vänster) kan man se hur punkt C rörde sig för att sammanfalla med D. Det gjorde det i en vertikal riktning, riktningen var uppåt och avståndet eller storleken CD var 8 meter. I den högra bilden observeras översättningen av en triangel:

Genom rotation

Det är de isometrier som gör att figuren kan rotera alla punkter i ett plan. Varje punkt roterar efter en båge som har en konstant vinkel och en fast punkt (rotationscentrum) bestämd.

Det vill säga all rotation kommer att definieras av dess rotationscentrum och rotationsvinkel. När en figur transformeras genom rotation, håller den måttet på dess vinklar och sidor.

Rotationen sker i en viss riktning, det är positivt när rotationen är moturs (motsatt riktning till hur klockans händer vrids) och negativt när dess rotation är medurs.

Om en punkt (x, y) roteras med avseende på ursprunget - det vill säga dess rotationscentrum är (0,0) - i en vinkel på 90 ^eller 360 ^eller så kommer punkterna att vara:

I det fall rotationen inte har ett centrum vid ursprunget måste koordinatsystemets ursprung överföras till det nya givna ursprunget för att kunna rotera figuren med ursprunget som centrum.

Till exempel, om P (-5,2) punkt appliceras, är en rotation av 90 ^eller runt ursprunget och positivt är dess nya koordinater (-2,5).

Genom reflektion eller symmetri

Det är de transformationer som inverterar punkterna och figurerna i planet. Denna inversion kan vara med avseende på en punkt eller den kan också vara med avseende på en linje.

Med andra ord, i denna typ av transformation är varje punkt i den ursprungliga figuren associerad med en annan punkt (bild) av den homologa figuren, på ett sådant sätt att punkten och dess bild ligger på samma avstånd från en linje som kallas symmetriaxeln. .

Således kommer den vänstra delen av figuren att återspegla den högra delen, utan att ändra dess form eller dimensioner. Symmetri förvandlar en figur till en annan lika men i motsatt riktning, vilket kan ses i följande bild:

Symmetri finns i många aspekter, till exempel i vissa växter (solrosor), djur (påfågel) och naturfenomen (snöflingor). Människan återspeglar det på hans ansikte, som anses vara en skönhetsfaktor. Reflektion eller symmetri kan vara av två typer:

Central symmetri

Det är den transformation som sker med avseende på en punkt, där figuren kan ändra sin orientering. Varje punkt i den ursprungliga figuren och dess bild ligger på samma avstånd från en punkt O, kallad symmetriens mitt. Symmetri är central när:

- Både punkten och dess bild och mitt hör till samma linje.

- Med en rotation på 180 ^o mitt O erhålls en siffra lika stor som originalet.

- Linjerna i den första figuren är parallella med linjerna i den bildade figuren.

- Sinnets känsla förändras inte, den kommer alltid att vara medurs.

Sammansättning av en rotation

Sammansättningen av två varv med samma centrum resulterar i en annan sväng, som har samma centrum och vars amplitud är summan av amplituderna för de två varv.

Om centrum av svängarna har ett annat centrum, kommer snittet av halvpartiet av två segment med liknande punkter att vara centrum av svängen.

Sammansättning av en symmetri

I detta fall beror kompositionen på hur den appliceras:

- Om samma symmetri används två gånger kommer resultatet att vara en identitet.

- Om två symmetrier appliceras med avseende på två parallella axlar, blir resultatet en översättning, och dess förskjutning är dubbelt så lång som dessa axlar:

- Om två symmetrier appliceras med avseende på två axlar som korsar varandra vid punkt O (centrum), kommer en rotation med centrum vid O att erhållas och dess vinkel är två gånger den vinkel som bildas av axlarna:

referenser

1. V Bourgeois, JF (1988). Material för konstruktion av geometri. Madrid: Syntes.
2. Cesar Calavera, IJ (2013). Teknisk ritning II. Paraninfo SA: Editions of the Tower.
3. Coxeter, H. (1971). Grundläggande av geometri. Mexiko: Limusa-Wiley.
4. Coxford, A. (1971). Geometri En transformationsmetod. USA: Laidlaw Brothers.
5. Liliana Siñeriz, RS (2005). Induktion och formalisering i undervisningen av styva transformationer i CABRI-miljön.
6. , PJ (1996). Gruppen av isometrier av planet. Madrid: Syntes.
7. Suárez, AC (2010). Transformationer i planet. Gurabo, Puerto Rico: AMCT.